2025年山东省济南市东南片区3月质量检测数学试题

九年级模拟考试参考答案（202503） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C B B A C B 二、填空题 11． 12． 13． 45° 14． 240 15． 三、解答题 16． 解：原式 …………………………………………5分 …………………………………………7分 17． 解：解不等式①得，x<1 …………………………………………2分 解不等式②得，x>-4 …………………………………………4分 ∴不等式组的解集为-4<x<1 …………………………………………6分 ∴所有整数解得和为-3+（-2）+（-1）+0=-6 …………………………………7分 18．证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C …………………………………………2分 ∵BE⊥AD，BF⊥CD ∴∠AEB=∠CFB=90° …………………………………………3分 ∴△ABE≌△CBF …………………………………………4分 ∴AE=CF …………………………………………5分 ∴AD-AE=CD-CF …………………………………………6分 即DE=DF …………………………………………7分 19.解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H， 由题意可得四边形HGCD是矩形， ∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，……………………1分 ∴EH=EG-HG＝4.5-1.5=3,…………………………2分 ∵∠CDE＝135°， ∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．…………………3分 ∴在Rt△EHD中，ED=3A 答：下折臂DE的长约为4.2m。…………………4分 （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K． ∵EK∥HD， ∴∠KED＝∠EDH＝45°． ∵∠AED＝88°， ∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°…………………………………5分 ∵GC=HD=3 , BC=2, ∴BG=5, 由题意可得四边形EGBK是矩形， ∴EK=5，KB=4.5,……………………………………………………6分 在Rt△AEK中，tan43°=.93， ∴AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65．…………………………………7分 ∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）． 答：路灯AB的高约为9.2m．……………………8分 20.解：（1）证明：连接OC， ∵FC与⊙O相切于点C， ∴FC⊥OC，∠FCO=90°，………………1分 ∵AD⊥CF， ∴∠ADF=90°， ∴∠FCO=∠ADF ∴OC∥AD ∴∠OCA=∠CAD，………………………………2分 ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC，…………………………………………3分 ∴∠OAC=∠CAD ∴AC平分∠BAD。…………………………………………4分 （2）解：∵CD=2，AD=4, ∴AC=2，………………………………………………5分 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠D=90°， 又∵∠BAC=∠CAD， ∴△ABC∽△ACD， ∴, ∴， ∴AB=5，OA=OC=2.5，……………………6分 ∵∠FCO=∠D，∠F=∠F， ∴△FCO∽△FDA， ∴=, ∴…………………………………………………7分 ∴AF= ………………………………………………………8分 （其它解法请酌情给分） 21．（1）10，0.18； …………………………………………4分 （2）6.15； …………………………………………5分 （3）甲，甲； …………………………………………7分 （4） 答：估计乙试验田所有“良好”的水稻约为3万个。 ……………………9分 22．解：（1）设A品牌套装每套进价为x元，则B品牌套装进价为（x-2.5）元 ……1分 由题意得 …………………………………………2分 解得 x=10 …………………………3分 经检验，x=10是分式方程的解 …………………………4分 ∴x-2.5=7.5 ………………………5分 答：A品牌套装每套进价为10元，则B品牌套装进价为7.5元 （2）设购进A品牌套装m套，则购进B品牌套装（2m+4）套 ………………6分 由题意得：（12-10）m+（10.5-7.5）（2m+4）>120 ………………………7分 解得 ……………………8分 ∵m为正整数 ∴m=14 ……………………9分 答：最少购进A品牌工具套装14套。 …………………………10分 （两个答共占1分） 23．解：（1）由点C（1，0）在一次函数y＝x+b上，得b＝ 一次函数的表达式为y＝x .............................................................1分 由点A（4，m）在直线y＝x上，得m＝.............................................................2分 ∴A（4，） 把A（4，）代入y 得k＝6 ∴反比例函数的表达式为y .............................................................3分 （2） 法1：作PD//y轴交直线AB于点D， ∵S△PCA= ∴ ................................5分 ∴ ∴ ∴d=PD=........................................................6分 法2：设直线AB平移前后与y轴分别交于E、F两点， 连接AF、CF ∵△ACP与△ACF同底等高 ∴S△PCA=S△FCA.........................................................4分 ∴ S△FCA= ∴.................................5分 ∴ ∴ ∴d=EF=.....................................................6分 (3)连接OQ,设点Q的对应点为点G，过点G作GN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M， 由旋转的性质可知：OQ＝OG，∠QOG＝90°， ∴∠GON+∠QOM＝90°， ∵QM⊥x轴，GN⊥x轴， ∴∠QMO＝∠GNO＝90°， ∴∠OQM+∠QOM＝90°， ∴∠OQM＝∠GON， ∴△QOM≌△OGN，.......................................7分 ∴QM＝ON，OM＝GN， ∵点C（1，0），∠QCO＝45°， ∴OC＝1，△QMC为等腰直角三角形.........................................................8分 设OM＝t，则CM＝QM＝t+1， ∴ON＝QM＝t+1，GN＝OM＝t， ∴点G的坐标为（t+1，t），∵点G（t+1，t）在反比例函数的图象上， ∴t（t+1）＝6，.........................................................9分 解得：t1＝2，t2＝﹣3（不合题意，舍去）， 当t＝2时，t+1＝3， ∴点Q的坐标为（﹣2，3）．.........................................................10分 （其它解法请酌情给分） 24.解（1）∵抛物线过A（-1,0），C（0，） ∴ ………………2分 解得： ………………3分 ∴抛物线解析式为： ……4分 （2）∵抛物线与x轴交于A,B ∴B（5,0） ∴BC解析式为： x 如图，过M点作ME⊥x轴，垂足为E ，交BC于点M’ ∵DM⊥BC ∴∠DMM’=∠OBC 又∵∠BOC=∠MDM’=90° ∴△MDM’∽△BOC ………………5分 ∴== 又∵DM= ∴MM’= ………………6分 设M（m,）,则M’（m,） ∴ （）= 解得： ………………7分 ∴M（，） ∵C（0,） ∴MC= ………………8分 （3）法1： ∵A（-1,0），C（0,） ∴AC解析式为：x 过M作y轴平行线交射线AC于点F ∵射线AC平分MN ∴CN=MF ………………9分 设M（n,）,则F（n,） ∴FM=（） = ………………10分 过M作y轴垂线，垂足为H ∵MN∥BC ∴∠OCB=∠HNM ∴tan∠OCB=tan∠HNM=2 ∴HN= 又∵CH==（）= ∴CN= ………………11分 ∵CN=MF ∴= 解得：（舍），=,2 ∴M（2，） ………………12分 法2： ∵A（-1,0），C（0,） ∴AC解析式为：x ………………9分 由（2）知BC解析式为： x 设M（n,） ∵MN∥BC ∴== ∴MN解析式为： x………………10分 ∴N（0,） ∴MN中点为（,） ………………11分 将（,）代入x 得： 解得：（舍），=,2 ∴M（2，） ………………12分 （其它解法请酌情给分） 25.解（1）DE，AE ……………………2分 （2） 7 ……………………4分 （3）数量关系为： ……………………5分 理由：∵∠ACB＝90° ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵AD⊥MN，BE⊥MN ∴∠ACC＝∠BEC＝90° ∴∠ACD+∠CAD＝90° ∴∠BCE＝∠CAD ∴△ACD∽△CBE ……………………7分 又∵AC＝2BC ∴AD＝2CE ，CD＝2BE ∵DE＝DCCE ∴DE＝2BE AD ……………………8分 （4）在AC 上找一点F使∠EFP=∠DAC，延长FE 交AD的延长线于点G，过点G作AC的垂线，垂足为M，过点F作AD 的垂线，垂足为N. 在矩形ABCD中， ∵AB＝14，BC＝7 ∴AC＝ ∴sin∠DAC=== ∵ ∴∠EFP=∠DAC= ……………………9分 ∴△AQP∽△FPE，AG=GF ∴△GAF为等腰三角形 ∴AM=MF 设AM=MF=a，则AF=2a ∵sin∠DAC= ∴MG=2a ，AG=FG=a ，FN=a ，AN=a ∴GN=GAAN=aa=a 又∵tan∠DGE=tan∠NGF ∴ 又∵DE=4 ∴DG=3 ，EG=5 ∴AG=GF=10 ∴EF=105=5 , AM=MF=AF= ……………………10分 设AQ=y , AP=x ∵△AQP∽△FPE ∴ ∴ 即+x ……………………11分 ∵ <0 ， 对称轴为：直线 ∴当时， 即当AP= 时 ……………………12分 （其它解法请酌情给分） 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学试题第 1页 （共 8页） 第 4题图 第 5题图 202 5 年 3 月 九 年 级 质 量 检 测 数 学 试 题 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1．在 0，﹣2， 5 ，π 这四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．﹣2 C． 5 D．π 2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗轨道卫星高度大约是 21500000米。将数字 21500000用 科学记数法表示为（ ） A．2.15×107 B．0.215×109 C．2.15×108 D．21.5×107 3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功。如图是一块雕刻印章的材料，其俯视 图为（ ） A． B． C． D． 4．如图，直线 a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线 b上， 已知∠1＝55°，则∠2的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．125° 5．实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示， 下列各式不正确的是（ ） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．﹣a﹣b＜0 D．|a|＞b 6．2024 年 7 月，第 33届夏季奥林匹克运动会（The 33rd Summer Olympic Games）在法国巴 黎举办。下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 正面 九年级数学试题第 2页 （共 8页） 7．某博物馆开展“文化讲解员”招募活动。两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海 洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅 的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 8．如图，正方形 ABCD的顶点 B在 x轴上，点 A，点C在反比 例函数 ( 0, 0)ky k x x    图象上。若直线 BC的函数表达式为 1 4 2 y x  ，则 k等于（ ） A．24 B．16 C．12 D．6 9．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，分别 以点 A和 B为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径作弧，两 弧相交于点 M和 N，作直线 MN交 BC于点 D，连接 AD，再以点 A为圆心，以 AD的长为半径作弧交射线 BC于点 E，连接 AE。若 AD＝4，则 BC的长为（ ） A． 2 5 2+ B． 2 5 1+ C． 3 5+ D． 4 5+ 10．在平面直角坐标系中，对于点 P（x1，y1）和点 Q（x2，y2），若满足 x1+x2＝y1+y2，我们称 点 P和点 Q互为等和点。下列结论： ①若点 P坐标为（1，3），则点 P的等和点 Q在直线 y＝x﹣2上； ②若点 P、Q分别在函数 y＝x2﹣x、y＝x+1的图象上，点 P和 Q互为等和点，则点 P的 坐标为（1，0）； ③若点 P坐标为（﹣3，2），则无论 a取何值，直线 y＝ax﹣3a+1上有且只有一个点是点 P的等和点； ④若点 P坐标为（n，0），则二次函数 y＝﹣x2﹣nx+1的图象上总存在点 P的等和点。 其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第 9题图 第8题图 九年级数学试题第 3页 （共 8页） 第14题图 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。） 11．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成。向游戏板随 机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ____________。 12．化简 2 2 2 3 3 4 a a a a a      的结果为____________。 13．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图 1 所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景 色宛如镶嵌于一个画框之中。图 2是八角形窗户的示 意图，它的一个外角∠1的大小为__________。 14．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚。如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧， 他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出 发一段时间后将速度提高到原来的 3倍。设聪聪行走的时间为 x（s），聪聪和慧慧行走的 路程分别为 y1（cm），y2（cm）， y1，y2与 x的函数图象如图所 示，则慧慧追上聪聪时，聪聪 行走的路程是________cm。 15．如图，在□ABCD中，点 P是边 AD上一点，将△PDC 沿直线 PC折叠，点 D的对应点为 E。当点 E恰好落 在 AB边上时，若 AP＝2，PD＝3，DC＝13，则 AE 的长为________。 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16．（7分）计算：   1 0 ° 15 8 2sin30 2 2              。 第 11题图 第 13题图 图 1 图 2 第 15题图 九年级数学试题第 4页 （共 8页） A B C D E F 第 18题图 17．（7分）解不等式组：   1 32 4 2 2 2 1 2 3 x x x x           ，并求所有整数解的和。 18．（7分）如图，在菱形 ABCD中，BE⊥AD于点 E， BF⊥CD于点 F。求证：DE＝DF。 19．（8分）如图 1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图 2是平面示意图。路灯 AB和汽 车折臂升降机的折臂底座 CD都垂直于地面 MN，且它们之间的水平距离 BC＝2 m，折臂 底座高 CD＝1.5 m，上折臂 AE与下折臂 DE的夹角∠AED＝88°，下折臂 DE与折 臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点 E到地面 MN距离是 4.5 m。 （1）求下折臂 DE的长； （2）求路灯 AB的高。 （结果精确到 0.1 m，参考数据：sin43°≈0.68 cos43°≈0.73，tan43°≈0.93， 2 ≈ 1.41） 20.（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径， 过点 C作⊙O的切线交 AB的延长线于点 F，过点 A作 AD⊥CF，交直线 CF于点 D，交⊙O于点 E。 （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若 CD＝2，AD＝4，求线段 AF的长。 第 20题图 图 1 图 2 第 19题图 九年级数学试题第 5页 （共 8页） 21．（9分）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗 5万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员 于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了 50个稻穗进行测量，获得了它们的长度 x（单位： cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析。下面给出了部分信息。 a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表 1所示（不完整）： b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： 甲试验田穗长频数分布表（表 1） 分组/cm 频数 频率 4.5≤x＜5 4 0.08 5≤x＜5.5 n 5.5≤x＜6 14 0.28 6≤x＜6.5 11 0.22 6.5≤x＜7 m 0.20 7≤x＜7.5 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在 6≤x≤6.5这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4 d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表 2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.924 5.8 5.8 0.454 乙 5.924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表 1中 m的值为 ，n的值为 ； （2）表 2中 w的值为 ； （3）在此次考查中，穗长为 5.9cm 的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田 是 ；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 ； （4）若穗长在 5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计乙试验田所有“良好”的水稻约为多 少万个？ 九年级数学试题第 6页 （共 8页） 22．（10分）某文教店老板到批发市场选购 A、B两种品牌的绘图工具套装，每套 A品牌套装 进价比 B品牌每套套装进价多 2.5 元，已知用 200元购进 A种套装的数量和用 150 元购进 B 种套装的数量相同。 （1）求 A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若 A品牌套装每套售价为 12元，B品牌套装每套售价为 10.5元，店老板决定，购进 B 品牌的数量比购进 A品牌的数量的 2倍还多 4套，两种工具套装全部售出后，要使总 的获利超过 120元，则最少购进 A品牌工具套装多少套？ 23．（10分） 如图，一次函数 y＝ 1 2 x+b的图象与反比例函数 ky x  （k＞0）的图象分别交于 点 A（4，m）和点 B（n，-2），且与 x轴交于点 C（1，0）。 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图 1，将直线 y＝ 1 2 x+b向上平移 d（d＞0）个单位，平移后的直线与 ky x  （k＞0） 的图象在第一象限交于点 P，若 S△PCA= 15 4 ，求平移距离 d； （3）如图 2，Q是第二象限内一点，∠QCO=45°，连接 QB，将△QCB绕点 O顺时针旋转 90°，点 Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点 Q的坐标。 图 1 图 2 第 23题图 九年级数学试题第 7页 （共 8页） 24．（12分）抛物线 y＝ax2﹣2x+c（a≠0）交 x轴于 A（-1，0），B两点（B在 A的右侧），交 y 轴于点 C（0， 5 2  ），M是第四象限内抛物线上一动点。 （1）求此抛物线的表达式； （2）如图 1，连接 BC，过动点 M作 MD⊥BC，垂足为点 D，连接 CM。 当 DM = 5 5 4 时， 求 CM的长； （3）如图 2，过动点 M作 BC的平行线交 y轴于点 N，若射线 AC平分线段 MN，求点 M 的坐标。 图 1 图 2 第 24题图 九年级数学试题第 8页 （共 8页） A B C D E P Q 图 4 25．（12分） （一）模型呈现 （1）如图 1，点 A在直线 l上，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点 B作 BC⊥l于点 C，过点 D 作 DE⊥l于点 E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以 推理得到△ABC≌△DAE，进而得到 AC＝______，BC＝_____。我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图 2，在△ABC中，点 D为 AB上一点，DE＝DF＝3，∠A＝∠EDF＝∠B，四边 形 CEDF 的周长为 10，△ABC 的周长为 18。小诚同学发现根据模型可以推理得到 △ADE≌△BFD，进而得到 AE＝BD，AD＝BF，那么 AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就 可得 AB＝___________； （三）模型拓展 （3）如图 3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，直线 MN经过点 C，且 AD⊥MN 于点 D，BE⊥MN于点 E。请猜想线段 DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程； （四）模型应用 （4）如图 4，已知在矩形 ABCD中，AB＝14，BC＝7，点 E在 CD边上，且 DE=4。P是 对角线 AC上一动点，Q是边 AD上一动点，且满足 sin∠EPQ＝ 2 5 5 ，当 P在 AC上运动时， 请求线段 AQ的最大值，并求出此时线段 AP的长度。 图 2 图 3 图 1 第 25题图 l