第3章 整式的乘除（导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选压轴题专练 共55题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第3章 整式的乘除 （知识梳理+易错点拨+15个重难点考点讲练+压轴题专练 共55题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 只是晋江 复习回顾 2 知识点梳理01：幂的运算 2 知识点梳理02：整式的乘法和除法 3 知识点梳理03：乘法公式 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：幂的运算混淆 4 易错知识点02：符号处理错误 4 易错知识点03：乘法公式应用错误 4 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 5 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 5 易错知识点06：实际应用中的易错点 5 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01:同底数幂的乘法 6 考点讲练02:幂的乘方与积的乘方 6 考点讲练03:同底数幂的除法 7 考点讲练04:单项式乘单项式 8 考点讲练05:单项式乘多项式 9 考点讲练06:多项式乘多项式 10 考点讲练07:完全平方公式 11 考点讲练08:完全平方公式的几何背景 12 考点讲练09:平方差公式 14 考点讲练10:平方差公式的几何背景 15 考点讲练11:整式的除法 18 考点讲练12:整式的混合运算 19 考点讲练13:整式的混合运算—化简求值 20 考点讲练14:零指数幂 21 考点讲练15:负整数指数幂 22 压轴专练 拔尖冲刺 22 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 易错知识点01：幂的运算混淆 1. 同底数幂的乘除规则混淆 乘法：学生常误将指数相加的规则与底数相加混淆 除法：同底数幂相除时，易错将指数相减变成底数相减 2. 幂的乘方与积的乘方混淆 幂的乘方：学生可能漏掉括号 积的乘方：仅乘系数未乘变量的指数） 易错知识点02：符号处理错误 1. 底数为相反数时的符号问题 易错知识点03：乘法公式应用错误 1. 平方差公式的误用 公式仅适用于(a+b)(a−b)形式，若遇到类似(a+2)(a−3)，不可强行套用公式，否则会导致错误 识别整体项错误：例如(−2a+3)(−2a−3)中，需将 -2a 视为整体，正确结果为(−2a)²−3²=4a²−9，但可能漏掉负号或系数平方。 2. 完全平方公式的典型错误 漏中间项：如(x−3)²应为x²−6x+9，但学生常漏掉中间项，直接写成x²−9 符号错误：如(a−b)²展开时可能误将中间项符号写反，导致结果错误58。 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 1. 运算顺序混乱 应先算乘除再加减，但可能直接从左到右运算，导致错误 括号展开错误：应先展开平方再乘系数，而非直接乘系数，否则可能漏项或符号错误 2. 步骤跳跃导致错误 多项式除以单项式：如(6x²y−4xy²)÷2xy应逐项除，结果为 3x -2y，但可能漏除第二项的变量或系数78。 未化简直接代入：求值时若未先化简表达式，可能因复杂运算出错 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 1. 零指数幂：a0=1的前提是a≠0，如(x−2)0=1中需明确x≠2，否则可能导致无意义结果 2. 负指数幂：如2−3=，但可能误算为负数 -8 易错知识点06：实际应用中的易错点 1. 变量关系误判 错误建模：例如，题目中说“长方形的长增加3倍，宽减少一半”，学生可能直接写成“长×3，宽÷2”，但“增加3倍”实际是“原长的4倍”，而“减少一半”是“原宽的½”，需注意倍数关系的关键词 单位混淆：若问题中涉及面积或体积单位（如平方米、立方厘米），计算时可能忽略单位的平方或立方关系。 2. 忽略实际限制条件 如“用篱笆围成长方形”问题中，学生可能未检查边长是否为正数，导致出现负数解仍保留答案 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 1. 分配律应用不彻底 漏乘项：例如，展开3x(x−2y+4)时，可能只乘第一项，漏掉后两项，正确应为3x²−6xy+12x，但易错为3x²−2y+4 负号分配错误：如−2(3a−b)应展开为 -6a +2b，但可能错写成 -6a -2b 或漏掉负号 2. 合并同类项时的疏忽 强行合并非同类项：例如，3x²+2x不可合并为5x³，但学生可能误以为次数相近即可相加 符号漏写：如4a−(a−3b)去括号后应为 4a -a +3b =3a +3b，但可能漏掉括号内的负号，导致结果错误 考点讲练01:同底数幂的乘法 【例题精讲】（2024春•武冈市期中）计算（a﹣b）4•（b﹣a）3的结果是： ①（a﹣b）7； ②（b﹣a）7； ③﹣（b﹣a）7； ④﹣（a﹣b）7．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【训练1】（2024春•余姚市校级期中）若xm＝4，xn＝﹣3，则xm+n＝　 　 ． 【训练2】（2024春•滕州市期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28即log28＝3）． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　 　 ；log216＝　 　 ；log264＝　 　 ． （2）通过观察（1）中结果，试写出log24、log216、log264之间的关系式：　 　 ． （3）由（2）中关系，你能猜想出一个一般性的结论吗？请试着写出来． logaM+logaN＝ 　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）， 考点讲练02:幂的乘方与积的乘方 【例题精讲】（2024春•泰山区期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得k＝﹣4；②当x与y互为相反数时，解得k＝3；③若4x•8y＝32，则k＝11；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12＝0，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【训练1】（2024春•沙县区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　　 ，（5，1）＝　　 ，　　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， ∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由． 【训练2】（2024春•焦作期中）（1）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x×32y的值． （2）已知2m＝3，2n＝5，求24m+2n的值． 考点讲练03:同底数幂的除法 【例题精讲】（2024秋•宜昌期中）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2 【训练1】（2023春•茂名期中）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（﹣3a）2＝6a2 C．（a2）2＝a5 D．a2•a3＝a6 【训练2】（2023春•蚌山区期中）将幂的运算逆向思维可以得到，am+n＝am•an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝（ab）m．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）　 ； （2）若3×9m×27m＝311，求m的值； （3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 考点讲练04:单项式乘单项式 【例题精讲】（2024春•乐亭县期中）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝6ab B．a2•a＝a2 C．（a2）3＝a5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5 【训练1】（2024春•云溪区期中）计算：2a•3a2b＝ 　 ． 【训练2】（2023春•岳阳期中）计算： （1） ； （2）． 考点讲练05:单项式乘多项式 【例题精讲】（2024春•即墨区期中）小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2023代入，结果还是25，则m的值为 　 　 ． 【训练1】（2023秋•南昌期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 【训练2】（2024春•百色期中）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 考点讲练06:多项式乘多项式 【例题精讲】（2024秋•天河区校级期中）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【训练1】（2017春•大丰市期中）如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）求出拼成的长方形纸片的长和宽； （2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽． 【训练2】（2024秋•海安市期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x、y的大小． 解：设6788＝a， 那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a． 因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2，所以x＜y． 看完后，你学到了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若x＝2007×2011﹣2008×2010，y＝2008×2012﹣2009×2011，试比较x、y的大小． 考点讲练07:完全平方公式 【例题精讲】（2023春•秦都区校级期中）如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 　　 ． 【训练1】（2024春•凌海市期中）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9， 又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法， 解决下列问题： （1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值； （2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值． 【训练2】（2024春•凌海市期中）很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为a2．用来表示长和宽分别为b和a的长方形，其面积为ab，用来表示边长为b的正方形，其面积为b2，（b大于a） 那么，（2a+b）2＝4a2+4ab+b2可以用如图形解释： （1）你能用几何模型解释吗？（3a+b）2＝ 　 （请将几何模型画出来）； （2）试用几何模型分析并填空：　 　 ＝6a2+5ab+b2（请将几何模型画出来）． 考点讲练08:完全平方公式的几何背景 【例题精讲】（2024春•沙县区期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　 ； 图2表示：　 ； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若x+y＝8，x2+y2＝40，则（x﹣y）2＝　 　 ；xy＝ 　 ； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积． 【训练1】（2024春•拱墅区校级期中）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 【训练2】（2024秋•九台区期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 考点讲练09:平方差公式 【例题精讲】（2024春•运城期中）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a﹣2）（2﹣a） B．（a+2）（2﹣a） C．（a+3）（3+a） D．（a﹣b）（﹣a+b） 【训练1】（2024春•青白江区校级期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（m﹣n）（﹣m+n） B．（x﹣y）（x+y） C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（c﹣d）（d+c） 【训练2】（2024春•凤城市期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．如图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，如图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 【拓展探究】 如图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按如图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　 ，方法2： ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 　 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，求（a+b）2的值． 【知识迁移】 （4） 如图5，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝5，E是AB的中点，求图中的阴影部分面积的和． 考点讲练10:平方差公式的几何背景 【例题精讲】（2024春•霍邱县期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． （1）用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：　 ； （2）请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 【训练1】（2024春•莱州市期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 　　 ．（请选择“A”、“B”、“C”） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝3，则x﹣2y的值＝　　 ． ②简便计算：20232﹣2022×2024． 【训练2】（2024春•锦州期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1． 这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为 ． 则②的阴影面积表示为 　 　 ． 由此可以得到的等式是 　 　 ． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　 .（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 考点讲练11:整式的除法 【例题精讲】（2024春•霍邱县期中）计算（﹣3a3bm）2÷9anb＝a4b，则m+n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【训练1】（2024春•锦江区校级期中）阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如：f（x）＝2x2﹣x+1，当x＝3时，该多项式的值为f（3）＝2×32﹣3+1＝16．【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14．根据以上材料回答问题：已知多项式f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（﹣2）＝　　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数 等于 ；已知多项式f（x）＝mx2+nx+5（m、n为常数），若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为7，f（x）除以（x+1）时所得余数为3，则m2﹣n2的值为 　 ． 【训练2】（2024春•邗江区期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（2x2+3x﹣9）÷（x+3）＝　 ． （2）（x3+4x2+5x﹣6）÷（x+2）的商是 　 　 ，余式是 　 　 ． （3）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）．另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有x的代数式表示）． 考点讲练12:整式的混合运算 【例题精讲】（2024春•覃塘区期中）下列计算正确的是（　　） A．（a﹣5）（a+6）＝a2﹣30 B．（a+b）2＝a2+b2 C． D．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1 【训练1】（2024春•镇海区校级期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK），其中3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　） A．90 B．96 C．100 D．106 【训练2】（2024春•丹徒区期中）【计算】 小红计算（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（□x﹣3y）﹣2y2时，得到的结果是x2+y2﹣xy，则“□”表示的数为 　 ． 【发现】 小红对计算结果x2+y2﹣xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2+y2﹣xy（x、y为自然数）的形式，她把这类数称为“神秘数”．例如：3＝22+12﹣2×1，19＝52+32﹣5×3，327＝192+172﹣19×17…，所以3，19，327是“神秘数”．请写出两个10以内的“神秘数”（不包含3）：　 ，　　 ． 【探究】 小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”．试说明所有“双奇神秘数”被4除余3． 【应用】 若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是 　　 和 　　 ． 考点讲练13:整式的混合运算—化简求值 【例题精讲】（2024春•高青县期中）如果m2﹣2m﹣3＝0，那么代数式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．3 【训练1】（2024春•鹿城区校级期中）大长方形中按如图所示的方式摆放五个完全相同的小长方形，若一个小长方形的面积为，阴影部分的面积为20，则大长方形的周长为 　　 ． 【训练2】（2024春•东阳市期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80． （1）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝2020，则（2024﹣x）（x﹣2022）＝　 ； （2）两个长方形ABEF和AMLN如图放置，AB＝a，BE＝4a，BM＝3，NF＝6，已知长方形AMNL的面积为16，则4（a﹣3）2+（2a﹣3）2＝　 ． 考点讲练14:零指数幂 【例题精讲】（2023春•长安区校级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论I：若n的值为5，则y的值为1；结论Ⅱ：x+y的值为定值； 结论Ⅲ：若xm﹣3n＝1，则y的值为4或1 A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 【训练1】（2017春•昌江区期中）已知：，求x的值． 【训练2】（2014春•句容市期中）小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）x+3＝1，求x的值，他解出来的结果为x＝1，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？ 小明解答过程如下： 解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3＝1，x＝2．且2+3＝5 故（2x﹣3）x+3＝（2×2﹣3）2+3＝15＝1，所以x＝2 你的解答是： 考点讲练15:负整数指数幂 【例题精讲】（2024春•榆林期中）若a＝﹣（﹣0.3）2，b＝﹣3﹣2，c＝（）0，则正确的为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 【训练1】（2023春•兴庆区校级期中）　　 ． 【训练2】（2024春•新城区校级期中）计算：． 1．（2024春•邢台期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅图中，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春•东港市期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2m﹣3n）（2m+3n） B．（a﹣b+c）（a+b+c） C．（﹣a﹣b）（b﹣a） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 3．（2024春•槐荫区期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 4．（2024春•奉化区校级期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1﹣S2值的是（　　） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 5．（2024春•天长市期中）如果a，b是长方形的长和宽，且（a+b）2＝20，（a﹣b）2＝4，则长方形的面积是 　 　 ． 6．（2024春•山亭区期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为ad﹣bc，例如：，当时，则m的值为 　 　 ． 7．（2024春•怀宁县期中）（1）已知，则y﹣x＝　 　 ． （2）已知a+b＝6，ab﹣c2＝9．则a+b+c＝　 　 ． 8．（2024春•池州期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2． （1）请比较S1与S2的大小：S1　 　 S2． （2）满足条件4＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有4个，则m＝　 　 ． 9．（2023春•冷水滩区校级期中）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？ 10．（2022春•长安区校级期中）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　 　 （写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　 　 （写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　 　 ． （4）利用所得公式计算：2（1）（1）（1）（1）． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第3章 整式的乘除 （知识梳理+易错点拨+15个重难点考点讲练+压轴题专练 共55题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 只是晋江 复习回顾 2 知识点梳理01：幂的运算 2 知识点梳理02：整式的乘法和除法 3 知识点梳理03：乘法公式 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：幂的运算混淆 4 易错知识点02：符号处理错误 4 易错知识点03：乘法公式应用错误 4 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 5 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 5 易错知识点06：实际应用中的易错点 5 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01:同底数幂的乘法 6 考点讲练02:幂的乘方与积的乘方 7 考点讲练03:同底数幂的除法 10 考点讲练04:单项式乘单项式 11 考点讲练05:单项式乘多项式 13 考点讲练06:多项式乘多项式 15 考点讲练07:完全平方公式 16 考点讲练08:完全平方公式的几何背景 19 考点讲练09:平方差公式 22 考点讲练10:平方差公式的几何背景 25 考点讲练11:整式的除法 29 考点讲练12:整式的混合运算 31 考点讲练13:整式的混合运算—化简求值 34 考点讲练14:零指数幂 37 考点讲练15:负整数指数幂 40 压轴专练 拔尖冲刺 41 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 易错知识点01：幂的运算混淆 1. 同底数幂的乘除规则混淆 乘法：学生常误将指数相加的规则与底数相加混淆 除法：同底数幂相除时，易错将指数相减变成底数相减 2. 幂的乘方与积的乘方混淆 幂的乘方：学生可能漏掉括号 积的乘方：仅乘系数未乘变量的指数） 易错知识点02：符号处理错误 1. 底数为相反数时的符号问题 易错知识点03：乘法公式应用错误 1. 平方差公式的误用 公式仅适用于(a+b)(a−b)形式，若遇到类似(a+2)(a−3)，不可强行套用公式，否则会导致错误 识别整体项错误：例如(−2a+3)(−2a−3)中，需将 -2a 视为整体，正确结果为(−2a)²−3²=4a²−9，但可能漏掉负号或系数平方。 2. 完全平方公式的典型错误 漏中间项：如(x−3)²应为x²−6x+9，但学生常漏掉中间项，直接写成x²−9 符号错误：如(a−b)²展开时可能误将中间项符号写反，导致结果错误58。 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 1. 运算顺序混乱 应先算乘除再加减，但可能直接从左到右运算，导致错误 括号展开错误：应先展开平方再乘系数，而非直接乘系数，否则可能漏项或符号错误 2. 步骤跳跃导致错误 多项式除以单项式：如(6x²y−4xy²)÷2xy应逐项除，结果为 3x -2y，但可能漏除第二项的变量或系数78。 未化简直接代入：求值时若未先化简表达式，可能因复杂运算出错 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 1. 零指数幂：a0=1的前提是a≠0，如(x−2)0=1中需明确x≠2，否则可能导致无意义结果 2. 负指数幂：如2−3=，但可能误算为负数 -8 易错知识点06：实际应用中的易错点 1. 变量关系误判 错误建模：例如，题目中说“长方形的长增加3倍，宽减少一半”，学生可能直接写成“长×3，宽÷2”，但“增加3倍”实际是“原长的4倍”，而“减少一半”是“原宽的½”，需注意倍数关系的关键词 单位混淆：若问题中涉及面积或体积单位（如平方米、立方厘米），计算时可能忽略单位的平方或立方关系。 2. 忽略实际限制条件 如“用篱笆围成长方形”问题中，学生可能未检查边长是否为正数，导致出现负数解仍保留答案 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 1. 分配律应用不彻底 漏乘项：例如，展开3x(x−2y+4)时，可能只乘第一项，漏掉后两项，正确应为3x²−6xy+12x，但易错为3x²−2y+4 负号分配错误：如−2(3a−b)应展开为 -6a +2b，但可能错写成 -6a -2b 或漏掉负号 2. 合并同类项时的疏忽 强行合并非同类项：例如，3x²+2x不可合并为5x³，但学生可能误以为次数相近即可相加 符号漏写：如4a−(a−3b)去括号后应为 4a -a +3b =3a +3b，但可能漏掉括号内的负号，导致结果错误 考点讲练01:同底数幂的乘法 【例题精讲】（2024春•武冈市期中）计算（a﹣b）4•（b﹣a）3的结果是： ①（a﹣b）7； ②（b﹣a）7； ③﹣（b﹣a）7； ④﹣（a﹣b）7．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则判断即可． 【规范解答】解：（a﹣b）4（b﹣a）3＝（b﹣a）4（b﹣a）3＝（b﹣a）7＝﹣（a﹣b）7， 所以正确的有②④． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【训练1】（2024春•余姚市校级期中）若xm＝4，xn＝﹣3，则xm+n＝　﹣12　 ． 【思路点拨】根据已知条件逆用同底数幂相乘法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵xm＝4，xn＝﹣3， ∴xm+n ＝xm•xn ＝4×（﹣3） ＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【考点评析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则． 【训练2】（2024春•滕州市期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28即log28＝3）． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　2　 ；log216＝　4　 ；log264＝　6　 ． （2）通过观察（1）中结果，试写出log24、log216、log264之间的关系式：　log24+log216＝log264　 ． （3）由（2）中关系，你能猜想出一个一般性的结论吗？请试着写出来． logaM+logaN＝　logaMN　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）， 【思路点拨】阅读材料中对数的定义，明确其和同底数幂的关系，再总结对数的加法运算法则． 【规范解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64， ∴log24＝2，log216＝4，log264＝6． （2）∵2+4＝6， ∴log24+log216＝log264． （3）∵aman＝am+n，M＝am，N＝an， ∴logaM+logaN＝logaMN． 【考点评析】本题主要考查了与同底数幂的乘法相关的新定义相关的知识，通过具体算式掌握“逆向思维”是解题的关键． 考点讲练02:幂的乘方与积的乘方 【例题精讲】（2024春•泰山区期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得k＝﹣4；②当x与y互为相反数时，解得k＝3；③若4x•8y＝32，则k＝11；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12＝0，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x＝y列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k，即可得到x，y的关系． 【规范解答】解：， 由②得：x＝2y+k+6③， 把③代入①中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当x与y相等时，x＝y， 即， 解得：k＝﹣4， ∴①正确； ②∵方程的两根互为相反数， ∴x+y＝0， 即， 解得：k＝3， ∴②正确； ③4x•8y＝32， ∴（22）x•（23）y＝25， ∴22x•23y＝25， ∴22x+3y＝25， ∴2 x+3 y＝5， 将方程组的解代入得：， 解得：k＝11， ∴③正确； ④， ①﹣②×2得x+5y＝﹣12， 即x+5y+12＝0． ∴④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故选：A． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键． 【训练1】（2024春•沙县区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　 ，（5，1）＝　0　 ，　﹣3　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， ∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）设（3，7）＝x，（3，8）＝y，则3x＝7，3y＝8，根据3x+y＝3x•3y＝7×8＝56，得出（3，56）＝x+y即可证明结论． 【规范解答】解：（1）∵33＝27， ∴（3，27）＝3； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵， ∴． （2）成立，理由如下： 设（3，7）＝x，（3，8）＝y， 则3x＝7，3y＝8， ∴3x+y＝3x•3y＝7×8＝56， ∴（3，56）＝x+y， ∴（3，7）+（3，8）＝（3，56）． 【考点评析】本题主要考查了新定义运算，同底数幂相乘的逆用，负整指数幂，零指数幂，解题的关键是理解题意，熟练掌握同底数幂乘法，负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则，准确计算． 【训练2】（2024春•焦作期中）（1）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x×32y的值． （2）已知2m＝3，2n＝5，求24m+2n的值． 【思路点拨】（1）4x×32y＝（22）x×（25）y＝22x•25y＝22x+5y，再代入求值即可； （2）24m+2n＝（2m）4×（2n）2，再代入求值即可． 【规范解答】解：（1）4x×32y ＝（22）x×（25）y ＝22x•25y ＝22x+5y， ∵2x+5y﹣3＝0， ∴2x+5y＝3， ∴22x+5y＝23＝8， ∴4x×32y的值为8； （2）24m+2n＝（2m）4×（2n）2， ∵2m＝3，2n＝5， ∴（2m）4×（2n）2＝34×52＝2025， ∴24m+2n的值为2025． 【考点评析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 考点讲练03:同底数幂的除法 【例题精讲】（2024秋•宜昌期中）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2 【思路点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：a2•a3＝a5，故A符合题意； （a2）3＝a6，故B不符合题意； （a2b）3＝a6b3，故C不符合题意； a6÷a3＝a3，故D不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【训练1】（2023春•茂名期中）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（﹣3a）2＝6a2 C．（a2）2＝a5 D．a2•a3＝a6 【思路点拨】根据同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故本选项正确，符合题意； B、（﹣3a）2＝9a2，故本选项错误，不符合题意； C、（a2）2＝a4，故本选项错误，不符合题意； D、a2•a3＝a5，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【训练2】（2023春•蚌山区期中）将幂的运算逆向思维可以得到，am+n＝am•an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝（ab）m．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）　1　 ； （2）若3×9m×27m＝311，求m的值； （3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 【思路点拨】（1）逆运积的乘方公式进行计算即可解答； （2）将原式转化为同底数幂进行计算，然后列出关于m的一元一次方程求解即可； （3）将各式转化为指数相同，然后比较底数的大小即可解答． 【规范解答】解：（1）． 故答案为1． （2）∵3×9m×27m＝311， ∴3×32m×33m＝31+5m＝311， ∴1+5m＝11，解得m＝2． （3）a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，d＝622＝（62）11＝3611， ∵32＜36＜81＜125， ∴3211＜3611＜8111＜12511， ∴a＜d＜b＜c． 【考点评析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活逆用幂的乘方、积的乘方的公式是解决本题的关键． 考点讲练04:单项式乘单项式 【例题精讲】（2024春•乐亭县期中）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝6ab B．a2•a＝a2 C．（a2）3＝a5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5 【思路点拨】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，计算时，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A； 同底数幂相乘时，底数不变，指数相加，据此判断B； 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此判断C； 单项式乘单项式时候，分别计算系数的积和相同字母的幂的积：将系数相乘得到积的系数，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则计算相同字母的幂的积．据此判断D． 【规范解答】解：A、2a与3b不是同类项不能合并，故错误，不符合题意； B、a2•a＝a3，故原计算错误，不符合题意； C、（a2）3＝a6，故原计算错误，不符合题意； D、3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5，正确，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是熟练运用整式的运算法则． 【训练1】（2024春•云溪区期中）计算：2a•3a2b＝　6a3b　 ． 【思路点拨】利用单项式与单项式相乘的乘法法则运算． 【规范解答】解：2a•3a2b＝6a3b． 故答案为：6a3b． 【考点评析】本题考查了单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【训练2】（2023春•岳阳期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可； （2）将2改写为，再根据平方差公式进行计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）原式 ＝4． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握单项式乘以单项式的运算法则，以及平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 考点讲练05:单项式乘多项式 【例题精讲】（2024春•即墨区期中）小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2023代入，结果还是25，则m的值为 　±5　 ． 【思路点拨】先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m． 【规范解答】解：（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n） ＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣33m2﹣12mn ＝m2， 所以这个结果与n的取值无关，是25， ∵m2＝25， ∴m＝±5； 故答案为：±5． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，正确理解题意、熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键． 【训练1】（2023秋•南昌期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 【思路点拨】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可． （2）把x，y代入多项式求值即可． 【规范解答】解：（1）设多项式为A， 则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1． （2）∵x，y， ∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 【考点评析】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题． 【训练2】（2024春•百色期中）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 【思路点拨】（1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． 【规范解答】解：（1）S1＝b（3a+1）＝3ab+b（平方米）， S2＝5a×2b﹣b（3a+1）＝7ab﹣b（平方米）； （2）当a＝9米，b＝15米时， S1＝3×9×15+15＝420（平方米）， S2＝7×9×15﹣15＝930（平方米）； （3）M＝420×100+930×50＝88500（元）． 【考点评析】本题考查单项式与多项式相乘，掌握整式乘法的应用是解题的关键． 考点讲练06:多项式乘多项式 【例题精讲】（2024秋•天河区校级期中）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【思路点拨】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了． 【规范解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米）， 第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米， ∵a＞b， ∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab， ∴面积变小了， 故选：A． 【考点评析】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算． 【训练1】（2017春•大丰市期中）如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）求出拼成的长方形纸片的长和宽； （2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽． 【思路点拨】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽； （2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【规范解答】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b． 长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b． （2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2． 【考点评析】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 【训练2】（2024秋•海安市期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x、y的大小． 解：设6788＝a， 那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a． 因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2，所以x＜y． 看完后，你学到了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若x＝2007×2011﹣2008×2010，y＝2008×2012﹣2009×2011，试比较x、y的大小． 【思路点拨】设2007＝a，利用题干中的方法将x，y用含a的代数式表示，再利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的法则化简后即可得出结论． 【规范解答】解：设2007＝a， 则x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3） ＝a2+4a﹣（a2+3a+a+3） ＝a2+4a﹣a2﹣3a﹣a﹣3 ＝﹣3， y＝（ a+1）（ a+5）﹣（ a+2）（ a+4） ＝（a2+5a+a+5）﹣（a2+4a+2a+8） ＝a2+5a+a+5﹣a2﹣4a﹣2a﹣8 ＝﹣3， 所以x＝y． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 考点讲练07:完全平方公式 【例题精讲】（2023春•秦都区校级期中）如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 　6　 ． 【思路点拨】设AB＝a，AD＝b，根据已知易得：4a•2+4b•2＝40，2a2+2b2＝26，从而可得：a+b＝5，a2+b2＝13，然后利用完全平方公式进行计算即可解答． 【规范解答】解：设AB＝a，AD＝b， ∵四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， ∴4a•2+4b•2＝40，2a2+2b2＝26， 解得：a+b＝5，a2+b2＝13， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣13＝12， ∴ab＝6， ∴长方形ABCD的面积为6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【训练1】（2024春•凌海市期中）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9， 又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法， 解决下列问题： （1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值； （2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值． 【思路点拨】（1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式得出[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2的值，根据完全平方公式变形得出（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x），将（2025﹣x）（2023﹣x）＝3代入即可求解． 【规范解答】解：（1）若x+y＝5，则（x+y）2＝25，即x2+2xy+y2＝25， ∵x2+y2＝11， ∴； （2）由（2025﹣x）2﹣2（2025﹣x）（2023﹣x）+（2023﹣x）2 ＝[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2 ＝4， 即（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x）， 若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3， ∴（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2×3＝10． 【考点评析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键． 【训练2】（2024春•凌海市期中）很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为a2．用来表示长和宽分别为b和a的长方形，其面积为ab，用来表示边长为b的正方形，其面积为b2，（b大于a） 那么，（2a+b）2＝4a2+4ab+b2可以用如图形解释： （1）你能用几何模型解释吗？（3a+b）2＝　9a2+6ab+b2　 （请将几何模型画出来）； （2）试用几何模型分析并填空：　（2a+b）（3a+b）　 ＝6a2+5ab+b2（请将几何模型画出来）． 【思路点拨】（1）根据完全平方公式展开计算即可（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，画几何图形解释即可； （2）根据（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2，画几何图形解释即可． 【规范解答】解：（1）根据题意，得（3a+b）2＝9a2+6ab+b2， 故答案为：9a2+6ab+b2． 画图如下： ， （2）根据（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2， 故答案为：（2a+b）（3a+b）， 画图如下： ． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 考点讲练08:完全平方公式的几何背景 【例题精讲】（2024春•沙县区期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　 ； 图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　 ； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若x+y＝8，x2+y2＝40，则（x﹣y）2＝　16　 ；xy＝　12　 ； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积． 【思路点拨】（1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据x+y＝8，x2+y2＝40，求出xy的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可； （3）AB＝AC+BC，，，S阴影＝BC⋅CD＝BC⋅AC，可以利用（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC⋅BC代入求值即可． 【规范解答】解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和， 即（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab． 图2中，由图可知，，S四个长方形＝4ab， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． （2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴ ∵x+y＝8，x2+y2＝40， ∴， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝40﹣2×12＝16． 故答案为：16；12． （3）由题意得AB＝AC+CB， ∵AB＝7， ∴AC+CB＝7， ∵S1+S2＝16， ∴AC2+CB2＝16， ∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC⋅CB， ∴ ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． 【训练1】（2024春•拱墅区校级期中）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 【思路点拨】（1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可； （2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用． 【规范解答】解：（1）长方形地块的面积为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2， 中间预留部分的面积为：（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，S＝3a2+4ab+b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝8ab﹣a2， 因此绿化的面积S为（8ab﹣a2）平方米； （2）由题意知，S＝8×3×2﹣32＝48﹣9＝39（平方米），39×100＝3900（元）， 因此完成绿化共需要3900元． 【考点评析】本题考查列代数式、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积． 【训练2】（2024秋•九台区期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【思路点拨】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可； （3）根据S3（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S3． 【规范解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S330＝15． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键． 考点讲练09:平方差公式 【例题精讲】（2024春•运城期中）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a﹣2）（2﹣a） B．（a+2）（2﹣a） C．（a+3）（3+a） D．（a﹣b）（﹣a+b） 【思路点拨】根据两数之和与两数之差的乘积是构成平方差公式的条件，进行逐一分析，即可作答． 【规范解答】解：A、（a﹣2）（2﹣a）＝﹣（a﹣2）（a﹣2）＝﹣（a﹣2）2，不能运用平方差公式，故该选项是错误的； B、（a+2）（2﹣a）＝（2+a）（2﹣a）＝4﹣a2，能运用平方差公式，故该选项是正确的； C、（a+3）（3+a）＝（3+a）（3+a）＝（3+a）2，不能运用平方差公式，故该选项是错误的； D、（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2，不能运用平方差公式，故该选项是错误的； 故选：B． 【考点评析】本题考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 【训练1】（2024春•青白江区校级期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（m﹣n）（﹣m+n） B．（x﹣y）（x+y） C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（c﹣d）（d+c） 【思路点拨】根据（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2判定即可． 【规范解答】解：A、（m﹣n）（﹣m+n）＝﹣（m﹣n）（m﹣n），不能用平方差公式计算，符合题意； B、（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，能用平方差公式计算，不符合题意； C、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2，能用平方差公式计算，不符合题意； D、（c﹣d）（d+c）＝c2﹣d2，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键． 【训练2】（2024春•凤城市期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．如图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，如图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 【拓展探究】 如图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按如图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　（a+b）2﹣4ab　 ，方法2：　（a﹣b）2　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，求（a+b）2的值． 【知识迁移】 （4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝5，E是AB的中点，求图中的阴影部分面积的和． 【思路点拨】（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积等于长方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据完全平方公式变形即可求解； （4）根据阴影部分面积等于，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【规范解答】解：方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2； （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （3）∵a﹣b＝5，ab＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33； （4）阴影部分面积等于 ， ∵a+b＝6，ab＝5， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×5＝16， ∴阴影部分面积等于 ． 【考点评析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积问题，熟练掌握原式知识点是关键． 考点讲练10:平方差公式的几何背景 【例题精讲】（2024春•霍邱县期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． （1）用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：　或　 ； （2）请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 【思路点拨】（1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）方法一：用（1）中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：梯形的面积为， 或：； 故答案为：或； （2）方法一：用梯形面积乘以4，即； 方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2﹣b2． 【考点评析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 【训练1】（2024春•莱州市期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 　B　 ．（请选择“A”、“B”、“C”） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝3，则x﹣2y的值＝　4　 ． ②简便计算：20232﹣2022×2024． 【思路点拨】（1）分别表示拼接前后的阴影部分的面积，可得等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），得出答案； （2）①利用平方差公式将x2﹣4y2化为（x+2y）（x﹣2y），再整体代入即可； ②利用平方差公式得出20232﹣（2023﹣1）×（2023+1），再计算进而得出答案． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：B； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2﹣4y2＝12，x+2y＝3， ∴12＝3（x﹣2y）， 即：x﹣2y＝4， 故答案为：4； ②原式＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1） ＝20232﹣（20232﹣1） ＝20232﹣20232+1 ＝1． 【考点评析】本题考查平方差公式的意义和应用，理解和掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 【训练2】（2024春•锦州期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1． 这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为 　a2﹣b2　 ． 则②的阴影面积表示为 　（a+b）（a﹣b）　 ． 由此可以得到的等式是 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　[n（n+1）]2　 .（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 【思路点拨】（1）尝试解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； （2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G、H、I表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G、H、I恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62； （3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可． 【规范解答】解：（1）∵左图的阴影部分的面积是a2﹣b2， 右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 这就验证了平方差公式； 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， （2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33； 而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形， 由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62； 故答案为：62； （3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2， 又∵1+2+3+…+nn（n+1）， ∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2． 故答案为：[n（n+1）]2． 【考点评析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 考点讲练11:整式的除法 【例题精讲】（2024春•霍邱县期中）计算（﹣3a3bm）2÷9anb＝a4b，则m+n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】先根据幂的乘方运算，然后单项式除法列方程计算求得m、n，然后代入计算即可． 【规范解答】解：∵（﹣3a3bm）2÷9anb＝a4b， ∴9a6b2m÷9anb＝a6﹣nb2m﹣1＝a4b， ∴6﹣n＝4，2m﹣1＝1， 解得：m＝1，n＝2， ∴m+n＝3． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了幂的乘方运算、单项式除法等知识点，根据题意求得m、n是解答本题的关键． 【训练1】（2024春•锦江区校级期中）阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如：f（x）＝2x2﹣x+1，当x＝3时，该多项式的值为f（3）＝2×32﹣3+1＝16．【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14．根据以上材料回答问题：已知多项式f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（﹣2）＝　7　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　23　 ；已知多项式f（x）＝mx2+nx+5（m、n为常数），若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为7，f（x）除以（x+1）时所得余数为3，则m2﹣n2的值为 　﹣4　 ． 【思路点拨】根据材料1与2的定义即可求出答案．由题意可知：f（1）＝m+n+5＝7，f（﹣1）＝m﹣n+5＝3，列出方程组解出m+n与m﹣n的值即可求出答案． 【规范解答】解：依题意，∵f（x）＝x2﹣2x﹣1， ∴f（﹣2）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1＝4+4﹣1＝7； 依题意，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于f（6）＝（6）2﹣2×6﹣1＝23； ∵依题意，f（x）除以（x﹣1）时所得余数为f（1）＝m+n+5＝7， f（x）除以（x+1）时所得余数为f（﹣1）＝m﹣n+5＝3， ∴， ∴， ∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×（﹣2）＝﹣4． 故答案为：7，23，﹣4 【考点评析】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型． 【训练2】（2024春•邗江区期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（2x2+3x﹣9）÷（x+3）＝　2x﹣3　 ． （2）（x3+4x2+5x﹣6）÷（x+2）的商是 　x2+2x+1　 ，余式是 　﹣8　 ． （3）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）．另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有x的代数式表示）． 【思路点拨】（1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【规范解答】解：（1）用竖式进行计算： 故答案为：2x﹣3； （2）用竖式进行计算： 故答案为：x2+2x+1，﹣8； （3）长方形A的周长为：2（x+2+x﹣2）＝4x， 长方形B的周长为：2（x﹣2+a+x+2+6）＝4x+2a+12 ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12＝8x， ∴a＝2x﹣6， ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x﹣2+2x﹣6）＝（x+8）（3x﹣8）＝3x2+16x﹣64， ∴长方形C的面积为：3x2+16x﹣64﹣76＝3x2+16x﹣140， ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x﹣140）÷（x+10）＝3x﹣14， ∴长方形C的另一边长为：3x﹣14． 【考点评析】本题主要考查整式的除法，根据题意找出规律是解决此题的关键． 考点讲练12:整式的混合运算 【例题精讲】（2024春•覃塘区期中）下列计算正确的是（　　） A．（a﹣5）（a+6）＝a2﹣30 B．（a+b）2＝a2+b2 C． D．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1 【思路点拨】利用多项式乘多项式法则，完全平方公式，平方差公式逐项判断即可． 【规范解答】解：A．（a﹣5）（a+6）＝a2+a﹣30，原计算错误，不符合题意； B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是关键． 【训练1】（2024春•镇海区校级期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK），其中3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　） A．90 B．96 C．100 D．106 【思路点拨】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积，根据2S3+S1﹣S2＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积． 【规范解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得： S1的长为8﹣6＝2，宽为b﹣8， ∴S1＝2（b﹣8）； S2的长为8+6﹣a＝14﹣a，宽为6+6﹣b＝12﹣b， ∴S2＝（14﹣a）（12﹣b）； S3的长为a﹣8，宽为b﹣6， ∴S3＝（a﹣8）（b﹣6）， ∵2S3+S1﹣S2＝2， ∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2， ∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2， ∴ab﹣88＝2， ∴ab＝90， ∴长方形ABCD的面积为90， 故选：A． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【训练2】（2024春•丹徒区期中）【计算】 小红计算（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（□x﹣3y）﹣2y2时，得到的结果是x2+y2﹣xy，则“□”表示的数为 　4　 ． 【发现】 小红对计算结果x2+y2﹣xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2+y2﹣xy（x、y为自然数）的形式，她把这类数称为“神秘数”．例如：3＝22+12﹣2×1，19＝52+32﹣5×3，327＝192+172﹣19×17…，所以3，19，327是“神秘数”．请写出两个10以内的“神秘数”（不包含3）：　7　 ，　9　 ． 【探究】 小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”．试说明所有“双奇神秘数”被4除余3． 【应用】 若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是 　19　 和 　7　 ． 【思路点拨】【计算】由原式得（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（□x﹣3y）﹣2y2＝x2+y2﹣xy，故5x2﹣□x2＝x2，∴□＝4． 【发现】32+12﹣3×1＝7；32+02﹣3×0＝9； 【探究】两个连续奇数为（2n﹣1），（2n+1），故（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∴所有“双奇神秘数”被4除余3． 【应用】由探究得两个“双奇神秘数”为4n2+3，4t2+3，故4n2+3﹣（4t2+3）＝12，再计算即可． 【规范解答】解：【计算】 ∵原式＝（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（□x﹣3y）﹣2y2 ＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣2y2﹣x（□x﹣3y） ＝5x2+y2﹣4xy﹣x（□x﹣3y） ＝5x2+y2﹣xy﹣□x2 ＝x2+y2﹣xy， ∴5x2﹣□x2＝x2 ∴□＝4， 故答案为：4． 【发现】 32+12﹣3×1＝7；32+02﹣3×0＝9； 故答案为：7；9． 【探究】 两个连续奇数为（2n﹣1），（2n+1），其中n为正整数， ∴（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3， ∴所有“双奇神秘数”被4除余3． 【应用】 由探究得：设第一个“双奇神秘数”为4n2+3， 第二个“双奇神秘数”为4t2+3， ∴4n2+3﹣（4t2+3）＝12， ∴（n+t）（n﹣t）＝3， ∴n+t＝3，n﹣t＝1， ∴n＝2，t＝1， ∴4×22+3＝19，4×12+3＝7， 答：这两个“双奇神秘数”是19和7． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 考点讲练13:整式的混合运算—化简求值 【例题精讲】（2024春•高青县期中）如果m2﹣2m﹣3＝0，那么代数式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．3 【思路点拨】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，求出m2﹣2m＝3，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解：（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2 ＝m2﹣9+m2﹣4m+4 ＝2m2﹣4m﹣5， ∵m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2﹣2m＝3， 当m2﹣2m＝3时，原式＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1， 故选：C． 【考点评析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【训练1】（2024春•鹿城区校级期中）大长方形中按如图所示的方式摆放五个完全相同的小长方形，若一个小长方形的面积为，阴影部分的面积为20，则大长方形的周长为 　27　 ． 【思路点拨】设小长方形的宽为x，长为y，可得，2y2﹣5xy+2x2＝20，再求解x+y，x﹣y，从而可得答案． 【规范解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，则大的长方形的长为2y，宽为y，xy， ∵阴影部分的面积为20， ∴2y2﹣5xy+2x2＝20， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵x+y＞0， ∴①， ∵2y2﹣5xy+2x2＝20， ∴，而x﹣y＜0， ∴x﹣y②， ∴①+②得，x＝1， ∴y， ∴大长方形的周长为2（y+2y）＝6y＝27； 故答案为：27． 【考点评析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式．整式的混合运算﹣化简求值，利用平方根的含义解方程，二元一次方程组的解法，理解题意是解本题的关键． 【训练2】（2024春•东阳市期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80． （1）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝2020，则（2024﹣x）（x﹣2022）＝　﹣1008　 ； （2）两个长方形ABEF和AMLN如图放置，AB＝a，BE＝4a，BM＝3，NF＝6，已知长方形AMNL的面积为16，则4（a﹣3）2+（2a﹣3）2＝　41　 ． 【思路点拨】（1）设2024﹣x＝m，x﹣2022＝n，再求出m+n，然后利用完全平方公式把所给等式写成含有m+n和mn的式子，从而求出答案即可； （2）根据已知条件求出AN和AM，再根据长方形AMNL的面积为16，求出2（a﹣3）﹣（2a﹣3）＝3，最后利用完全平方公式求出答案即可． 【规范解答】解：（1）设2024﹣x＝m，x﹣2022＝n， ∵m+n＝2024﹣x+x﹣2022＝2， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2020， 22﹣2mn＝2020， 2mn＝﹣2016 mn＝﹣1008， 即（2024﹣x）（x﹣2022）＝﹣1008， 故答案为：﹣1008； （2）∵四边形ABEF和AMLN是长方形， ∴AF＝BE＝4a， ∵AN+NF＝AF， ∴AN＝AF﹣NF＝4a﹣6，AM＝AB﹣BM＝a﹣3， ∵长方形AMNL的面积为16， ∴AN•AM＝16， （4a﹣6）（a﹣3）＝16， 2（2a﹣3）（a﹣3）＝16， 2（a﹣3）（2a﹣3）＝16 ∵2（a﹣3）﹣（2a﹣3）＝2a﹣6﹣2a+3＝﹣3， ∴4（a﹣3）2+（2a﹣3）2 ＝[2（a﹣3）]2+（2a﹣3）2 ＝[2（a﹣3）﹣（2a﹣3）]2+4（a﹣3）（2a﹣3） ＝（﹣3）2+2×16 ＝9+32 ＝41， 故答案为：41． 【考点评析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式． 考点讲练14:零指数幂 【例题精讲】（2023春•长安区校级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论I：若n的值为5，则y的值为1；结论Ⅱ：x+y的值为定值； 结论Ⅲ：若xm﹣3n＝1，则y的值为4或1 A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 【思路点拨】结论I：根据n的值为5，求出m的值，根据已知关系即可求出y的值； 结论Ⅱ：根据已知得x+2y＝m①，2y+3x＝n②，所以①+②得：4x+4y＝m+n，再根据m+n＝8，即可得出x+y的值为定值； 结论Ⅲ：根据xm﹣3n＝1，分三种情况讨论即可． 【规范解答】解：结论I：若n的值为5，则m+5＝8， ∴m＝3， ∴， 解得，故正确； 结论Ⅱ：∵x+2y＝m①，2y+3x＝n②， ∴①+②得：4x+4y＝m+n， ∵m+n＝8， ∴4x+4y＝8， ∴x+y＝2， ∴x+y的值为定值，故正确； 结论Ⅲ：若xm﹣3n＝1， ∴x＝1或m﹣3n＝0， 当x＝1时， ∵x+y＝2， ∴y＝1， 当m﹣3n＝0时， ∵m+n＝8， ∴m＝6，n＝2， ∴， 解得， 当x＝﹣1时，y＝3也成立， 则y的值为4或1或3，故错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查了零指数幂，二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【训练1】（2017春•昌江区期中）已知：，求x的值． 【思路点拨】由零指数幂的定义可知指数为0，解出x的值即可解答，注意一个正数有两个平方根，他们互为相反数． 【规范解答】解：∵， ∴x2﹣4＝0，∴x＝±2． 又∵底数不能为0， ∴x≠2． ∴x＝﹣2， 当x﹣2＝1， 解得：x＝3， ∴x＝﹣2或x＝3． 当x﹣2＝﹣1时，x＝1，不符合题意，舍弃． 综上所述，x＝﹣2或3． 【考点评析】本题主要考查零指数幂的意义与平方根的概念，零指数幂：a0＝1（a≠0），一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 【训练2】（2014春•句容市期中）小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）x+3＝1，求x的值，他解出来的结果为x＝1，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？ 小明解答过程如下： 解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3＝1，x＝2．且2+3＝5 故（2x﹣3）x+3＝（2×2﹣3）2+3＝15＝1，所以x＝2 你的解答是： 【思路点拨】分别从底数等于1，底数等于﹣1且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案． 【规范解答】解：①∵1的任何次幂为1，所以2x﹣3＝1，x＝2．且2+3＝5， ∴（2x﹣3）x+3＝（2×2﹣3）2+3＝15＝1， ∴x＝2； ②∵﹣1的任何偶次幂也都是1， ∴2x﹣3＝﹣1，且x+3为偶数， ∴x＝1， 当x＝1时，x+3＝4是偶数， ∴x＝1； ③∵任何不是0的数的0次幂也是1， ∴x+3＝0，2x﹣3≠0， 解的：x＝﹣3， 综上：x＝2或﹣3或1． 【考点评析】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用． 考点讲练15:负整数指数幂 【例题精讲】（2024春•榆林期中）若a＝﹣（﹣0.3）2，b＝﹣3﹣2，c＝（）0，则正确的为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 【思路点拨】根据相关运算法则先化简各个式子，再比较大小，即可作答． 【规范解答】解：依题意， ∵0.09＜1 ∴b＜a＜c， 故选：D． 【考点评析】本题考查了零指数幂、乘方、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键． 【训练1】（2023春•兴庆区校级期中）　4　 ． 【思路点拨】根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质进行计算即可． 【规范解答】解：原式＝1+4﹣1 ＝5﹣1 ＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了实数指数幂及其运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质． 【训练2】（2024春•新城区校级期中）计算：． 【思路点拨】先计算零次幂、负整数指数幂和乘方，最后计算加减． 【规范解答】解：原式＝4﹣1+1 ＝4． 【考点评析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 1．（2024春•邢台期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅图中，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据各个图形的拼图的面积计算方法用代数式表示后，进行判断即可． 【规范解答】解：图1可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴图1可以验证平方差公式； 图2可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a﹣b）2+2b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， ∴图2可以验证平方差公式； 图3可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴图3可以验证平方差公式； 图4可以验证的等式为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴图4不能验证平方差公式； 故选：C． 【考点评析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解题的关键． 2．（2024春•东港市期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2m﹣3n）（2m+3n） B．（a﹣b+c）（a+b+c） C．（﹣a﹣b）（b﹣a） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 【思路点拨】平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．据此解答即可． 【规范解答】解：A、（2m﹣3n）（2m+3n）＝4m2﹣9n2，故该选项不符合题意； B、原式＝（a+c﹣b）（a+c+b）＝（a+c）2﹣b2，故该选项不符合题意； C、原式＝﹣（b+a）（b﹣a）＝﹣b2+a2，故该选项不符合题意； D、（﹣3a+b）（3a﹣b）不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义． 3．（2024春•槐荫区期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【思路点拨】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【规范解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2， 矩形的面积＝（a+b）（a﹣b）， 故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 4．（2024春•奉化区校级期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1﹣S2值的是（　　） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【思路点拨】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证． 【规范解答】 解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为下x、y； 则a+x＝b+y，即：a﹣b＝y﹣x， ∴S1＝x2+y2，S2＝2xy； ∴S1﹣S2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； ∵矩形的面积是ab，矩形的周长是2（a+b）； 故A、B是正确的； 又因为①的面积是（b﹣x）（a﹣y）②的面积是（a﹣x）（b﹣y）； （b﹣x）（a﹣y）﹣（a﹣x）（b﹣y）＝（a﹣b）（y﹣x）＝（a﹣b）2； 故③正确， 故选：D． 【考点评析】本题整式的混合运算的运用，熟记运算法则是解题的关键 5．（2024春•天长市期中）如果a，b是长方形的长和宽，且（a+b）2＝20，（a﹣b）2＝4，则长方形的面积是 　4　 ． 【思路点拨】两式相减即可得出答案． 【规范解答】解：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝20﹣4， 即（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）＝16， 整理得4ab＝16， 则ab＝4． 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2024春•山亭区期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为ad﹣bc，例如：，当时，则m的值为 　6　 ． 【思路点拨】根据所给的运算法则，把相应的值代入，利用整式的运算法则进行运算再解方程即可． 【规范解答】解：由条件可知（m+1）（m+2）﹣m2＝20， m2+3m+2﹣m2＝20， ∴3m＝18， ∴m＝6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查是整式的混合运算及解一元一次方程，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．（2024春•怀宁县期中）（1）已知，则y﹣x＝　4　 ． （2）已知a+b＝6，ab﹣c2＝9．则a+b+c＝　6　 ． 【思路点拨】（1）结合完全平方式，根据算术平方根和偶次乘方的非负性得出x、y的值即可解题； （2）根据题意得到a＝6﹣b，将其代入ab﹣c2＝9中，结合完全平方式及非负性，得出b、c的值即可解题． 【规范解答】解：（1）， ， 则x+2＝0且y﹣2＝0， 解得x＝﹣2，y＝2， ∴y﹣x＝2﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4； （2）∵a+b＝6，ab﹣c2＝9， ∴a＝6﹣b， ∴b（6﹣b）﹣c2＝9， 6b﹣b2﹣c2﹣9＝0， ﹣（b2﹣6b+9）﹣c2＝0， （b2﹣6b+9）+c2＝0， （b﹣3）2+c2＝0， 即b﹣3＝0，c＝0， 解得b＝3，c＝0， ∴a+b+c＝6+0＝6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查非负数的性质和完全平方式．了解两个非负数相加等于0，则这两个非负数都为0是解答本题的关键． 8．（2024春•池州期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2． （1）请比较S1与S2的大小：S1　＞　 S2． （2）满足条件4＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有4个，则m＝　2　 ． 【思路点拨】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【规范解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（2m+2）＝2m2+16m+14， S2＝（2m+5）（m+3）＝2m2+11m+15， ∴S1﹣S2＝（2m2+16m+14）﹣（2m2+11m+15）＝5m﹣1， ∵m为正整数， ∴5m﹣1＞0， ∴S1﹣S2＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：＞． （2）|S1﹣S2|＝|5m﹣1|＝5m﹣1， ∵4＜n＜5m﹣1的整数n有且只有4个， ∴这四个整数解为5，6，7，8， ∴8＜5m﹣1≤9， 解得：m≤2， ∴m＝2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 9．（2023春•冷水滩区校级期中）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可． （2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积计算即可． 【规范解答】解：（1）b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2 ＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2 ＝6ab+5b2（平方米）． 答：通道的面积是（6ab+5b2）平方米． （2）（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2） ＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2 ＝8a2+12ab+4b2（平方米）， 答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米． 【考点评析】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． 10．（2022春•长安区校级期中）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　a2﹣b2　 （写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　（a+b）（a﹣b）　 （写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 ． （4）利用所得公式计算：2（1）（1）（1）（1）． 【思路点拨】（1）根据图1确定出阴影部分面积即可； （2）根据图2确定出长方形面积即可； （3）根据两图形面积相等得到乘法公式； （4）利用得出的平方差公式计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2； （2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）； （3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）原式＝4（1）（1）（1）（1）（1） ＝4（1））（1）（1）（1） ＝4（1）（1）（1） ＝4（1）（1） ＝4（1） ＝4 ＝4． 故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【考点评析】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$