第1章 相交线与平行线（导图+知识梳理+易错点拨+17大考点讲练+优选压轴题专练 共57题）-2024-2025学年浙教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年浙教版版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第1章 相交线与平行线 （知识梳理+易错点拨+17个重难点考点讲练+压轴题专练 共57题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：相交线 3 知识点梳理02：平行线 4 知识点梳理03：图形的平移 5 易错点拨 查漏补缺 6 易错知识点01：相交线 6 易错知识点02：平行线 6 易错知识点03：综合应用 6 易错知识点04：高频易错题型及解法 7 重点难点 考点讲练 7 第一部分：常考易考考点讲练 7 考点讲练01:对顶角、邻补角 7 考点讲练02:垂线 8 考点讲练03:垂线段最短 9 考点讲练04:点到直线的距离 10 考点讲练05:同位角、内错角、同旁内角 11 考点讲练06:平行线 12 考点讲练07:平行公理及推论 12 考点讲练08:平行线的判定 13 考点讲练09:平行线的性质 15 考点讲练10:平行线的判定与性质 17 考点讲练11:生活中的平移现象 19 考点讲练12:平移的性质 20 考点讲练13:作图-平移变换 21 考点讲练14:利用平移设计图案 23 第二部分：相交线与平行线的解题模型 24 考点讲练15:猪脚模型 24 考点讲练16:铅笔模型 26 考点讲练17:锯齿模型 29 压轴专练 拔尖冲刺 31 知识点梳理01：相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点梳理02：平行线 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：图形的平移 1..平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【易错点剖析】平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 易错知识点01：相交线 1. 对顶角与邻补角混淆 对顶角：必须满足“两边互为反向延长线”且“成对出现”，性质是对顶角相等。学生常误将非对顶角的相等角判断为对顶角。 邻补角：需满足“有一条公共边，另一边互为反向延长线”，且和为180°。易错点在于将未相邻的互补角当作邻补角 例题：若OE平分∠BOC，且∠BOD:∠BOE=1:2，需明确∠AOC与∠BOD是对顶角，而非∠BOE的对顶角 2. 垂线段最短的应用错误 点到直线的距离是垂线段的长度，但学生常误选其他线段作为最短路径。例如在△ABC中，AP的最小值应为点A到BC的垂线段长度，而非AB或AC的长度 3. 角平分线与对顶角关系误解 角平分线产生的两个角相等，但与对顶角无关。例如，若OE平分∠BOC，不能直接推出∠BOE与∠AOF相等 易错知识点02：平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角识别错误 在复杂图形中，学生可能因图形干扰找错对应角。例如，同位角需满足“F型”，内错角为“Z型”，同旁内角为“U型” 例题：若CD∥AB，则需通过内错角相等（如∠1=∠A）推导角度，而非直接使用对顶角 2. 平行线判定与性质混淆 判定：通过角的关系（如同位角相等）证明平行；性质：已知平行线推导角的关系。学生易将两者颠倒，例如用“两直线平行→内错角相等”误作为判定条件 3. 忽略平行公理的前提条件 平行公理强调“过直线外一点有且仅有一条平行线”，但学生可能忽略“同一平面内”的前提 易错知识点03：综合应用 1. 几何语言表述不规范 例如，直接写“∠1=∠2→平行”而未注明角的关系类型（如“同位角相等”），导致逻辑链不完整 2. 命题真假的判断错误 常见误区： “互补的角是邻补角”（×，互补角不一定相邻）； “一个角的补角是钝角”（×，如直角补角仍是直角） 3. 综合题中的逻辑链断裂 例如，求角度时未逐步推导，直接跳步导致错误。需强调“已知→角平分线→对顶角→垂线性质”的完整推理过程 易错知识点04：高频易错题型及解法 1. 角度计算题 关键：结合对顶角、角平分线、垂线性质，分步标注已知条件。例如，已知∠BOD:∠BOE=1:2，需通过比例设未知数，结合邻补角求值 2. 平行线判定与性质综合题 策略：先标出已知角，再判断角类型（同位角/内错角），最后选择判定或性质定理。例如，证明AP∥DQ时需通过两次角转换 3. 实际应用题（最短路径） 核心：应用“垂线段最短”解决实际问题，如确定码头位置或光线反射路径 第一部分：常考易考考点讲练 考点讲练01:对顶角、邻补角 【例题精讲】（2024春•巴楚县期中）如图所示，直线AB和CD相交于点O，若∠BOD＝30°，则∠AOC的度数为（　　） A．15° B．30° C．60° D．150° 【训练1】（2023春•文昌期中）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3＝50°，则∠1的度数为 　　 ． 【训练2】（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 考点讲练02:垂线 【例题精讲】（2024春•驿城区期中）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 【训练1】（2024春•泰山区期中）已知：如图，AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3． 求证：∠AEB＝∠ADF． 【训练2】（2023春•崆峒区校级期中）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置． （1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数； （2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数； （3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由． 考点讲练03:垂线段最短 【例题精讲】（2024春•中江县期中）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【训练1】（2024春•白塔区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　 ． 【训练2】（2024春•柳江区期中）如图测量运动员的跳远成绩应选取图中线段 　　 的长度． 考点讲练04:点到直线的距离 【例题精讲】（2021春•椒江区校级期中）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　　 的长度． 【训练1】（2018春•浦东新区期中）作图并写出结论： 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段 　 　 的长表示点P到直线BO的距离；线段 　 的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线 　 　 的距离；点P到直线OA的距离为 　 ． 考点讲练05:同位角、内错角、同旁内角 【例题精讲】（2024春•霸州市期中）三条直线两两相交如图所示，∠1与∠2是（　　） A．对顶角 B．内错角 C．同位角 D．同旁内角 【训练1】（2023春•开江县校级期中）北京冬奥会的比赛项目“自由式滑雪大跳台”深受大家的喜爱，该项目图标如图所示；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠6与∠4是同位角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠4与∠3是同旁内角，其中错误的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【训练2】（2023春•贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？ （2）若∠1＝145°，测得∠BOM＝115°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向下折弯了多少度？请说明理由． 考点讲练06:平行线 【例题精讲】（2021春•舞钢市期中）下列说法正确的是（　　） A．30°角的补角度数是60° B．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种 【训练1】（2022春•赣州期中）如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 考点讲练07:平行公理及推论 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【训练1】（2023春•龙凤区校级期中）下面说法正确的个数为（　　） （1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角； （4）同一平面内不平行的两条直线一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（2024春•江陵县期中）如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 考点讲练08:平行线的判定 【例题精讲】（2020春•涿鹿县期中）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（　　） ①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2017春•龙口市校级期中）完成下面的证明： 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（　 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　 　 ）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝ 　 （　 　 ）． ∴AB∥CD（　 　 ）． 【训练2】（2024春•呼和浩特期中）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（ 　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴　CE∥BF　 （ 　 　 ）， ∴∠AFB＝∠AOE（ 　 　 ）， ∴∠AFB＝90°（ 　 　 ）， 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝　 　 °， 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（ 　 　 ）， ∴AB∥CD．（ 　 　 ） 考点讲练09:平行线的性质 【例题精讲】（2024春•鄂尔多斯期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2024春•市中区期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 【训练2】（2023春•埇桥区校级期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　 　 ． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 考点讲练10:平行线的判定与性质 【例题精讲】（2023春•仁化县期中）如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 【训练1】（2024春•海珠区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）AD与EC平行吗？请说明理由； （2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数． 【训练2】（2024春•岫岩县期中）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①　 　 ∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　 　 ＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　 （④　 　 ）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　 ． 考点讲练11:生活中的平移现象 【例题精讲】（2024春•肃北县期中）某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这条小路的面积为（　　） A．32m2 B．22m2 C．21m2 D．20m2 【训练1】．（2023春•青县校级期中）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2m，其侧面如图，则购买地毯至少需要 　 　 元． 【训练2】（2014春•昌吉市校级期中）（1）图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形． （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积． （3）如图④，在宽为10m，长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m，求这块菜地的面积． 考点讲练12:平移的性质 【例题精讲】（2024春•中江县期中）如图，将三角形ABC沿着某一方向平移一定的距离得到三角形DEF，则下列结论： ①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB中，正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【训练1】（2024春•工业园区校级期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 　 　 元． 【训练2】（2024春•贺兰县期中）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且a∥b和Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°． （1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； 【拓展应用】 （3） 缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系． 考点讲练13:作图-平移变换 【例题精讲】（2024春•息县期中）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′． （1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标：　 　 ； （2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点记为P′，则点P′的坐标为 　 ． 【训练1】（2024春•陵城区期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为 　　 ； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点D． ①若线段AC的长为5，求点D到直线AC的距离； ②点P是x轴上一动点，若△PAO的面积等于3，请求出点P的坐标． 【训练2】（2024春•鄞州区校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将△ABC平移，使点A平移到图中A1的位置，点B的对应点是B1，点C的对应点是C1． （1）画出平移后的△A1B1C1； （2）线段AC在平移的过程中扫过的面积是 　　 ． 考点讲练14:利用平移设计图案 【例题精讲】（2023春•灵山县校级期中）小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．下列选项中的图形，可以通过如图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2019秋•郯城县期中）如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1＝　 ，S2＝　 ，S3＝　 　 ； （3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？ （4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？ 第二部分：相交线与平行线的解题模型 考点讲练15:猪脚模型 【例题精讲】（2024春•黄石港区期中）如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论： ①∠EPF＝∠AEP+∠CFP； ②∠EPF＝2∠M； ③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM； ④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM． 其中正确的结论是 　 （填写序号）． 【训练1】（2024春•河池期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　65　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【训练2】（2024春•十堰期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 考点讲练16:铅笔模型 【例题精讲】（2024春•广汉市期中）将一副三角板如图1所示摆放，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤120时，若边BC与三角板DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 　15或105或60　 ． 【训练1】（2024春•荣成市期中）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝360°； ②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C； ③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1； ④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°． 以上结论正确的是（　　） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②④ 【训练2】（2024春•瑞金市期中）已知AB∥CD，点P是平面内一点，过点P作射线PN、PM，PM与AB相交于点B． （1）如图1，若点P为直线CD上一点，∠ABM＝45°，∠CPN＝30°，求∠MPN的度数； （2）如图2，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，射线PN交CD于点E，∠ABM和∠CEP的角平分线交于点F．请说明：2∠BFE+∠MPN＝180°； （3）如图3，若点P、H是直线CD上的点，连接HB并延长交∠MPN的角平分线于点Q，射线PN交AB于点G，设∠BGP＝α．当∠PHB＝∠PBH时，请直接用含α的代数式表示∠PQH． 考点讲练17:锯齿模型 【例题精讲】（2024春•长垣市校级期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【训练1】（2024春•慈溪市期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝47°，则∠2﹣∠1为（　　） A．8° B．10° C．12° D．14° 【训练2】（2024春•崇义县期中）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 1．（2024春•南宁期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 2．（2024春•黎川县期中）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，OP⊥AB，∠ABO＝50°，则下列结论：①∠BOE＝60°；②OF⊥OE；③∠POF＝∠BOE；④∠BOD＝2∠POE；⑤∠COE＝65°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•思明区校级期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023春•都昌县期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为　　 °． 5．（2024春•成都期中）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　 　 ． 6．（2024春•榕城区期中）已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝128°，则∠BCD﹣∠EAB＝　 　 度． 7．（2024春•通榆县期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠D之间数量关系时，有如下发现： （1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝　 　 ； （2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝　 　 ； （3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由． 8．（2024春•宝安区期中）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝　 ，∠C＝∠DAC． ∵∠EAB+∠BAC+　 　 ＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数． 深化拓展： （3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，点B是直线AB上的一个动点（不与点A重合），AB＜CD，BE平分∠ABC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．若∠ABC＝n°，请你求出∠BED的度数．（用含n的代数式表示） 9．（2024春•成都期中）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 10．（2024春•兴宁区期中）问题探究： 如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： （1）请按张山同学的思路，写出证明过程； （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 问题迁移： （3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第1章 相交线与平行线 （知识梳理+易错点拨+17个重难点考点讲练+压轴题专练 共57题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：相交线 3 知识点梳理02：平行线 4 知识点梳理03：图形的平移 5 易错点拨 查漏补缺 6 易错知识点01：相交线 6 易错知识点02：平行线 6 易错知识点03：综合应用 6 易错知识点04：高频易错题型及解法 7 重点难点 考点讲练 7 第一部分：常考易考考点讲练 7 考点讲练01:对顶角、邻补角 7 考点讲练02:垂线 9 考点讲练03:垂线段最短 11 考点讲练04:点到直线的距离 13 考点讲练05:同位角、内错角、同旁内角 14 考点讲练06:平行线 16 考点讲练07:平行公理及推论 17 考点讲练08:平行线的判定 20 考点讲练09:平行线的性质 22 考点讲练10:平行线的判定与性质 26 考点讲练11:生活中的平移现象 31 考点讲练12:平移的性质 32 考点讲练13:作图-平移变换 36 考点讲练14:利用平移设计图案 39 第二部分：相交线与平行线的解题模型 41 考点讲练15:猪脚模型 41 考点讲练16:铅笔模型 46 考点讲练17:锯齿模型 53 压轴专练 拔尖冲刺 58 知识点梳理01：相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点梳理02：平行线 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：图形的平移 1..平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【易错点剖析】平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 易错知识点01：相交线 1. 对顶角与邻补角混淆 对顶角：必须满足“两边互为反向延长线”且“成对出现”，性质是对顶角相等。学生常误将非对顶角的相等角判断为对顶角。 邻补角：需满足“有一条公共边，另一边互为反向延长线”，且和为180°。易错点在于将未相邻的互补角当作邻补角 例题：若OE平分∠BOC，且∠BOD:∠BOE=1:2，需明确∠AOC与∠BOD是对顶角，而非∠BOE的对顶角 2. 垂线段最短的应用错误 点到直线的距离是垂线段的长度，但学生常误选其他线段作为最短路径。例如在△ABC中，AP的最小值应为点A到BC的垂线段长度，而非AB或AC的长度 3. 角平分线与对顶角关系误解 角平分线产生的两个角相等，但与对顶角无关。例如，若OE平分∠BOC，不能直接推出∠BOE与∠AOF相等 易错知识点02：平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角识别错误 在复杂图形中，学生可能因图形干扰找错对应角。例如，同位角需满足“F型”，内错角为“Z型”，同旁内角为“U型” 例题：若CD∥AB，则需通过内错角相等（如∠1=∠A）推导角度，而非直接使用对顶角 2. 平行线判定与性质混淆 判定：通过角的关系（如同位角相等）证明平行；性质：已知平行线推导角的关系。学生易将两者颠倒，例如用“两直线平行→内错角相等”误作为判定条件 3. 忽略平行公理的前提条件 平行公理强调“过直线外一点有且仅有一条平行线”，但学生可能忽略“同一平面内”的前提 易错知识点03：综合应用 1. 几何语言表述不规范 例如，直接写“∠1=∠2→平行”而未注明角的关系类型（如“同位角相等”），导致逻辑链不完整 2. 命题真假的判断错误 常见误区： “互补的角是邻补角”（×，互补角不一定相邻）； “一个角的补角是钝角”（×，如直角补角仍是直角） 3. 综合题中的逻辑链断裂 例如，求角度时未逐步推导，直接跳步导致错误。需强调“已知→角平分线→对顶角→垂线性质”的完整推理过程 易错知识点04：高频易错题型及解法 1. 角度计算题 关键：结合对顶角、角平分线、垂线性质，分步标注已知条件。例如，已知∠BOD:∠BOE=1:2，需通过比例设未知数，结合邻补角求值 2. 平行线判定与性质综合题 策略：先标出已知角，再判断角类型（同位角/内错角），最后选择判定或性质定理。例如，证明AP∥DQ时需通过两次角转换 3. 实际应用题（最短路径） 核心：应用“垂线段最短”解决实际问题，如确定码头位置或光线反射路径 第一部分：常考易考考点讲练 考点讲练01:对顶角、邻补角 【例题精讲】（2024春•巴楚县期中）如图所示，直线AB和CD相交于点O，若∠BOD＝30°，则∠AOC的度数为（　　） A．15° B．30° C．60° D．150° 【思路点拨】利用对顶角相等可得答案． 【规范解答】解：∵∠BOD＝30°， ∴∠AOC＝∠BOD＝30°， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是对顶角的性质，熟练掌握性质是关键． 【训练1】（2023春•文昌期中）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3＝50°，则∠1的度数为 　130°　 ． 【思路点拨】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解． 【规范解答】解：∵∠2的邻补角是∠3，∠3＝50°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝130°． ∵∠1的对顶角是∠2， ∴∠1＝∠2＝130°． 故答案为：130°． 【考点评析】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义． 【训练2】（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【思路点拨】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案； （2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案． 【规范解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直， 理由：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE180°＝90°， ∴OF与OD的位置关系：互相垂直； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5， ∴∠AOC180°＝30°， ∴∠BOD＝∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF∠AOE＝60°． 【考点评析】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键． 考点讲练02:垂线 【例题精讲】（2024春•驿城区期中）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 【思路点拨】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°． 【规范解答】解：∵BM⊥CD， ∴∠CBM＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABE＝∠FBM＝20°， ∴∠EBC＝20°+50°＝70°． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识． 【训练1】（2024春•泰山区期中）已知：如图，AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3． 求证：∠AEB＝∠ADF． 【思路点拨】先证明∠3+∠4＝90°，结合∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3可得∠1＝∠4，证明BE∥DF，从而可得结论． 【规范解答】证明：∵AB⊥BC， ∠ABC＝90°（垂直的定义）， 即∠3+∠4＝90°， ∵∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3（已知）， ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AEB＝∠ADF（两直线平行，同位角相等）． 【考点评析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 【训练2】（2023春•崆峒区校级期中）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置． （1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数； （2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数； （3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由． 【思路点拨】此题利用余角、周角性质即可求出角的度数．应按照题目的要求，逐步计算． 【规范解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°． 又∵∠COD＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD ＝30°+90°＝120°． （2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD＝360°， ∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝70°， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°． （3）猜想：∠AOD+∠BOC＝180°． 理由：如图①∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°， ∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOD+∠BOC＝180°． 【考点评析】此题主要考查了学生余角、周角的性质． 考点讲练03:垂线段最短 【例题精讲】（2024春•中江县期中）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【思路点拨】由点到直线的距离的定义及投掷实心球比赛的规则作出判断． 【规范解答】解：投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是垂线段最短， 故选：A． 【考点评析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，掌握由点到直线的距离的定义及投掷实心球比赛的规则是解题的关键． 【训练1】（2024春•白塔区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　　 ． 【思路点拨】依据垂线段最短，即可得到当AP⊥BC时，AP最短．根据面积法求得垂线段AP的长即可． 【规范解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短， ∵， ∴， ∴AP的最小值是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是关键． 【训练2】（2024春•柳江区期中）如图测量运动员的跳远成绩应选取图中线段 　PH　 的长度． 【思路点拨】利用从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短求解即可． 【规范解答】解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段PB的长度． 故答案为：PH． 【考点评析】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 考点讲练04:点到直线的距离 【例题精讲】（2021春•椒江区校级期中）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　AC　 的长度． 【思路点拨】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段AC的长度， 故答案为：AC． 【考点评析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度． 【训练1】（2018春•浦东新区期中）作图并写出结论： 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段 　PN　 的长表示点P到直线BO的距离；线段 　PM　 的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线 　PN　 的距离；点P到直线OA的距离为 　0　 ． 【思路点拨】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可． 【规范解答】解：如图所示： 线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0， 故答案为：PN，PM，PN，0． 【考点评析】本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 考点讲练05:同位角、内错角、同旁内角 【例题精讲】（2024春•霸州市期中）三条直线两两相交如图所示，∠1与∠2是（　　） A．对顶角 B．内错角 C．同位角 D．同旁内角 【思路点拨】两边互为反向延长线的两个角是对顶角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若不共顶点的两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若不共顶点的两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【规范解答】解：直线a，c被直线b所截，则∠1与∠2是同旁内角； 故选：D． 【考点评析】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 【训练1】（2023春•开江县校级期中）北京冬奥会的比赛项目“自由式滑雪大跳台”深受大家的喜爱，该项目图标如图所示；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠6与∠4是同位角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠4与∠3是同旁内角，其中错误的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据对顶角，同旁内角，同位角的定义逐个判断即可得到答案． 【规范解答】解：由图象可得， ∠1与∠2是对顶角故①正确， ∠6与∠4是同位角故②正确， ∠5与∠6是邻补角故③错误， ∠4与∠3是同旁内角故④正确， 故选：A． 【考点评析】本题考查对顶角，同旁内角，同位角的定义，解题的关键是熟练掌握几种角的定义及形状． 【训练2】（2023春•贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？ （2）若∠1＝145°，测得∠BOM＝115°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向下折弯了多少度？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可． （2）根据平行线的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠ADE； 与∠2是内错角的有∠AOE； （2）∵AB∥CD， ∴∠BOE＝∠1＝115°， ∵∠BOM＝145°， ∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°， ∴水下部分向下折弯了30°． 【考点评析】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中． 考点讲练06:平行线 【例题精讲】（2021春•舞钢市期中）下列说法正确的是（　　） A．30°角的补角度数是60° B．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种 【思路点拨】利用补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质及两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项． 【规范解答】解：A、30°角的补角度数是150°，原说法错误，故此选项不符合题意； B、两条直线被第三条直线所截，所得的同位角不一定相等，原说法错误，故此选项不符合题意； C、相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意； D、在同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查了补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质及两直线的位置关系，解题的关键是掌握补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质及两直线的位置关系． 【训练1】（2022春•赣州期中）如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【思路点拨】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补． 【规范解答】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 【考点评析】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉． 考点讲练07:平行公理及推论 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【思路点拨】根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线的概念分别判断即可． 【规范解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； C、从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误，不合题意； D、如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，有可能平行，故错误，不合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线，熟练掌握相关基本知识方能正确选择． 【训练1】（2023春•龙凤区校级期中）下面说法正确的个数为（　　） （1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角； （4）同一平面内不平行的两条直线一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）． 【规范解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确； 只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误； 如图： ∠ABC＝∠DEF＝90°，且∠ABC+∠DEF＝180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误； 同一平面内不平行的两条直线一定相交正确， 因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确． 即正确的个数是2个． 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 【训练2】（2024春•江陵县期中）如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN∥BD； （2）首先根据平行线的性质可得∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2，进而得到∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC； （3）不成立．过点P作PQ∥AC，根据平行线的性质可得∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ，进而得到∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC． 【规范解答】解：（1）平行； 理由如下： ∵AC∥BD，MN∥AC， ∴MN∥BD； （2）∵AC∥BD，MN∥BD， ∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC． （3）答：不成立． 它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 理由是：如图2，过点P作PQ∥AC， ∵AC∥BD， ∴PQ∥AC∥BD， ∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC． 【考点评析】此题主要考查了平行线的判定与性质．解题的关键是掌握两直线平行内错角相等，理清图中角之间的和差关系． 考点讲练08:平行线的判定 【例题精讲】（2020春•涿鹿县期中）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（　　） ①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据平行线的判定定理分别进行判断即可． 【规范解答】解：当∠B+∠BCD＝180°，AB∥CD；当∠3＝∠2时，AB＝BC；当∠1＝∠4时，AD＝DC；当∠B＝∠5时，AB∥CD． 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【训练1】（2017春•龙口市校级期中）完成下面的证明： 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（　角平分线的定义　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　2∠2　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　等式的性质　 ）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝　180°　 （　等量代换　 ）． ∴AB∥CD（　同旁内角互补两直线平行　 ）． 【思路点拨】首先根据角平分线的定义可得∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【规范解答】证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）． ∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）． 【考点评析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 【训练2】（2024春•呼和浩特期中）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（ 　垂直的定义　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴　CE∥BF　 （ 　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠AFB＝∠AOE（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∴∠AFB＝90°（ 　等量代换　 ）， 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝　90　 °， 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（ 　同角的余角相等　 ）， ∴AB∥CD．（ 　内错角相等，两直线平行　 ） 【思路点拨】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可． 【规范解答】证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（垂直的定义）， ∵∠1＝∠B（已知）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AFB＝90°（等量代换）， ∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝（90）°， ∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【考点评析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 考点讲练09:平行线的性质 【例题精讲】（2024春•鄂尔多斯期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【规范解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 【训练1】（2024春•市中区期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 【思路点拨】先根据平行线的性质，得出∠ODC＝∠BOD＝32°，再根据∠EOF＝90°，即可得到∠AOE＝58°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数． 【规范解答】解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠BOD＝32°， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝58°， ∵DM∥OE， ∴∠AND＝∠AOE＝58°， ∴∠ANM＝180°﹣∠AND＝122°． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质的运用，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【训练2】（2023春•埇桥区校级期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　110°　 ． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【思路点拨】（1）通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可； （2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110°； （2）∠APC＝∠α+∠β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝∠α﹣∠β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝∠β﹣∠α． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 考点讲练10:平行线的判定与性质 【例题精讲】（2023春•仁化县期中）如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 【思路点拨】（1）由同位角相等，两直线平行可得AB∥GD，从而得∠2＝∠BAD，则可求得∠BAD+∠3＝180°，即可证得EH∥AD； （2）由平行线的性质可得∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，可得∠BAC＝58°，再利用平行线的性质可求得∠H＝∠BAD，则可求∠4的度数，从而求∠H的度数． 【规范解答】解：（1）EH∥AD，理由如下： ∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC， ∵∠DGC＝58°， ∴∠BAC＝58°， ∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H， ∴∠H＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H＝∠4+10°， ∴∠4+10°+∠4＝58°， 解得：∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 【考点评析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【训练1】（2024春•海珠区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）AD与EC平行吗？请说明理由； （2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数． 【思路点拨】（1）由∠1＝∠BDC可得AB∥CD，进一步可推得∠ADC+∠3＝180°，即可证明AD∥CE； （2）由角平分线的定义可得∠ADC＝37.5°，结合（1）的结论可推得∠2＝∠ADC＝37.5°，根据两直线垂直的定义可得∠DAF＝90°，由此即得答案． 【规范解答】解：（1）AD∥CE，理由如下： ∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°， ∴AD∥CE； （2）∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC＝75°， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC＝37.5°， ∵DA⊥FA， ∴∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAF﹣∠2＝52.5°． 【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【训练2】（2024春•岫岩县期中）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①　MN　 ∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　∠A　 ＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　∠DGM　 （④　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　32°　 ． 【思路点拨】（1）由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D； （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D； （3）如图所示，利用平行线的性质求出∠GAB的值，再利用平行线线的性质和外角性质进行计算即可． 【规范解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等）， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D． 故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等． （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM， ∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D． （3）如图所示， ∵∠AFC＝72°； ∴∠GAB＝180°﹣72°＝108°， ∵AH平分∠GAB， ∴∠HAB54°， ∵DC∥AB， ∴∠HQC＝54°， ∴∠H＝∠HQC﹣∠HDF＝54°﹣22°＝32°． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质． 考点讲练11:生活中的平移现象 【例题精讲】（2024春•肃北县期中）某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这条小路的面积为（　　） A．32m2 B．22m2 C．21m2 D．20m2 【思路点拨】利用长方形面积减去空白部分面积，得出小路的面积． 【规范解答】解：32×21﹣（32﹣1）×21＝21（m2）， 故选：C． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，掌握长方形的面积是解题的关键． 【训练1】．（2023春•青县校级期中）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2m，其侧面如图，则购买地毯至少需要 　450　 元． 【思路点拨】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【规范解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移构成一个长方形，根据题意这个长方形的长与宽分别为5米，2.5米， ∴地毯的长度为：5+2.5＝7.5（米）， 地毯的面积为：7.5×2＝15（平方米）， 故买地毯至少需要：15×30＝450（元）． 故答案为：450． 【考点评析】本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质，把所要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解本题的关键． 【训练2】（2014春•昌吉市校级期中）（1）图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形． （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积． （3）如图④，在宽为10m，长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m，求这块菜地的面积． 【思路点拨】（1）根据两个折点，可得小路是三个平行四边形； （2）根据路的形状是矩形，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案； （3）根据等底等高的面积相等，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案． 【规范解答】解：（1）如图： ； （2）三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：①ab﹣b；②ab﹣b；③ab﹣b； （3）40×10﹣10×1＝390（m2）． 答：这块菜地的面积是390m2． 【考点评析】本题考查了生活中的平移现象，利用了平行四边形的面积公式，画图是解题关键． 考点讲练12:平移的性质 【例题精讲】（2024春•中江县期中）如图，将三角形ABC沿着某一方向平移一定的距离得到三角形DEF，则下列结论： ①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB中，正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】根据平移的性质对所给结论依次进行判断即可． 【规范解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC平移得到， 所以线段AD和CF的长度都表示平移的距离， 则AD＝CF． 故①正确． 对应边平行（或在一条直线上）， 则AC∥DF． 故②正确． ∠ABC与∠DFE不是对应角， 所以它们不一定相等． 故③错误． 由AD∥BE可得，∠DAE＝∠AEB． 故④正确． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质及平行线的判定与性质，熟知图形平移的性质及平行线的性质是解题的关键． 【训练1】（2024春•工业园区校级期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 　192　 元． 【思路点拨】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【规范解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为1.6米，0.8米， ∴地毯的长度为1.6+0.8＝2.4（米），地毯的面积为2.4×2＝4.8（平方米）， ∴购买地毯至少需要4.8×40＝192（元）． 故答案为：192． 【考点评析】本题考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 【训练2】（2024春•贺兰县期中）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且a∥b和Rt△ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°． （1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系． 【思路点拨】（1）由∠BCA＝90°可得∠1+∠3＝90°，从而得出∠3＝90°﹣∠1＝44°，最后由两直线平行，同位角相等即可得出∠2的度数； （2）过点B作BD∥a，则∠ABD＝180°﹣∠2，BD∥b，由平行线的性质可得∠CBD＝∠1，结合∠ABC＝60°可得180°﹣∠2+∠1＝60°，即可得到答案； （3）过点C作CE∥a，则∠2＝∠BCE，BD∥b，由角平分线的定义可得∠BAC＝∠CAM＝30°，从而得到∠MAB＝60°，由平行线的性质可得∠1＝∠MAB＝60°，∠ACE＝∠MAC＝30°，计算出∠2＝∠BCE＝60°，即可得答案． 【规范解答】解：（1）如图， ∵∠ACB＝90°，∠1+∠ACB+∠3＝180°， ∴∠1+∠3＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵∠1＝46°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝44°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝44°； （2）如图，过点B作BD∥a，则∠ABD＝180°﹣∠2， ∵a∥b， ∴BD∥b∥a， ∴∠CBD＝∠1，∠ABD＝180°﹣∠2， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABD+∠CBD＝180°﹣∠2+∠1＝60°， ∴∠2﹣∠1＝120°； （3）如图，过点C作CE∥a，则∠2＝∠BCE， ∵AC平分∠BAM， ∴∠BAC＝∠CAM＝30°， ∴∠MAB＝60°， ∵a∥b， ∴CE∥b， ∴∠1＝∠MAB＝60°，∠ACE＝∠MAC＝30°， ∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝60°， ∴∠2＝∠BCE＝60°， ∴∠1＝∠2＝60°， 故答案为：∠1＝∠2． 【考点评析】本题考查了三角板角度的有关计算，平行的线的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质作出合适的辅助线是解题的关键． 考点讲练13:作图-平移变换 【例题精讲】（2024春•息县期中）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′． （1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标：　（5，﹣2）　 ； （2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点记为P′，则点P′的坐标为 　（a+4，b﹣3）　 ． 【思路点拨】（1）根据平移方式找到△ABC平移后各顶点的对应点A′，B′，C′，再顺次连接即可；由图可直接得出C′的坐标； （2）由平移方式可求出点P′的坐标． 【规范解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所作， 由图可知C′（5，﹣2）． 故答案为：C′（5，﹣2）； （2）∵P（a，b）经过以上平移后的对应点记为P′，且平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴P′（a+4，b﹣3）． 故答案为：（a+4，b﹣3）． 【考点评析】本题考查作图﹣平移变换，掌握平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 【训练1】（2024春•陵城区期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为 　9　 ； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点D． ①若线段AC的长为5，求点D到直线AC的距离； ②点P是x轴上一动点，若△PAO的面积等于3，请求出点P的坐标． 【思路点拨】（1）由题意可得BC、OA的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作DE⊥x轴于E，由平移可确定点D的坐标，由S△ACD＝S梯形AOED﹣S△OAC﹣S△DCE求出△ACD的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得OP＝3，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【规范解答】解：（1）∵点A（0，3），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴OA＝3，OB＝2，OC＝4， ∴BC＝OB+OC＝4+2＝6， ∴ 故答案为：9； （2）①如图，过点D作DE⊥x轴于E， 由题意，点D坐标为（5，5），则点E坐标为（5，0）， ∴CE＝5﹣4＝1，DE＝5，OE＝5， ∴S△ACD＝S梯形AOED﹣S△OAC﹣S△DCE ＝11.5， ∵线段AC的长为5， ∴点D到直线AC的距离为： 2×11.5÷5＝4.6； ②由题意得：， 即， ∴OP＝2， ∵点P在x轴上， ∴点P的坐标为（2，0）或（﹣2，0）． 【考点评析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． 【训练2】（2024春•鄞州区校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将△ABC平移，使点A平移到图中A1的位置，点B的对应点是B1，点C的对应点是C1． （1）画出平移后的△A1B1C1； （2）线段AC在平移的过程中扫过的面积是 　9　 ． 【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用分割法求解可得结论． 【规范解答】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）线段AC在平移的过程中扫过的面积＝3×6﹣22×3﹣21×3＝9． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用分割法求面积． 考点讲练14:利用平移设计图案 【例题精讲】（2023春•灵山县校级期中）小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．下列选项中的图形，可以通过如图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据图形平移的性质和旋转、翻折的性质对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：A、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； B、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换、旋转、翻折变换的性质是解答此题的关键． 【训练1】（2019秋•郯城县期中）如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1＝　ab﹣b　 ，S2＝　ab﹣b　 ，S3＝　ab﹣b　 ； （3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？ （4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？ 【思路点拨】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可． （2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以a﹣1为长，b为宽的长方形的面积． （3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以a﹣2米为长，b米为宽的长方形，根据长方形的面积可得小路部分所占的面积． （4）结合图形可知，小路部分所占的面积＝a米为长，b米为宽的长方形的面积﹣a米为长，1米为宽的长方形的面积﹣2米为长，b米为宽的长方形的面积+2米为长，1米为宽的长方形的面积． 【规范解答】解：（1）画图如下： （2）S1＝ab﹣b，S＝ab﹣b，S2＝ab﹣b，S3＝ab﹣b （3）∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位， ∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2）b； （4）∵小路任何地方的宽度都是1个单位， ∴空白部分表示的草地面积是ab﹣a﹣2b+2． 【考点评析】本题主要考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键． 第二部分：相交线与平行线的解题模型 考点讲练15:猪脚模型 【例题精讲】（2024春•黄石港区期中）如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论： ①∠EPF＝∠AEP+∠CFP； ②∠EPF＝2∠M； ③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM； ④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM． 其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【思路点拨】作PQ∥AB，证出PQ∥CD，由内错角相等可得①正确；同理可证∠M＝∠AEM+∠CFM，再根据角平分线的定义，可得②正确；若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，再由平行线的性质和角平分线的定义可得∠AEP＝∠PFH，因为∠CFP与∠PFH不一定相等，所以∠AEM与∠CFM不一定相等，判断③不正确；由FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，得到∠MFN＝90°，即∠N+∠M＝90°，即可判断④正确． 【规范解答】解：①：作PQ∥AB， ∴∠AEP＝∠EPQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CFP＝∠FPQ， ∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故①正确； 同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM， ∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP， ∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM， ∴∠AEP+∠CFP＝2（∠AEM+∠CFM）， 即∠EPF＝2∠M，故②正确； 设AB交NF于点H， 若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF， ∵AB∥CD， ∴∠AHF＝∠HFD， ∵FN平分∠PFD， ∴∠HFD＝∠PFH， ∴∠AEP＝∠PFH， 若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP， ∵∠CFP与∠PFH不一定相等， ∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故③不正确； ∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP， ∴∠MFN＝90°， ∴∠N+∠M＝90°， ∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM， ∴∠M＝∠PEM+∠PFM， ∴∠N+∠PEM+∠PFM＝90°， ∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故④正确． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了平行线的性质的应用，其中角平分线的定义和三角形内角和定理的应用是本题的解题关键． 【训练1】（2024春•河池期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　65　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【思路点拨】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°； （2）①如图所示过点E作EF//AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算出∠AEC的度数； ②已知AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，所以可以推导出∠BAF和∠DCF的度数，利用（1）的结论可知∠AFC的度数． 【规范解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D， 又∵∠B＝30°，∠D＝35°， ∴∠BED＝65°， 故答案为：65°； （2）①过点E作EF//AB，如图： ∵EF//AB，AB//CD， ∴EF//AB//CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， 又∵∠A＝135°，∠C＝130°， ∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°， 答：∠AEC的度为95°； ②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE， ∴， ∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE， ∴∠DCF＝65°， 由（1）问可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°， 答：∠AFC的度数为：132.5°． 【考点评析】本题考查的重点是平行线的性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． 【训练2】（2024春•十堰期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【思路点拨】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【规范解答】解：∵∠FMA＝∠FGC ∴AB∥CD ∴①正确； 过点F作FP∥AB，HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥AB∥HQ∥CD， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°， ∴∠EHG≠2∠EFM ∴②错误； ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； ∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①④． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 考点讲练16:铅笔模型 【例题精讲】（2024春•广汉市期中）将一副三角板如图1所示摆放，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤120时，若边BC与三角板DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 　15或105或60　 ． 【思路点拨】先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可． 【规范解答】解：由题意得：∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝3t°， （1）当BC∥DE时， 如图所示：延长AC交MN于点P， ①DE在MN上方， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC， 即3t＝t+30，t＝15； ②DE1 在MN下方时，∠F1DP＝（3t﹣180）°， ∵DE1∥BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC， ∴AP∥DF1， ∴∠F1 DM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F1DM＝∠HAC， 即3t﹣180＝t+30， 解之得：t＝105； 如图：当BC∥DF时， 延长AC交MN于点I， ①DF在MN上方，∠FDN＝（180﹣3t）度， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴AI∥DE， ∴∠FDN+∠MIA＝90°， ∵MN∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠FDN+∠HAC＝90°， 即180﹣3t+t+30＝90，解之得：t＝60； ②DF在MN下方，∠F2DN＝（3t﹣180）度， ∵DF2∥BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2， ∴AC∥DE2， ∴∠AIM＝∠MDE2， ∵MN∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠E2DM＝∠HAC， 即3t﹣270＝t+30，解之得：t＝150（舍去）， 综上可知：所有满足条件的t的值为：15或105或60， 故答案为：15或105或60． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【训练1】（2024春•荣成市期中）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝360°； ②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C； ③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1； ④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°． 以上结论正确的是（　　） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②④ 【思路点拨】①过点E作EF∥AB，根据铅笔模型即可解答；②设CD与AP交于点E，先利用平行线的性质可得∠A＝∠DEP，再利用三角形的外角性质可得∠DEP＝∠C+∠P，从而可得∠A＝∠C+∠P；③利用铅笔模型，即可解答；④利用平行线的性质可得∠α+∠BOE＝180°，∠γ＝∠COE，再根据∠BOE＝∠γ﹣∠β，然后利用等量代换可得∠α+∠γ﹣∠β＝180°；逐一判断即可解答． 【规范解答】解：①过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠1＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C＝360°， 故①正确； ②如图：设CD与AP交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DEP， ∵∠DEP是△CEP的一个外角， ∴∠DEP＝∠C+∠P， ∴∠A＝∠C+∠P， ∴∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③由①可得：∠A+∠E+∠ECD＝360°， ∵∠ECD＝180°﹣∠1， ∴∠A+∠E+180°﹣∠1＝360°， ∴∠A+∠E﹣∠1＝180°， 故③不正确； ④∵AB∥EF， ∴∠α+∠BOE＝180°， ∵CD∥EF， ∴∠γ＝∠COE， ∴∠BOE＝∠COE﹣∠β＝∠γ﹣∠β， ∴∠α+∠γ﹣∠β＝180°， 故④正确； 所以，以上结论正确的是①②④， 故选：C． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【训练2】（2024春•瑞金市期中）已知AB∥CD，点P是平面内一点，过点P作射线PN、PM，PM与AB相交于点B． （1）如图1，若点P为直线CD上一点，∠ABM＝45°，∠CPN＝30°，求∠MPN的度数； （2）如图2，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，射线PN交CD于点E，∠ABM和∠CEP的角平分线交于点F．请说明：2∠BFE+∠MPN＝180°； （3）如图3，若点P、H是直线CD上的点，连接HB并延长交∠MPN的角平分线于点Q，射线PN交AB于点G，设∠BGP＝α．当∠PHB＝∠PBH时，请直接用含α的代数式表示∠PQH． 【思路点拨】（1）运用平行线性质即可； （2）过点F作FK∥AB，过点P作PR∥AB，运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即可证得结论； （3）分两种情况：当点H在点P的左侧时，当点H在点P的右侧时，分别求得∠PQH即可． 【规范解答】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠CPM＝∠ABM， ∵∠ABM＝45°， ∴∠CPM＝45°． ∵∠MPN＝∠CPM+∠CPN，∠CPN＝30°， ∴∠MPN＝45°+30°＝75°． （2）证明：过点F作FK∥AB，过点P作PR∥AB， ∴∠KFB＝∠ABF，∠RPM＝∠ABM， ∵AB∥CD， ∴FK∥CD，PR∥CD， ∴∠KFE＝∠CEF，∠CEP+∠EPR＝180°． ∵BF平分∠ABM， ∴∠ABM＝2∠ABF， 同理可得：∠CEP＝2∠CEF． 设∠CEF＝x，∠ABF＝y， ∴∠KFE＝∠CEF＝x，∠CEP＝2∠CEF＝2x， ∠KFB＝∠ABF＝y，∠ABM＝2∠ABF＝2y， ∴∠EPR＝180°﹣∠CEP＝180°﹣2x，∠RPM＝∠ABM＝2y， ∴∠MPN＝∠EPR+∠RPM＝180°﹣2x+2y＝180°﹣2（x﹣y）， ∵∠BFE＝∠KFE﹣∠KFB＝x﹣y， ∴∠MPN＝180°﹣2∠BFE， ∴2∠BFE+∠MPN＝180°． （3）解：或． 当点H在点P的左侧时，如图， ∵AB∥CD， ∴∠DPG＝∠BGP＝α， ∵∠BPD＝∠PHB+∠PBH，∠PHB＝∠PBH， ∴∠BPD＝2∠PHB＝2∠PBH， ∴∠PHB＝∠PBH∠BPD∠MPNα， ∵PQ平分∠MPN， ∴∠MPQ＝∠NPQ∠MPN， ∴∠PBH＝∠MPQα， ∵∠PBH＝∠MPQ+∠PQH， ∴∠PQHα； 当点H在点P的右侧时，如图， ∵AB∥CD， ∴∠DPG＝∠BGP＝α， ∵∠BPC＝∠PHB+∠PBH，∠PHB＝∠PBH， ∴∠BPC＝2∠PHB＝2∠PBH， ∴∠PHB＝∠PBH∠BPC（180°﹣∠MPN﹣α）， ∵PQ平分∠MPN， ∴∠MPQ＝∠NPQ∠MPN， ∴∠PHB＝∠PBH＝90°﹣∠MPQα， ∵∠BPC+∠MPQ＝∠PQH+∠PHB， ∴∠PQH＝∠BPC+∠MPQ﹣∠PHB＝2∠PHB+∠MPQ﹣∠PHB＝90°﹣∠MPQα+∠MPQ＝90°α； 综上所述，∠PQHα或90°α． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形外角性质等．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题． 考点讲练17:锯齿模型 【例题精讲】（2024春•长垣市校级期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝　∠DAC　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【思路点拨】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【训练1】（2024春•慈溪市期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝47°，则∠2﹣∠1为（　　） A．8° B．10° C．12° D．14° 【思路点拨】首先根据平行线的性质得∠DEF＝∠EFG＝47°，∠1+∠2＝180°，再根据翻折的性质得：∠FEG＝∠DEF＝47°，据此可求出∠1，∠2的度数，进而即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∠EFG＝47°， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG＝47°，∠1+∠2＝180°， 由翻折的性质得：∠FEG＝∠DEF＝47°， 又∵∠1+∠FEG+∠DEF＝180°， ∴∠1＝180°﹣47°﹣47°＝86°， ∵∠2+∠1＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣86°＝94°， ∴∠2﹣∠1＝94°﹣86°＝8°． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了平行线的性质，图形的翻折变换及性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，图形的翻折性质． 【训练2】（2024春•崇义县期中）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）点G是射线MD上的一个动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N．设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①如图2，当点G在点F的右侧，且α＝50°时，求β的值； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【思路点拨】（1）由EM平分∠AEF，得到∠AEM＝∠FEM，又∠FEM＝∠FME，所以∠AEM＝∠FME，证得AB∥CD． （2）①由EH平分∠FEG，EM平分∠AFE，得到∠HEM＝∠HEF+∠FEM∠AEG，由HN∥EM，AB∥CD可得，∠HEM＝∠EHN＝α，GEB＝∠EGF＝β，即可得到结果． ②当点G在点F的左侧时，由EM平分∠AEF，EH平分∠FEH，得到∠HEM＝∠HEF+∠FEM∠AEG，由AB∥CD，HN∥EM，得到∠AEG＝β，∠HEM＝α，从而得到结果． 【规范解答】解（1）如图1，AB∥CD， 理由如下： ∵EM平分∠AEF， ∴∠AEM＝∠FEM， ∵∠FEM＝∠FME， ∴∠AEM＝∠FME， ∴AB∥CD． （2）①如图2，∵EH平分∠FEG， ∴∠HEF∠FEG， ∵EM平分∠AFE， ∴∠FEM∠AEF， ∴∠HEM＝∠HEF+∠FEM∠AEG， ∵HN∥EM， ∴∠HEM＝∠EHN＝α， ∵AB∥CD， ∴∠GEB＝∠EGF＝β， ∴α（180°﹣β）， ∴β＝180°﹣2α＝180°﹣2×50°＝80°． ②α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α． 理由如下： 当点G在点F的右侧时，由①得β＝180°﹣2α， 当点G在点F的左侧时，如图3， ∵EM平分∠AEF， ∴∠AEF＝2∠FEM， ∵EH平分∠FEG， ∴∠GEF＝2∠HEF， ∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝2∠FEM﹣2∠HEF＝2∠HEM， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝β， ∵HN∥EM， ∴∠HEM＝α， ∴β＝2α， 综上得，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°﹣2α． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键． 1．（2024春•南宁期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【思路点拨】根据平行线的性质解答即可． 【规范解答】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴∠1＝∠3＝100°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝80°， 故选：C． 【考点评析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 2．（2024春•黎川县期中）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，OP⊥AB，∠ABO＝50°，则下列结论：①∠BOE＝60°；②OF⊥OE；③∠POF＝∠BOE；④∠BOD＝2∠POE；⑤∠COE＝65°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】由AB∥CD可得∠BOC＝180°﹣∠ABO＝130°，由OE平分∠BOC可得，故①不正确，⑤正确；由OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，可得OF⊥OE，故②正确；由OP⊥AB可得∠DOP＝90°，从而可得∠POF＝90°﹣∠DOF＝65°＝∠BOE，故③正确；由AB∥CD可得∠BOD＝∠ABO＝50°，从而可得， 由OP⊥CD可得∠POE＝∠POC﹣∠COE＝90°﹣65°＝25°，可得∠BOD＝2∠POE，故④正确． 【规范解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝130°， ∵OE平分∠BOC， ∴， 故①不正确，⑤正确； ∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD， ∴， ∵∠BOC+∠BOD＝180°， ∴∠BOE+∠BOF＝∠EOF＝90°， ∴OF⊥OE，故②正确； ∵OP⊥AB ∴∠DOP＝∠COP＝90°， ∴∠POF＝90°﹣∠DOF＝65°＝∠BOE，故③正确； ∵AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ABO＝50°， ∴， ∵OP⊥CD， ∴∠POE＝∠POC﹣∠COE＝90°﹣65°＝25°， ∴∠BOD＝2∠POE，故④正确． 故正确结论为：②③④⑤， 故选：D． 【考点评析】本题考查平行线的性质，垂线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． 3．（2024春•思明区校级期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【规范解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 4．（2023春•都昌县期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为　50　 °． 【思路点拨】根据平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵直线m∥n， ∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°， 故答案为：50 【考点评析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2024春•成都期中）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　180°　 ． 【思路点拨】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可找到关系式． 【规范解答】解：∵AB∥EF， ∴∠2+∠BOE＝180°， ∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3， ∵O在EF上， ∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°， ∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°， 即∠2+∠3﹣∠1＝180°， 故答案为：180°． 【考点评析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行． 6．（2024春•榕城区期中）已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝128°，则∠BCD﹣∠EAB＝　38　 度． 【思路点拨】设∠ADE＝x，根据平行线的性质，分别用含x的代数式表示出∠BCD＝90°﹣x，∠EAB＝52.5°﹣x，再代入整理可得答案． 【规范解答】解：设∠ADE＝x， ∵DE平分∠ADB， ∴∠EDB＝∠ADE＝x， 又∵ED⊥CD， ∴∠EDC＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣x， ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠BCD＝180°﹣（90°﹣x+2x）＝90°﹣x， ∵BD∥AE， ∴∠AED＝∠EDB＝x， ∵∠AED+∠BAD＝128°， ∴∠BAD＝128°﹣x，∠EAB＝180°﹣（128°﹣x+2x）＝52°﹣x， ∴∠BCD﹣∠EAB＝（90°﹣x）﹣（52°﹣x）＝38°． 故答案为：38． 【考点评析】本题考查平行线的性质，根据题意得到角之间的关系是解题关键． 7．（2024春•通榆县期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠D之间数量关系时，有如下发现： （1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝　65°　 ； （2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝　150°　 ； （3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）如图所示，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质得到∠APQ＝∠A＝30°，∠DPQ＝∠D＝35°由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质得到∠APQ＝180°﹣∠A＝30°，∠D＝180°﹣∠DPQ，在求出∠DPQ的度数即可得到答案； （3）如图所示，过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠BPQ＝180°﹣∠B，∠DPQ＝∠D，再由∠BPD＝∠BPQ+∠∠DPQ＝180°﹣∠B+∠D即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ＝∠A＝30°，∠DPQ＝∠D＝35°， ∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝65°， 故答案为：65°； （2）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ＝180°﹣∠A＝30°，∠D＝180°﹣∠DPQ， ∵∠APD＝60°， ∴∠DPQ＝∠APD﹣∠APQ＝30° ∴∠D＝150°， 故答案为：150°； （3）∠β＝180°﹣∠α+∠γ，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠BPQ＝180°﹣∠B，∠DPQ＝∠D， ∴∠BPD＝∠BPQ+∠∠DPQ＝180°﹣∠B+∠D， ∴∠β＝180°﹣∠α+∠γ． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2024春•宝安区期中）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝∠DAC． ∵∠EAB+∠BAC+　∠DAC　 ＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数． 深化拓展： （3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，点B是直线AB上的一个动点（不与点A重合），AB＜CD，BE平分∠ABC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．若∠ABC＝n°，请你求出∠BED的度数．（用含n的代数式表示） 【思路点拨】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； ∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°n°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°n°+30°＝210°n°． 【规范解答】解：（1）∵ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 故答案为：∠EAB，∠DAC； （2）过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠D＝∠FCD， ∵CF∥AB， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°， ∴∠B+∠BCD+∠D＝360°， （3）如图3，当B在A左侧时，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°n°； 如图4，当B在A右侧时，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝30°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°n°，∠CDE＝∠DEF＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°n°+30°＝210°n°． 【考点评析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：正确添加辅助线，及作出（3）中的图形． 9．（2024春•成都期中）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）根据三角形外角的性质可证明结论； （3）有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度数，可得结论； ②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF， ∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG＝∠BGA， ∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG﹣∠F＝45°， ∴∠BCF＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴CF平分∠BCD； （3）解：有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴∠BCH＝∠AGB90°﹣2x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x， ∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； ②当M在BP的上方时，如图6， 同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x， ∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：∠GBM＝x：3x． 综上，的值是5或． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题． 10．（2024春•兴宁区期中）问题探究： 如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： （1）请按张山同学的思路，写出证明过程； （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 问题迁移： （3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数． 【思路点拨】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可． （2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可． （3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论． 【规范解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D． （2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G． ∵DE∥FG， ∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF， ∵AB∥CG， ∴∠G＝∠ABF， ∴∠EDC＝∠ABF， ∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC． （3）如图④中， ∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC， ∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF， 设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y， ∵∠CED＝3∠F， ∴∠CED＝3x+3y， ∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠CDE＝2y， ∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°， ∴5x+5y＝180°， ∴x+y＝36°， ∴∠F＝36°． 【考点评析】本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$