二次函数的存在性问题与平行四边形和特殊平行四边形模型练-2025年中考数学二轮复习备考

二次函数的存在性问题与平行四边形和特殊平行四边形 一、解答题 1．已知直线与抛物线交于B，C两点，点B在点C的左侧． (1)求B，C两点的坐标； (2)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数与轴交于A，两点，其中点A在点的左侧，A为，抛物线与轴交于点，对称轴为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点G为直线上方的抛物线上的一动点，试计算以A，，，为顶点的四边形的面积的最大值； (3)若点为对称轴上的一个动点，点为抛物线上的一个动点，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点的坐标． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是抛物线上一动点，且，求点的坐标； (3)点是抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 4．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，若点P是抛物线上一动点，设点P的横t． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接，求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)若点M为抛物线对称轴上一点，请在图2中探究抛物线上是否存在点P，使得以B，C，M，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标． 8．已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且为菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 11．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B，点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴于点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线在第一象限内图象上的一个动点．连接，求当四边形面积最大时点P的坐标； (3)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移2个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点，点H是平面内一点；在（2）条件下所求点P在新抛物线上的对应点是M，点N为x轴上一动点，当最小时，直接写出以点C，N，Q，H为顶点的四边形是矩形时点H的坐标． 13．如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 参考答案 1．(1) (2)在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，此时点P的或或 本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，掌握待定系数法求函数的解析式以及分类思想的应用是解题的关键． （1）联立方程组，求出方程组的解即可得出B，C两点的坐标； （2）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可． （1）解：联立方程组， 解得，， ∵点B在点C的左侧， ∴； （2）解： ∴抛物线的对称轴为直线，顶点， ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横1， ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4， ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标或； ②当为对角线时，点Q到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的横坐标是3， ∴点P的坐标； 综上，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，此时点P的或或 2．(1) (2) (3)、或 （1）根据点、的坐标结合抛物线的对称轴为直线，即可得出关于、、的方程组，解之即可得出结论； （2）过点作轴的平行线，交于点，由点的坐标结合抛物线的对称性可得出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的，则点的，利用三角形的面积公式可得出，配方后即可得出以、、、为顶点的四边形的面积的最大值； （3）分为边及为对角线考虑：①当为边，四边形为平行四边形时，根据四边形的性质结合、的坐标及点的横坐标，即可得出点的横坐标，进而即可得出点、的坐标；当为边，四边形为平行四边形时，根据四边形的性质结合、的坐标及点的横坐标，即可得出点的横坐标，进而即可得出点、的坐标；②当为对角线时，由、的坐标及点的横坐标利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出点的横坐标，进而即可得出点、的坐标．综上，此题得解． （1）解：二次函数的图象过点、，且对称轴为直线， ， 解得：， ∴． （2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图1所示． ，抛物线的对称轴为直线， ． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 设点的，则点的， ， ． ， 当时，取最大值，最大值为． （3）解：①当为边，四边形为平行四边形时， ，，点的横1， 点的横坐标， 点的， 点的，即； 当为边，四边形为平行四边形时， ，，点的横1， 点的横坐标， 点的， 点的，即； ②当为对角线时， ，，点的横1， 点的横， 点的， 点的，即． 综上所述：点的、或． 本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象和性质、三角形的面积、平行四边形的性质，平移坐标变换规律，解题的关键是：（1）根据点的坐标结合抛物线的对称轴，求出、、的值；（2）利用三角形的面积公式找出；（3）利用平行四边形的性质找出点的横坐标． 3．(1) (2)或或或 (3)或或 (1)用待定系数法可得二次函数的解析式为 ； (2)由，可知，令解方程即可求点的坐标； (3)设，，又，分两种情况∶①若为边，则，利用平移建立方程即可求解；②若为对角线，则利用平行四边形的性质可求得答案． （1）解：把，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：， ， ， ， ， ， 当时， 解得：， 或； 当时， 解得：， 或； 综上所述，时， 点的坐标是或或或； （3）解：设，， 又， 分两种情况∶①若为边，则，如下图，有两种情况： 当点M在y轴左侧时， ，， 点Q可以看作点B向左平移以后再向上平移2个单位得到的， 点M可以看作点A向左平移相同单位以后再向上平移2个单位得到的， ， 解得（舍正值）， ， 同理可得，当点M在y轴右侧时， ， 解得（舍负值）， ； ②若为对角线，如下图所示： 此时， ， 由（2）可知； 综上所述，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时， 点的或或． 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，用一元二次方程解决相关问题，平行四边形的性质与应用等知识，解题的关键是建立数学模型，学会数形结合、分类讨论思想的应用． 4．(1)； (2)点E的； (3)点的或或． （1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可． （1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则，， 将，代入抛物线解析式可得： ， 解得， 即； （2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，∴当时，有最小值，最小值为3； 此时点E的； （3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即， 当为边时，点到点的水平距离是4， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是5或， 代入抛物线解析式可得，，， 即点的或， 当为对角线时，点到点的水平距离是3， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去）， 则，即点的， 综上，点的或或． 此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 5．(1) (2)符合条件的P点坐标是或 (3)或或 （1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可； （2）先说明是等腰直角三角形，设点P的，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可． （1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 6．(1)； (2)四边形的面积最大值为，点P的； (3)点的或或． （1）根据题意，利用待定系数法确定二次函数解析式； （2）设点的横，因在这个二次函数的图象上，则有，进而利用，用含的代数式表示，最后利用二次函数的顶点式求出面积的最大值； （3）设，利用平行四边形的中心对称性分、和分别是平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． （1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：连接， 令，则， ∴， ∵，， ∴，，， ∵点在第一象限的抛物线上，且横， ∴，且， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大值为； 此时点P的； （3）解：存在点P，使以B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形． 设， ∵ 抛物线上的对称轴是直线，且点M在对称轴上， ∴， ①当为对角线时， ∵， ∴， 解得：， ∴点的， ②当为对角线时， ∵， ∴， 解得：， ∴点的， ③当为对角线时， ∵， ∴， 解得：， ∴点的， 综上所述，符合条件的点的或或． 本题考查的是二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、图形面积的计算，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免遗漏．灵活运用所学知识是解本题的关键． 7．(1) (2)点的 (3)点的或或． （1）先设二次函数的交点式为，然后将点代入函数解析式求得的值，即可得到函数的解析式； （2）先求得直线的解析式，再设点的坐标，得到点和点的坐标，进而得到和的长，然后利用二次函数的性质求得的最大值，即可得到对应的点的坐标； （3）先求得平移后的抛物线解析式，然后得到新的对称轴，设和的坐标，进而利用平行四边形的中心对称性分情况列出方程，求得点的坐标． （1）解：由题意可设二次函数的交点式为， 将点代入函数解析式，得， ， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，则 ，解得：， 直线的解析式为， 设点的， 则点的， 点的， ， ，， 当时，有最大值， 此时，点的 （3）解：抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的抛物线解析式为， 新的对称轴为直线， 设，， 以为对角线时， ， 解得：， 点的； 以为对角线时， ， 解得：， 点的； 以为对角线时， ， 解得：， 点的； 综上所述，点的或或． 本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式． 8．(1)； (2)存在，、，，． （）由题意得，轴，轴，利用勾股定理得再计算即可； （）过作轴，由菱形性质得，由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得，求出，代入函数解析式计算即可． （1）如图，，轴，轴．    在中， ， ∴， ∴， ∴点满足的函数关系式为； （2）如图：过作轴，    设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 根据对称性得或， 综上所述，，，，． 本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，画出函数图象，再分类讨论是解题的关键． 9．(1)， (2)12； (3)存在，或． （1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． （1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 10．(1)抛物线的函数表达式为； (2)面积的最大值是，此时点P的 (3)的或．求解过程见解析 （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）连接，过作轴交于，求出，可得直线函数表达式为，设，即可得，由为的中点，有，根据二次函数性质可得答案； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位，得新抛物线，新抛物线的对称轴为直线，设，，分三种情况：①若，为对角线，则，的中点重合，且；②若，为对角线，；③若，为对角线，． （1）解：把，点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， 由，得直线函数表达式为， 设，则， ， ， 为的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时，， 面积的最大值是，此时点的； （3）解：，， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位， 新抛物线， 新抛物线的对称轴为直线， 设，， 又，， ①若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 此时方程组无实数解； ②若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； ③若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； 综上所述，的或． 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 11．(1) (2)当时，周长的最大值为， (3)N点或或或或 （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得，则，设，则，可得周长，当时，周长的最大值为，此时； （3）先求出平移后的函数解析式为，设，，根据菱形的对角线分三种情况讨论，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等建立方程组，求出点的坐标即可． （1）解：将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴周长， ∴当时，周长的最大值为， 此时； （3）解：∵， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，， 令，则， 解得或， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时， ， 解得， ∴； 综上所述：N点或或或或． 本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的长转化为求的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键． 12．(1) (2)点 (3)或 （1）由题意得设，将点代入可求出抛物线的解析式，据此即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （3）由题意得新抛物线的解析式为：，；作出二、四象限的角平分线，作交轴于点，可求出直线的解析式，进而求出；分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； （1）解：由题意得设， 将点代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点； （2）解：作轴，如图所示： ∵，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 设直线的解析式为：， 将代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，最大，此时四边形面积最大， （3）解：由题意得：新抛物线的解析式为：，， 作出二、四象限的角平分线，作交轴于点， 则的解析式为：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 此时，设直线的解析式为：， 将代入可得：，得， ∴直线的解析式为：， 由得：， ∴； 设点，， 时， ， 此方程无解； 时， ， 解得：； ∴； 时， ， 解得：； ∴； 综上所述：点H的坐标的或 本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础以及较强的计算能力． 13．(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 （1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． （1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是抛物线的一点，且横， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 把代入中得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$