第3章 整式的乘除（期中复习专练）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习培优检测卷【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习培优检测【2024●新教材】 第3章 整式的乘除 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（2分）（2024春•蓬莱区期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 2．（2分）（2022秋•新市区校级期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 3．（2分）（2024春•兴平市期中）如图，有卡片A类，B类，C类各40张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个长为（3a+7b），宽为（5a+2b）的大长方形，则所准备的C类卡片的张数（　　） A．不够用，还缺1张 B．不够用，还缺5张 C．够用，剩余1张 D．够用，剩余5张 4．（2分）（2024春•邢台期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅图中，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2分）（2024春•黎川县期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若a+b＝20，ab＝80，那么阴影部分的面积等于（　　） A．80 B．100 C．120 D．160 6．（2分）（2024春•福鼎市期中）计算4m•？＝4m﹣2，则“？”表示的数是（　　） A． B．2 C．4 D．16 7．（2分）（2024秋•天河区校级期中）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 8．（2分）（2024秋•杨浦区期中）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 9．（2分）（2024春•奉化区校级期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1﹣S2值的是（　　） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 10．（2分）（2024春•花山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2023春•秦都区校级期中）如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 　 　 ． 12．（2分）（2022春•花山区校级期中）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　 ． 13．（2分）（2024春•鼓楼区校级期中）已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的　 　 （按运算顺序填序号）． 14．（2分）（2024春•蒲城县期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 　 　 平方米． 15．（2分）（2024春•永寿县期中）有两个大小不同的正方形A、B，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 　 　 ． 16．（2分）（2024秋•金牛区校级期中）若规定符号的意义是：ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为 　 　 ． 17．（2分）（2022春•武陵区校级期中）如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A＝160，B＝172，C＝215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是　 　 平方厘米． 18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）　 　 ． 19．（2分）（2024春•渠县校级期中）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为　 　 ． 20．（2分）（2022春•临川区校级期中）如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21． （6分）（2017春•澧县期中）化简：2（a4）3+（﹣2a3）2•（﹣a2）3+a2•a10． 22．（6分）（2024春•崂山区校级期中）先化简，再求值 （1）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中，y＝﹣25． （2）[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷（﹣2x），其中x＝3，y＝﹣1． 23．（8分）（2024春•拱墅区校级期中）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 24．（8分）（2024春•渠县校级期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 　 　 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（ 　 　 ） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝　 　 ； 【类比应用】 （3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值； 【知识迁移】 （4） 如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，则CE的长度为 　 　 ． 25．（8分）（2024春•东港市期中）【阅读理解】 “若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．” 解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b， 则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝80﹣x+x﹣60＝20 所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340 【学以致用】 （1）若x满足（50﹣x）（x﹣20）＝10，求（50﹣x）2+（x﹣20）2的值； （2）若x满足（25﹣x）（18﹣x）＝30，求（25﹣x）2+（18﹣x）2的值； （3）若x满足x2+（10﹣x）2＝260，求x（10﹣x）的值； 【问题解决】 如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝6，CG＝8，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值）． 26．（8分）（2024春•蓬莱区期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　 　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 27．（8分）（2024春•吉安期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　 　 ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 28．（8分）（2024春•锦州期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1． 这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为 　 　 ． 则②的阴影面积表示为 　 　 ． 由此可以得到的等式是 　 　 ． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　 .（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习培优检测【2024●新教材】 第3章 整式的乘除 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C C A A C D A 1．（2分）（2024春•蓬莱区期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 解：由题意这两个图形的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 2．（2分）（2022秋•新市区校级期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2； 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b）， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：B． 3．（2分）（2024春•兴平市期中）如图，有卡片A类，B类，C类各40张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个长为（3a+7b），宽为（5a+2b）的大长方形，则所准备的C类卡片的张数（　　） A．不够用，还缺1张 B．不够用，还缺5张 C．够用，剩余1张 D．够用，剩余5张 解：大长方形的面积为：（3a+7b）（5a+2b）＝15a2+6ab+35ab+14b2＝15a2+41ab+14b2， ∵C类卡片的面积为ab， ∴需要41张， ∵C类40张 ∴不够，还缺1张， 故选：A． 4．（2分）（2024春•邢台期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅图中，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：图1可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴图1可以验证平方差公式； 图2可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a﹣b）2+2b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， ∴图2可以验证平方差公式； 图3可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴图3可以验证平方差公式； 图4可以验证的等式为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴图4不能验证平方差公式； 故选：C． 5．（2分）（2024春•黎川县期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若a+b＝20，ab＝80，那么阴影部分的面积等于（　　） A．80 B．100 C．120 D．160 解：由图可知：S五边形ABGFD＝S正方形ABCD+S梯形DCGF ＝a2（a+b）b ， S阴影＝S五边形ABGFD﹣S△ABD﹣S△BCF， ＝ ， ∵a+b＝20，ab＝80， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x80＝240， ∴S阴影240＝120． 故选：C． 6．（2分）（2024春•福鼎市期中）计算4m•？＝4m﹣2，则“？”表示的数是（　　） A． B．2 C．4 D．16 解：∵4m•4﹣2＝4m﹣2， ∴， 故选：A． 7．（2分）（2024秋•天河区校级期中）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 解：由题意可知：原面积为ab（平方米）， 第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米， ∵a＞b， ∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab， ∴面积变小了， 故选：A． 8．（2分）（2024秋•杨浦区期中）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 9．（2分）（2024春•奉化区校级期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1﹣S2值的是（　　） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为下x、y； 则a+x＝b+y，即：a﹣b＝y﹣x， ∴S1＝x2+y2，S2＝2xy； ∴S1﹣S2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； ∵矩形的面积是ab，矩形的周长是2（a+b）； 故A、B是正确的； 又因为①的面积是（b﹣x）（a﹣y）②的面积是（a﹣x）（b﹣y）； （b﹣x）（a﹣y）﹣（a﹣x）（b﹣y）＝（a﹣b）（y﹣x）＝（a﹣b）2； 故③正确， 故选：D． 10．（2分）（2024春•花山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 根据题意得：8n≤2017， ∴n≤252， ∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503， ∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032 ＝5052﹣12 ＝255024． 故选：A． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2023春•秦都区校级期中）如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 　6　 ． 解：设AB＝a，AD＝b， ∵四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， ∴4a•2+4b•2＝40，2a2+2b2＝26， 解得：a+b＝5，a2+b2＝13， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣13＝12， ∴ab＝6， ∴长方形ABCD的面积为6， 故答案为：6． 12．（2分）（2022春•花山区校级期中）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　 ． 解：（a﹣b）（a2+ab+b2） ＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3 ＝a3﹣b3， 故答案为：a3﹣b3． 13．（2分）（2024春•鼓楼区校级期中）已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的　③②①　 （按运算顺序填序号）． 解：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的③②①， 故答案为：③②①． 14．（2分）（2024春•蒲城县期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 　9　 平方米． 解：∵原来正方形土地的面积是a2平方米， 现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是（a﹣3）（a+3）平方米，∴a2﹣（a﹣3）（a+3）＝a2﹣（a2﹣9）＝9平方米，∴张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米， 故答案为：9． 15．（2分）（2024春•永寿县期中）有两个大小不同的正方形A、B，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 　34　 ． 解：设A的边长为a，B的边长为b，由图可知： （a﹣b）2＝4，（a+b）2﹣a2﹣b2＝30， ∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴a2+b2﹣30＝4， ∴a2+b2＝34， 即：正方形A，B的面积之和为34； 故答案为：34． 16．（2分）（2024秋•金牛区校级期中）若规定符号的意义是：ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为 　9　 ． 解：由题意可得， ＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m） ＝m3﹣7m+3， ∵m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3 ∴m3﹣7m+3 ＝m（m2）﹣7m+3 ＝m（2m+3）﹣7m+3 ＝2m2﹣4m+3 ＝2（m2﹣2m）+3 ＝2×3+3 ＝9， 所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9． 故答案为：9． 17．（2分）（2022春•武陵区校级期中）如图，一个长方形被分成4个面积不相等的小长方形，其中A、B、的面积分别是A＝160，B＝172，C＝215，（单位：平方厘米）．原来大长方形的面积是　747　 平方厘米． 解：如图，设出a，b，c，d， 所以A的面积为ac＝160，B的面积为bc＝172，C的面积为bd＝215， 三式相乘得：ac•bc•bd＝160×172×215， 即ad•（bc）2＝160×172×215， 把bc＝172代入得：ad200， 所以D的面积为ad＝200， 则原大长方形的面积为：160+172+215+200＝747． 故答案为：747． 18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）　　 ． 解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）， （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）， （532﹣1）， ． 19．（2分）（2024春•渠县校级期中）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为　10　 ． 解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3， ∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2 ＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2 ＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3 ＝4， ∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10． 故答案为：10． 20．（2分）（2022春•临川区校级期中）如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　7或　 ． 解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13． ∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG， ∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10． ∵BE＝BA＝10， ∴LG＝EC＝3， ∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3． 当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4， 解得DG＝9或． 当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4， ∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7； 当DG时，AF＝CG，AJ， ∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG ． 故答案为7或． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2017春•澧县期中）化简：2（a4）3+（﹣2a3）2•（﹣a2）3+a2•a10． 解：原式＝2a12+4a6•（﹣a6）+a12 ＝3a12﹣4a12 ＝﹣a12． 22．（6分）（2024春•崂山区校级期中）先化简，再求值 （1）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中，y＝﹣25． （2）[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷（﹣2x），其中x＝3，y＝﹣1． 解：（1）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x ＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x ＝2xy﹣1 当，y＝﹣25时， 原式； （2）[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷（﹣2x） ＝[9x2﹣6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2]÷（﹣2x） ＝[8x2﹣6xy]÷（﹣2x） ＝﹣4x+3y， 当x＝3，y＝﹣1时， 原式＝﹣4×3+3×（﹣1）＝﹣15． 23．（8分）（2024春•拱墅区校级期中）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 解：（1）长方形地块的面积为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2， 中间预留部分的面积为：（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，S＝3a2+4ab+b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝8ab﹣a2， 因此绿化的面积S为（8ab﹣a2）平方米； （2）由题意知，S＝8×3×2﹣32＝48﹣9＝39（平方米），39×100＝3900（元）， 因此完成绿化共需要3900元． 24．（8分）（2024春•渠县校级期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（ 　A　 ） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝　28　 ； 【类比应用】 （3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，则CE的长度为 　8　 ． 解：（1）图①中大正方形的面积用“边长的平方”表示为（a+b）2，用“各部分面积之和”表示为a2+2ab+b2，利用数形结合的数学思想验证了公式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，A． （2）∵xy＝4，x+y＝6， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36，即x2+y2+8＝36， ∴x2+y2＝28． 故答案为：28． （3）设x﹣2024＝m，2025﹣x＝n，则m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝1，即2026+2mn＝1， ∴mn， ∴（x﹣2024）（2025﹣x）． （4）设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，则CE＝a+b． ∵S△ABGAG•AB（a﹣b）a，S△EFGEF•FGb2， ∴S阴影＝S△ABG+S△EFG（a﹣b）ab2＝11，经整理，得a2﹣ab+b2＝22， ∵S△CDGCD•DGab＝7， ∴ab＝14， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2 ＝a2﹣ab+b2+3ab ＝22+3×14 ＝64， ∴a+b＝8或﹣8（舍去）， ∴CE＝8． 故答案为：8． 25．（8分）（2024春•东港市期中）【阅读理解】 “若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．” 解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b， 则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝80﹣x+x﹣60＝20 所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340 【学以致用】 （1）若x满足（50﹣x）（x﹣20）＝10，求（50﹣x）2+（x﹣20）2的值； （2）若x满足（25﹣x）（18﹣x）＝30，求（25﹣x）2+（18﹣x）2的值； （3）若x满足x2+（10﹣x）2＝260，求x（10﹣x）的值； 【问题解决】 如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝6，CG＝8，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值）． 解：（1）解：设50﹣x＝p，x﹣20＝q， 则（50﹣x）（x﹣20）＝pq＝10，p+q＝50﹣x+x﹣20＝30， ∴（50﹣x）2+（x﹣20）2＝p2+q2＝（p+q）2﹣2pq＝302﹣2×10＝880． （2）设25﹣x＝a，18﹣x＝b， 则（25﹣x）（18﹣x）＝ab＝30，a﹣b＝（25﹣x）﹣（18﹣x）＝7， ∴（25﹣x）2+（18﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝72+2×30＝109． （3）设x＝c，10﹣x＝d， 则x2+（10﹣x）2＝c2+d2＝260，c+d＝x+（10﹣x）＝10， ∴2cd＝（c+d）2﹣（c2+d2）＝﹣160， ∴cd＝﹣80， 则x（10﹣x）＝﹣80． （4）由题意得，ED＝x﹣6，DG＝x﹣8， 设x﹣6＝m，x﹣8＝n，m﹣n＝2， ∵长方形EFGD的面积是240， ∴mn＝240， ∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形， ∴ME＝DE，DG＝NG， ∴MF＝ME+EF＝DE+FE＝x﹣6+x﹣8， 同理，FN＝x﹣6+x﹣8， ∴ ＝（m+n）2 ＝（m﹣n）2+4mn ＝22+4×240 ＝964， 因此，图中阴影部分的面积964． 26．（8分）（2024春•蓬莱区期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　7　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b）， 由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 得ab＝6，a2+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：7； （3）∵ab＝6，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝5， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5+24 ＝29． 27．（8分）（2024春•吉安期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　 ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， （2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣414． （3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3． （4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）， 把a+b＝3，ab＝1代入得： a3+b3＝33﹣3×1×3＝18． ∴9． 28．（8分）（2024春•锦州期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1． 这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为 　a2﹣b2　 ． 则②的阴影面积表示为 　（a+b）（a﹣b）　 ． 由此可以得到的等式是 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　[n（n+1）]2　 .（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 解：（1）∵左图的阴影部分的面积是a2﹣b2， 右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 这就验证了平方差公式； 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， （2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33； 而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形， 由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62； 故答案为：62； （3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2， 又∵1+2+3+…+nn（n+1）， ∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2． 故答案为：[n（n+1）]2 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$