2024-2025学年高一下学期期中考试数学模拟练习题

2024-2025学年度高一第二学期期中考试数学模拟练习题 （北师大版必修二：三角函数、平面向量） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知＝0.142857···化成小数，小数点后第20位是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2. 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 3. 若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A.－a B.－a C.a D.a 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则　　 A． B． C． D． 5. 中，已知，，，则　　 A．1 B． C． D．3 6. 已知a＝cos，b＝sin，c＝0.3－2，则(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a 7. 已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 8. 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　) A.(，) B.(－，－) C.(，) D.(－，－) 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是(　　) A.两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 B.若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.若a＝b，b＝c，则a＝c 10. 已知点A(4，6)，B(－3，)，有下列向量，其中与平行的向量是(　　) A.a＝(，3) B.b＝(7，) C.c＝(－，－3) D.d＝(－7，9) 11. 下列结论正确的是(　　) A．－是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C．若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－ D．若角α为锐角，则角2α为钝角 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在中，点在边上，．记，，用表示 = . 13. 在中，，，，为上一点，为的平分线，则 ． 14. 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)； (2)求值：sin cos(－)＋sin cos . 16 已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； (2)若＝2，求点C的坐标. 17. 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)将f(x)的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝a－1在x∈[0，]上有两个解，求实数a的取值范围. 18. 如图，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，sin∠ACD＝. (1)求BC边的长； (2)求四边形ABCD的面积. 19. 某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是1 km；从B到C，方位角是110°，距离是1 km；从C到D，方位角是140°，距离是(3＋)km. (1)求从A到D的方位角； (2)计算从A到D的距离. 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一第二学期期中考试数学模拟练习题 （北师大版必修二：三角函数、平面向量） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知＝0.142857···化成小数，小数点后第20位是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　C 解析　＝0.142857···，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 2. 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 答案　B 解析　因A，C，D三项中的e1，e2共线，故不能表示a. B选项，(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)， ∴ 解得 故B中的e1，e2可把a表示出来. 3. 若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A.－a B.－a C.a D.a 答案　B 解析　由条件得－sin α－sin α＝－a， 故sin α＝， 原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a. 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则　　 A． B． C． D． 解 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像， 把函数的图像，向左平移个单位长度， 得到的图像； 再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得的图像． 故选：． 5. 中，已知，，，则　　 A．1 B． C． D．3 解 设角，，所对的边分别为，，， 结合余弦定理，可得， 即，解得 舍去）， 所以． 故选：． 6. 已知a＝cos，b＝sin，c＝0.3－2，则(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a 答案　A 解析　因为1>a＝cos >b＝sin >0，c＝0.3－2＝>1，所以c>a>b. 7. 已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 解 因为向量，满足，，， 所以， 两边平方得， ， 解得， 故选：． 8. 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　) A.(，) B.(－，－) C.(，) D.(－，－) 解析　设c＝(x，y)， 由(c＋a)∥b得－3(x＋1)－2(y＋2)＝0.① 由c⊥(a＋b)得3x－y＝0.② 联立①②得 则c＝(－，－).故选：D 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是(　　) A.两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 B.若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.若a＝b，b＝c，则a＝c 答案　CD 解析　有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确.两个相等的非零向量可能在同一直线上，故B不正确；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确；若a＝b，则a，b的长度相等且方向相同；若b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，故D正确. 10. 已知点A(4，6)，B(－3，)，有下列向量，其中与平行的向量是(　　) A.a＝(，3) B.b＝(7，) C.c＝(－，－3) D.d＝(－7，9) 答案　ABC 解析　＝(－7，－)， 因为a＝(，3)＝－(－7，－)＝－， b＝(7，)＝－(－7，－)＝－，c＝(－，－3)＝(－7，－)＝， 所以与平行的向量是选项A，B，C中的向量. 11. 下列结论正确的是(　　) A．－是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C．若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－ D．若角α为锐角，则角2α为钝角 答案　BC 解析　选项A，－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确； 选项B，设扇形的半径为r，r＝π， 所以r＝3，扇形面积为×3×π＝，所以B正确； 选项C，角α的终边过点P(－3,4)， 根据三角函数定义，cos α＝－，所以C正确； 选项D，角α为锐角时，0<α<，0<2α<π， 所以D不正确． 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在中，点在边上，．记，，用表示 = . 解 如图， ， ，即． 13. 在中，，，，为上一点，为的平分线，则 ． 解 如图，在中，，， 由正弦定理可得， ，又， ，， 又为的平分线，且， ，又，， ． 故答案为：2． 14. 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________. 答案　 解析　由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝， ∴AC＝＝. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin ∠CAD＝ACsin β＝. 故山高CD＝. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)； (2)求值：sin cos(－)＋sin cos . 解　(1)原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. (2)原式＝sin cos ＋(－sin )·(－cos ) ＝×＋×＝. 16 已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； (2)若＝2，求点C的坐标. 解　由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1). (1)∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，∴a＋b＝2. (2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)＝(4，－4)， ∴解得 ∴点C的坐标为(5，－3). 17. 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)将f(x)的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝a－1在x∈[0，]上有两个解，求实数a的取值范围. 解　(1)由题意得T＝2×(－)＝2＝，∴ω＝π. ∴f(x)＝cos(πx＋φ)， ∵f()＝cos(＋φ)＝－1， ∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，∴φ＝. ∴f(x)＝cos(πx＋). 令2kπ≤πx＋≤2kπ＋π，k∈Z， 解得2k－≤x≤2k＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递减区间为[2k－，2k＋]，k∈Z. (2)将f(x)的图象向右平移个单位得到y＝cos[π(x－)＋]＝sin(πx＋)的图象，再将横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝sin(x＋)的图象. 若g(x)＝a－1在x∈[0，]上有两个解，则y＝a－1与y＝sin(x＋)的图象在x∈[0，]上有两个不同的交点，所以≤a－1＜1或－1＜a－1≤0， 所以实数a的取值范围为(0，1]∪[1＋，2). 18. 如图，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，sin∠ACD＝. (1)求BC边的长； (2)求四边形ABCD的面积. 解　(1)由·＝||||·cos∠BAC，得 cos∠BAC＝＝＝. 由于0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC＝60°. 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝22＋12－2×2×1× ＝3， 所以BC＝. (2)由(1)知AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC， 四边形ABCD的面积 S＝S△ABC＋S△ACD ＝AC·BC＋AC·CDsin∠ACD ＝×1×＋×1×1× ＝＋. 19. 某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是1 km；从B到C，方位角是110°，距离是1 km；从C到D，方位角是140°，距离是(3＋)km. (1)求从A到D的方位角； (2)计算从A到D的距离. 解　(1)如图所示， 连接AC，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°， 又AB＝BC＝1 km， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°， 由余弦定理可得AC＝ ＝(km). 在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－70°－30°＝120°， CD＝(3＋)km， 由余弦定理可得 AD＝＝＝(km). 由正弦定理得＝， 即sin ∠CAD＝＝， ∴∠CAD＝45°， ∴从A到D的方位角为50°＋30°＋45°＝125°. (2)由(1)知AD＝ km， ∴从A到D的距离为 km. 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$