安徽省合肥市庐江县庐州学校2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

数学(B)·参考答案 第1 页 参 考 答 案 数 学 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A B C C D C D C D C 6.[提示]如答图.∵AB=CD 且AB∥CD, O D CB A 第6题答图 ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵∠AOB=∠BOC,∠AOB+∠BOC=180°, ∴∠AOB=90°,即▱ABCD 是菱形.选项A不符合题意. ∵AB=BC, ∴▱ABCD 是菱形.选项B不符合题意. ∵∠ABC=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°, ∴∠ABC=90°. ∴▱ABCD 是矩形.选项C符合题意. ∵∠BAC=∠DAC,∠ABC=∠ADC,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(AAS). ∴AB=AD. ∴▱ABCD 是菱形.选项D不符合题意.综上,故选C. 7.[提示]根据题意,列表如下: C D E A (A,C) (A,D) (A,E) B (B,C) (B,D) (B,E) 根据列表可知,共有6种等可能的结果,其中小明从入口A进入,从出口E离开的结果有1种, ∴小明从入口A进入,从出口E离开的概率为 1 6. 故选D. 8.[提示]∵非零实数x,y,z满足x+y+z=0, ∴y=-x-z,代入2x+y+z<1,得2x+(-x-z)+z<1,整理,得x<1,选项A不正确. ∵非零实数x,y,z满足x+y+z=0, ∴x=-y-z,代入2x+y+z<1,得2(-y-z)+y+z<1,整理,得y+z>-1,选项B不正确. ∵x+y+z=0, ∴2x+2y+2z=0. ∵2x+y+z<1, ∴2x+y+z+2x+2y+2z<1+0,整理,得4x+3y+3z<1,选项C正确. ∵x+y+z=0, ∴5x+5y+5z=0. ∵2x+y+z<1, ∴-2x-y-z>-1. ∴-2x-y-z+(5x+5y+5z)>-1,即3x+4y+4z>-1,选项D不正确.综上,故选C. 数学(B)·参考答案 第2 页 9.[提示]由直线在坐标系中的位置可知ab<0,c<0, ∴abc>0,则双曲线y= abc x 分别位于第一、三象限,排除选项A,C. 由ab<0可知抛物线的对称轴位于y 轴的右侧,又由c<0可知抛物线与y 轴交于原点下方,选项D符合 题意.综上,故选D. 10.[提示]如答图1,当DP⊥BC 时,DP 有最小值. 此时易求得CD= 1 2CP= 1 4AB= 1 4×43= 3. ∴DP= 3CD= 3× 3=3. ∵点P 是AC 的中点, ∴CP= 1 2AC= 1 2AB= 1 2×43=23. ∴CP+DP 的最小值为3+23.选项A正确. 第10题答图1 P A B CD E 第10题答图2 G O E D CB A PF 第10题答图3 H 第10题答图4 如答图2,连接CE. 易得AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠ACE=∠ABD=60°. ∵∠ACB=60°, ∴点E 位于∠ACB 的外角平分线上. 当EP⊥CE 时,EP 有最小值,此时CE= 1 2CP= 1 2×23= 3 ,EP= 3CE= 3× 3=3, ∴CP+EP 的最小值为3+23.选项B正确. 如答图3,作△GBC 与△ABC 关于直线BC 对称,连接AG 交BC 于点O,过点P 作PF⊥AG 于点F. ∴AD=GD. ∴AD+DP=GD+DP. 当点G,D,P 共线时,AD+DP 有最小值. 易知OC=23,OA=OG= 3OC= 3×23=6,FP= 1 2OC= 1 2×23= 3 , ∴OF= 1 2OA= 1 2×6=3 ,FG=OF+OG=3+6=9. ∴GP= FP2+FG2= 92+ 3 2=2 21,故AD+DP 的最小值为2 21.选项C错误. 如答图4,当AD⊥BC 时,△ADE 的边长最短,此时△ADE 的面积有最小值.设AC⊥DE 于点H. 易求得AD= 3CD= 3×23=6,DH= 1 2AD= 1 2×6=3 ,AH= 3DH= 3×3=33, ∴S△ADE= 1 2DE×AH= 1 2×6×33=93 ,选项D正确.综上,故选C. 数学(B)·参考答案 第3 页 二、11.a≠3 12.-3 13. 6π 5 14. (1)90(2分) (2) 1 4 (3分) 13.[提示]如答图,连接OM. M I A B C DE F G H O 第13题答图 ∵六边形ABCDEF 是正六边形, ∴∠ABC= 180°×(6-2) 6 =120°. ∴∠ABE= 1 2∠ABC= 1 2×120°=60°. ∵五边形ABGHI是正五边形, ∴∠ABG=∠BGH= 180°×(5-2) 5 =108°. ∴∠GBH= 1 2 (180°-∠BGH)= 1 2× (180°-108°)=36°. ∴∠ABH=∠ABG-∠GBH=108°-36°=72°. ∴∠EBH=∠ABH-∠ABE=72°-60°=12°. ∴∠EOM=2∠EBH=2×12°=24°. ∴弧EM 的长= 24π×9 180 = 6π 5. 14.[提示](1)由折叠可知,∠AED=∠DEH,∠BEF=∠GEF,∠AEH+∠BEH=180°, A B CD E FG H 第14题答图 ∴∠DEF=∠DEH+∠GEF= 1 2 (∠AEH+∠BEH)= 1 2×180°=90°. (2)如答图,连接DF. ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD=BC=4,AB=CD=5,∠A=∠B=∠DEF=90°. 由一线三等角易证△DAE∽△EBF, ∴AD∶BE=AE∶BF. 设BE=x,则EG=BE=x,AE=HE=AB-BE=5-x. ∵BF= 3 2 , ∴4∶x=(5-x)∶ 3 2 ,整理,得x2-5x+6=0,解得x=2或x=3(舍去). ∴AE=EH=5-2=3,GH=EH-EG=3-2=1. 又∵∠H=∠A=90°, ∴tan∠GDH= GH DH= 1 4. 三、15.解:去分母,得2(x+4)-12≤3x. 2分………………………………………………………………………… 去括号,得2x+8-12≤3x. 移项、合并同类项,得-x≤4. 4分……………………………………………………………………………… 系数化为1,得x≥-4. 6分…………………………………………………………………………………… 把解集在数轴上表示如下: 8分………………………………………………………………………………… -3 -2 -1 0 1 2 3-4 第15题答图 数学(B)·参考答案 第4 页 16.解:(1)设该商贩批发x kg西红柿,y kg土豆,根据题意,得 x+y=80, 3x+2y=180, 3分…………………………………………………………………………………………… 解得 x=20, y=60. 答:该商贩批发20 kg西红柿,60 kg土豆. 5分……………………………………………………………… (2)(5-3)×20+(3.5-2)×60 7分…………………………………………………………………………… =2×20+1.5×60 =40+90 =130(元). 答:该商贩可以赚130元. 8分………………………………………………………………………………… 四、17.(1)△A1B1C1 如图所示,点C1(-2,2). 3分………………………………………………………………… (2)△A2B2C2 如图所示,点C2(-9,1). 6分………………………………………………………………… (3)A1A2 的垂直平分线如图所示. 8分………………………………………………………………………… x y O A B C A1 A2 B1 B2 C2 C1 第17题答图 18.(1)①18 81 ②583 385 4分……………………………………………………………………………… (2)1111mn+110m2+110n2 101mn+10m2+10n2 6分…………………………………………………… 110m+11n 1111mn+110m2+110n2 8分…………………………………………………………………… 五、19.解:根据题意可知DF=CE=24 m,AG=EF=CD=1.5 m,∠BDG=36.9°,∠BFG=45°. 在Rt△BDG 中,tan∠BDG= BG DG , ∴tan36.9°= BG DG ≈0.75,即DG= BG 0.75. 3 分………………………………………………………………… 在Rt△BFG 中,∠BFG=45°, ∴FG=BG. ∵DG-FG=DF, ∴ BG 0.75-BG=24. 7 分………………………………………………………………………………………… 解得BG=72. 9分……………………………………………………………………………………………… ∵AH=68 m, ∴BH=BG+AG-AH=72+1.5-68=5.5(m). 答:小山顶上望江亭的高度约为5.5 m. 10分………………………………………………………………… 20.解:(1)如答图1,连接OC. ∵CP 是☉O 的切线,OC 是☉O 的半径, ∴OC⊥CP. ∴∠PCO=90°. ∵OA 和OC 是☉O 的半径,∠BAC=32°, 数学(B)·参考答案 第5 页 OA B C D P E 第20题答图1 ∴OA=OC. ∴∠ACO=∠BAC=32°. ∵AB⊥CE, ∴∠ADC=90°. ∴∠ACD=90°-∠BAC=90°-32°=58°. ∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=58°-32°=26°. ∴∠ECP=∠PCO+∠OCD=90°+26°=116°. 5分………………………………………………………… (2)如答图2,连接OC. OA B C D P F E 第20题答图2 ∵AF⊥CP,AD⊥CE,CE=24, ∴∠AFC=∠ADC=90°,CD= 1 2CE= 1 2×24=12. ∵AC 平分∠BAF, ∴∠CAF=∠CAD. ∴∠ACF=∠ACD. ∴AD=AF=18. 设OD=x,则OC=OA=AD-OD=18-x,由勾股定理,得 OC2=OD2+CD2,即(18-x)2=x2+122,解得x=5. ∴OD=5,OA=OB=18-5=13. ∴BD=OB-OD=13-5=8. 10分…………………………………………………………………………… 六、21.解:(1)50 14 32 3分………………………………………………………………………………………… 补全的频数分布直方图如图所示: 6分………………………………………………………………………… 50 60 70 80 90 100 16 14 12 10 8 6 4 2 0 !"/! #$/% 2 5 14 16 13 第21题答图 (2)成绩在“80≤x<90”范围所在扇形的圆心角度数为360°×32%=115.2°. 9分………………………… (3)4500×(32%+26%)=2610(人). 答:该校学生对交通法规知识掌握合格的学生约有2610人. 12分………………………………………… 七、22.解:(1)把(0,4)代入y=ax2+bx+c,得c=4. ∵该抛物线的对称轴为直线x=-1,且经过点(1,-2), ∴ - b 2a=-1 , a+b+4=-2, 解得 a=-2,b=-4. ∴该抛物线的表达式为y=-2x2-4x+4. 4分……………………………………………………………… (2)(ⅰ)b=-2a-2.理由如下: 5分…………………………………………………………………………… 设抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x-2交x 轴上同一点的坐标为(k,0). 把点(k,0)代入一次函数y=x-2,得 k-2=0,解得k=2. 6分……………………………………………………………………………………… 由(1)可知c=4, 数学(B)·参考答案 第6 页 ∴抛物线的表达式为y=ax2+bx+4. 又∵(2,0)在二次函数y=ax2+bx+4上, ∴a×22+b×2+4=0,即b=-2a-2. 8分………………………………………………………………… (ⅱ)由(ⅰ)知二次函数的表达式为y=ax2-(2a+2)x+4, ∴抛物线的对称轴为直线x=- b 2a= 2a+2 2a = 1 a+1. 又∵2≤a≤4, ∴ 1 4≤ 1 a≤ 1 2. ∴ 5 4≤ 1 a+1≤ 3 2. 9 分………………………………………………………………………………………… 又∵a>0, ∴当x> 1 a+1 时,y 随x 的增大而增大. ∵当2≤x≤4时,y=ax2-(2a+2)x+4的最大值为p,最小值为q, ∴当x=4时,p=a×42-(2a+2)×4+4=8a-4.当x=2时,q=a×22-(2a+2)×2+4=0. ∴p-q=8a-4-0=8a-4. 11分…………………………………………………………………………… ∵2≤a≤4, ∴当a=2时,p-q有最小值,最小值为8a-4=8×2-4=12. 12分……………………………………… 八、23.(1)解:如答图1,连接AG. ∵AE⊥DF, ∴∠AOD=∠AOG=90°. O G A B CD E F 第23题答图1 ∵OD=OG,∠AOD=∠AOG=90°,OA=OA, ∴△AOD≌△AOG(SAS). ∴∠OAD=∠OAG=α,AD=AG. 又∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°. ∴AB=AG,∠BAG=∠BAD-(∠OAD+∠OAG)=90°-2α. ∴∠ABG= 1 2 (180°-∠BAG)= 1 2 [180°-(90°-2α)]=45°+α. 5分…………………………………… (2)(ⅰ)证明:如答图2,连接BD,AG. O G A B CD E F H 第23题答图2 ∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠CBD=45°. 由(1)知,AB=AG,∠AGB=∠ABG=45°+α. ∵AE⊥DF,∠BAD=90°,∠EAG=∠DAE=α, ∴∠AGD=∠BAO=90°-α. ∴∠BGD=∠AGD+∠AGB=90°-α+45°+α=135°. ∴∠BGH=180°-∠BGD=180°-135°=45°. ∵BH⊥DG, ∴△BGH 是等腰直角三角形. 又∵△BCD 是等腰直角三角形, ∴△BGH∽△BDC. 数学(B)·参考答案 第7 页 ∴ BH BG= BC BD=cos45°= 2 2 ,∠HBG=∠CBD=45°. ∴∠HBG-∠CBG=∠CBD-∠CBG,即∠CBH=∠DBG. ∴△BCH∽△BDG. ∴ CH DG= BC BD= 2 2. ∴DG= 2CH. 10分…………………………………………………………………………………………… (ⅱ)解:如答图3,连接BD,过点G 作GM⊥AB 于点M. O G A BM CD E F H 第23题答图3 ∵∠BCD=∠BHD=90°, ∴四边形BDCH 有外接圆. ∴∠CHD=∠CBD=45°. ∴∠CHF=∠BGH=45°. 又∵∠CFH=∠BFG, ∴△CFH∽△BFG. ∴ CH BG= CF BF= FH FG . 又∵BG=4CH,FH= 26 5 , ∴FG=4FH=4× 26 5 = 86 5 . ∴GH=FG+FH= 86 5 + 26 5 =26=BH. ∴BG= 2GH= 2×26=43. 在Rt△BFH 中,BF= BH2+FH2= (26)2+ 26 5 2 = 4 39 5 , ∴CF= 1 4BF= 1 4× 4 39 5 = 39 5 . ∴AB=BC=BF+CF= 4 39 5 + 39 5 = 39=AG. 设AM=x,则BM= 39-x,由勾股定理,得 GM2=AG2-AM2=BG2-BM2,即39-x2=(43)2-( 39-x)2,解得x= 5 39 13 . ∴GM= AG2-AM2= 39- 5 39 13 2 = 12 39 13 . ∴S△ABG= 1 2AB ·GM= 1 2× 39× 12 39 13 =18. 14 分……………………………………………………