山东省泰安市2025届高三下学期一轮检测数学试题

高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 高 三 一 轮 检 测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： 题 号 答 案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 C 二、选择题： 题 号 答 案 9 ABD 10 ACD 11 BCD 三、填空题： 12. 4 13. 180 14. 13 四、解答题： 15.（13分） 解：（1）由题意得 2c cosB - b cos A = a cosB 即a cosB + b cos A = 2c cosB∴ sin A cosB + sin B cos A = 2 sin C cosB………………………………………… 2分 ∴ sin ( A + B ) = 2 sin C cosB ∴ sin C = 2 sin C cosB ∴ cosB = 12 ……………………………………………………………………… 4分 ∵ B ∈ (0,π ) ∴ B = π3 ………………………………………………………………………… 6分 （2）由（1）可得 b = 2 393 sin B = 2 39 3 × 3 2 = 13………………………………………… 7分 ∵  BC· AB = - BC· BA = -6 ∴  BC· BA = ac cosB = 12 ac = 6 ∴ ac = 12 ……………………………………………………………………… 8分 又 cosB = a2 + c2 - b22ac = (a + c )2 - 132ac - 2 = 12 ……………………………………………………………………… 9分 2025.03 1 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） ∴ a + c = 7 …………………………………………………………………… 11分 由{a + c = 7ac = 12 得{a = 3c = 4 或 {a = 4c = 3 ……………………………………………………………… 12分 ∵ a > b = 13, ∴a = 4,c = 3 …………………………………………………………………… 13分 16.（15分） （1）证明：取PA中点E，连接BE,NE ∵△PAD中，E,N分别为PA,PD中点 ∴ EN ∥ AD且EN = 12 AD…………………………………………………… 2分 又正方形ABCD中，M为BC中点 ∴ BM ∥ AD,BM = 12 BC = 1 2 AD …………………………………………… 4分 ∴ BM EN ∴四边形BMNE为平行四边形……………………………………………… 5分 ∴ BE ∥ MN ………………………………………………………………… 6分 ∵ MN ⊄平面PAB，BE ⊂平面PAB ∴ MN ∥平面PAB…………………………………………………………… 7分 （2）取AB中点为O,CD中点为F,连接PO,OF ∵△PAB中，PA = PB ∴ PO ⊥ AB ∵平面PAB ⊥平面ABCD，PO ⊂平面PAB， 平面PAB ⋂平面ABCD = AB ∴ PO ⊥平面ABCD 又四边形ABCD为正方形 ∴ OF ⊥ AB 以OB,OF,OP所在直线分别为 x, y, z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系…………………………………………… 9分 ∵ PA = PB = 5 , AB = 2 ∴ A( -1,0,0 ) D ( -1,2,0 ) M (1,1,0 ) N ( - 12 ,1,1 ) ∴  AM = (2,1,0 ) ,  DM = (2, - 1,0 ) ,  MN = ( - 32 ,0,1 ) ∥= 2 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 设平面AMN的法向量为n1 = ( x1 ,y1 ,z1 ) 则 ì í î ï ï n1· AM = 0 n1· MN = 0 即 ì í î ï ï 2x1 + y1 = 0 - 32 x1 + z1 = 0 ，取 x1 = 2，则 y1 = -4, z1 = 3 ∴ n1 = (2, - 4,3 ) …………………………………………………………… 11分 设平面DMN的法向量为n2 = ( x2 ,y2 ,z2 ) 则 ì í î ï ï n2· DM = 0 n2· MN = 0 即 ì í î ï ï 2x2 - y2 = 0 - 32 x2 + z2 = 0 ，取 x2 = 2，则 y2 = 4, z2 = 3 ∴ n2 = (2,4,3 )………………………………………………………………… 13分 设平面AMN与平面DMN的夹角为 θ，则 cos θ = || cos n1,n2 = || n1·n2|| n1 || n2 = 329 ………………………………………… 15分 17.（15分） 解：（1）设前两轮比赛中a得 i分为事件Ci,b得 j分为事件Dj,i,j = 0,1,2 ∴ P (C1 ) = C12 ( 12 )2 = 1 2 ,P (C2 ) = C22 ( 1 2 )2 = 1 4 P (D1 ) = C12 ( 35 )1 ( 2 5 )1 = 12 25 ,P (D2 ) = C22 ( 3 5 )2 = 9 25 ………………………… 2分 由题意A = C1D2 + C2D1, AB = C2D1 ∵各轮比赛，各局比赛结果互不影响，C1D2与C2D1互斥 ∴ P ( A ) = P (C1D2 ) + P (C2D1 ) = P (C1 )P (D2 ) + P (C2 )P (D1 ) = 12 × 9 25 + 1 4 × 12 25 = 3 10…………………………………………… 4分 P ( AB ) = P (C2 )P (D1 ) = 14 × 12 25 = 3 25 ……………………………………… 5分 ∴ P (B | A ) = P ( AB ) P ( A ) = 2 5 …………………………………………………… 6分 （2）由题意，X = 1,2,……,10……………………………………………………… 7分 设第 k轮两队比分为1∶1为事件Ek,k = 1,2,……,9 ∵各局比赛互不影响 ∴ P (Ek ) = 12 × (1 - 3 5 ) + (1 - 1 2 ) × 3 5 = 1 2 ∴ P (-Ek ) = 1 - P (Ek ) = 12 …………………………………………………… 8分 由题意，k = 1时，P (X = 1 ) = P (-E1 ) = 12 3 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） k ≥ 2时，事件“X = k” = E1E2…Ek - 1-Ek，k = 2,3,…,9 ∵各轮比赛互不影响 ∴ P (X = k ) = P (E1 )P (E2 )…P (Ek - 1 )P (-Ek ) = 12 × 1 2 ×…× 1 2 × 1 2 = ( 1 2 )k,k = 2,……,9 ……………………… 9分 ∵ P (X = 10 ) = P (E1 )P (E2 )…P (E9 ) = ( 12 )9 ……………………………………………………… 10分 ∴ E (X ) = 1 × 12 + 2 × ( 1 2 )2 +… + 9 × ( 1 2 )9 + 10 × ( 1 2 )9 ………………… 11分 设S =1 × 12 + 2 × ( 1 2 )2 +… + 9 × ( 1 2 )9 ∴ 12 S = 1 × ( 1 2 )2 + … + 8 × ( 1 2 )9 + 9 × ( 1 2 )10 ∴ S - 12 S = 1 2 + ( 1 2 )2 + … + ( 1 2 )9 - 9 × ( 1 2 )10 ∴ 12 S = 1 - ( 1 2 )9 - 9 × ( 1 2 )10 ∴ S = 2 - 11 × ( 12 )9 ……………………………………………………… 14分 ∴ E (X ) = 2 - ( 12 )9 = 1023 512 （注：2 - ( 1 2 )9或 1023 512 均得分）…………… 15分 18.（17分） 解：（1）由题意知 ì í î ïï ïï a2 = b2 + c2 c a = 22 b = 1 ∴ {a = 2b = 1 ………………………………………………………………… 2分 ∴椭圆方程为 x22 + y2 = 1 …………………………………………………… 3分 （2）（i）设M ( x0 ,y0 )，则 S1 = S△MF1F2 = 12 × || F1F2 × || y0 = 1 2 × 2 × || y0 = || y0 S2 = S△MAB = 12 × || AB × || x0 = 1 2 × 2 × || x0 = || x0 ∵ S1 ≤ S2 ∴ || y0 ≤ || x0 …………………………………………………………………… 5分 ∴ y0 2 ≤ x0 2 又∵ M ( x0,y0 )在椭圆上 ∴ x0 22 + y0 2 = 1 4 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） ∴ x0 2 = 2 - 2y0 2 ∴ y0 2 ≤ 2 - 2y0 2 ，即y0 2 ≤ 23 ………………………………………………… 6分 ∵ || AM 2 = x0 2 + ( y0 - 1 )2 = 2 - 2y0 2 + y0 2 - 2y0 + 1 = -y0 2 - 2y0 + 3， y0 ∈ [ - 63 ,0 ) ⋃ (0, 6 3 ] …………………… 7分 ∴ || AM 2 max = - 23 + 2 6 3 + 3 = 7 + 2 6 3 = ( 6 + 1 )2 3 …………………… 8分 ∴ || AM max = 3 2 + 33 …………………………………………………… 9分 （ii）设∠MAF1 = ∠NAF1 = θ，直线AN的倾斜角为α，直线AM的倾斜角为β ∵ A(0,1 ),F ( -1,0 ) ∴直线AF1的倾斜角为 π4 ∴ α = π4 + θ, β = π 4 - θ ∴ α + β = π2………………………………………………………………… 11分 又kAN = tan α, kAM = tan β = tan ( π2 - α ) ∴ kAN·kAM = 1 ……………………………………………………………… 12分 由题意l的斜率不为0，设直线l的方程为：x = my - 1,m ≠ 1 由 ì í î ï ï x = my - 1 x2 2 + y2 = 1 得(m2 + 2 ) y2 - 2my - 1 = 0 设M ( x1 ,y1 ) N ( x2,y2 )，则 ì í î ï ïï ï ï ïï ï △= 8m2 + 8 > 0 y1 + y2 = 2mm2 + 2 y1 y2 = -1m2 + 2 …………………………………………………………… 14分 又kAN·kAM = 1 ∴ y2 - 1 x2 · y1 - 1 x1 = 1 即( y1 - 1 )( y2 - 1 ) = x1x2 = (my1 - 1 )(my2 - 1 ) 整理得(m2 - 1 ) y1 y2 = (m - 1 )( y1 + y2 ) …………………………………… 15分 ∴ -(m + 1 ) m2 + 2 = 2m m2 + 2 ∴ m = - 13 …………………………………………………………………… 16分 ∴ l的方程为3x + y + 3 = 0………………………………………………… 17分 5 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 19.（17分） 解：由题意 f ( x )的定义域为 (0, + ∞ ) （1）当a = 1时，f ( x ) = ln e2x - ln x + x = 3x - ln x ∴ f '( x ) = 3 - 1 x ……………………………………………………………… 2分 ∴ f '(1 ) = 2 又∵ f (1 ) = 3 ∴ f ( x )在 (1, f (1 ) )处的切线方程为 y - 3 = 2( x - 1 )，即2x - y + 1 = 0…… 3分 （2）∵ f ( x ) = ln e2x - ln x + ax = (a + 2 ) x - ln x ∴ f '( x ) = a + 2 - 1 x = (a + 2 ) x - 1 x ……………………………………… 4分 当a + 2 ≤ 0，即a ≤ -2时，f '( x ) < 0 f ( x )在 (0, + ∞ )上单调递减 ………………………………………………… 5分 当a + 2 > 0，即a > -2时 在 (0, 12 + a )上 f '( x ) < 0，在 ( 1 2 + a , + ∞ )上 f '( x ) > 0 ∴ f ( x )在 (0, 12 + a )上单调递减，在 ( 1 2 + a , + ∞ )上单调递增 …………… 6分 综上，a ≤ -2时，f ( x )在 (0, + ∞ )上单调递减 a > -2时，f ( x )在 (0, 12 + a )上单调递减，在 ( 1 2 + a , + ∞ )上单调递增 ………………………………………………………………………… 7分 （3）方程 ex - 1 + af ( x ) x = (a + 1 )2有两个不同实根，等价于方程 xex - 1 - alnx - x = 0有两个不同实根………………………………………… 8分 设g ( x ) = xex - 1 - alnx - x = (ex - 1 - 1 ) x - alnx，则 g'( x ) = ( x + 1 )ex - 1 - a x - 1 且g'(1 ) = 1 - a………………………………… 9分 当a ≤ 0时，x ∈ (0,1 )时，g ( x ) < 0，x ∈ (1, + ∞ )时，g ( x ) > 0， 此时函数g ( x )只有一个零点 x = 1，方程只有一个根，不符合题意 ……… 10分 a > 0时，g '( x ) = ( x + 1 )ex - 1 - 1 - a x 在 (0, + ∞ )上单调递增 当0 < a < 1时, g'(1 ) = 1 - a > 0，g'(a ) = (a + 1 )ea - 1 - 2 < a - 1 < 0 ∴存在 x1 ∈ (0,1 )使g'( x1 ) = 0 ∴在 (0,x1 )上g'( x ) < 0,在 ( x1, + ∞ )上g'( x1 ) > 0 ∴ g ( x )在 (0, x1 )上单调递减，在 ( x1, + ∞ )上单调递增 …………………… 11分 ∴ g ( x ) min = g ( x1 ) < g (1 ) = 0 6 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 又g (a ) = a (ea - 1 - ln a - 1 ) 设h ( x ) = ex - 1 - ln x - 1( x > 0 )，则h′( x ) = ex - 1 - 1 x 当0 < x < 1时，h′( x ) < 1 - 1 x < 0，h ( x )单调递减 又h (1 ) = 0,0 < a < 1 ∴ g (a ) > 0 又g (1 ) = 0 ∴ g ( x )在 (0,x1 )上和 ( x1 , + ∞ )上各有一个零点，符合题意 ……………… 13分 当a = 1时，g'(1 ) = 0 ∴在 (0,1 )上g'( x ) < 0，在（1，+∞）上g'( x ) > 0 ∴ g ( x )在 (0,1 )上单调递增，在 (1, + ∞ )上单调递增 ∴ g ( x ) min = g (1 ) = 0 ∴ g ( x )只有x = 1一个零点,不符合题意 ………………………………… 14分 当a > 1时，g'(1 ) = 1 - a < 0 g'(a ) = (a + 1 )ea - 1 - 2 > a + 1 - 2 > 0 ∴存在x2 ∈ (1,a )使得g'( x2 ) = 0 …………………………………………… 15分 ∴在 (0,x2 )上g'( x ) < 0，g ( x )单调递减，在 ( x2 , + ∞ )上g'( x ) > 0，g ( x )单调递增 ∴ g ( x ) min = g ( x2 ) < g (1 ) = 0 g (a ) = a (ea - 1 - 1 - lna ) 又∵当x > 1时，h'( x ) = ex - 1 - 1 x > 1 - 1 x > 0，h ( x )单调递增 又h (1 ) = 0, a > 1 ∴ g (a ) > 0 ∴ g ( x )在 ( x2 ,a )上存在一个零点 又g (1 ) = 0 ∴ a > 1时g ( x )有两个零点，符合题意 …………………………………… 16分 综上，方程 ex - 1 + af ( x ) x = (a + 1 )2有两个不同实根时，a > 1或0 < a < 1… 17分 7 高三数学试题 第 页 （共4页） 试卷类型:A 高 三 一 轮 检 测 数 学 试 题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若全集U = { 0,1,2,3,4,5 }，A = {1,2,3 },B = {1,5 }，则（∁U A）⋂B= A. { 5 } B. { 2,5 } C. { 0,5 } D. { 2,3,4 } 2.已知 i为虚数单位，若 (1 - i ) (2 + ai )是纯虚数，则实数a = A. -4 B. -2 C. 1 D. 2 3.已知a,b为空间中两条直线，α为平面，a ⊄ α,b ⊂ α，则a ⊥ b是a ⊥ α的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 4.已知向量 || a = || b = 1, || c = 32 ,且a + b - 2c = 0，则 cos a,c = A. -12 B. - 3 2 C. 1 2 D. 3 2 5.若 ( 1 x - 2x )n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 A. -240 B. -60 C. 60 D. 240 6.已知 tan (α - π4 ) = 3,则 cos 2α = A. - 15 B. - 3 5 C. - 2 5 D. 4 5 2025.03 1 高三数学试题 第 页 （共4页） 7.若2 a2 + log5a = 16b + 2 log257b，则 A. a < b8 B. a > b8 C. a > 8b D. a < 8b 8. 已知直线 l:mx + ny + t = 0(m2 + n2 ≠ 0 )与圆 C:x2 + ( y + 3 )2 = 8交于 A,B两点，若m,n,t 成等差数列，则∠ACB的最小值为 A. π3 B. π 2 C. 2π 3 D. 5π 6 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项正确的是 A.若随机变量X~B (6, 23 )，则D (X ) = 4 3 B. 若根据分类变量 X与 Y的成对样本数据，计算得到 χ 2 = 4.974，则依据 α = 0.05 （P ( χ 2 ≥ 3.841）=0.05）的独立性检验，认为变量X与 Y不独立，该推断犯错误的概率 不超过0.05 C.若随机变量X~N (1,σ2 ),且P (X < 0 ) = 0.2,则P (1 < X < 2 ) = 0.2 D.数据3，1，1，2，2，9，3，3，11，12的第75百分位数是9 10.瑞士数学家欧拉在解决柯尼斯堡七桥问题时提出了欧拉回路的定义，即：在一个图中，经 过图中每一条边且每条边仅经过一次，并最终回到起始顶点的闭合路径 .通俗的讲，在图 中任选一个点作为起点，笔尖不离开图形可以完全不重复的走完图形所有边回到起点 . 下列图形存在欧拉回路的是 A. B. C. D. 11.已知无穷数列 { an} , { bn}，若对∀n ∈ N，都有 || an - bn ≤ 1，则称 { an}与 { bn}“伴随”，则下 列选项正确的是 A.若an = ( 23 )n - 2,bn = cos (n + 1 )π，则{ an}与 { bn}“伴随” B.若an = 1n (n + 1 ),{ an}的前n项和为Sn，则{ an}与 { Sn}“伴随” C.若{ an}的前5项为2，3，5，8，13，{ bn}与 { an}“伴随”,设集合P = { x | x = bi, i = 1,2,3,4,5 }， 则P中元素个数为4或5 D.若{ an}是公差为d的等差数列，且{ an}所有的“伴随”数列{ bn}都是递增数列，则d > 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线 y2 = 8x上与焦点的距离等于6的点的横坐标为 . 13.从5名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共 有 种安排方法（用数字作答）. * 2 高三数学试题 第 页 （共4页） 14. 已 知 函 数 f ( x ) = 2 sin (ωx + π3 )cosωx - 3 2 (ω > 0 )的 最 小 正 周 期 为 π，f ( x )在 （- π6 , π 3）上的图象与直线 y = a交于点 A,B,与直线 y = 6 a交于点 C,D，且 || AB = 2 || CD ，则a = . 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，2c cosB + b cos (π - A ) = a cosB. （1）求B； （2）若a > b, b = 2 393 sin B，   BC· AB = -6，求a,c. 16.（15分） 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，M,N分别为BC,PD中点 . （1）求证：MN ∥平面PAB； （2）若PA = PB = 5，平面PAB⊥平面ABCD，求平面AMN与平面DMN夹角的余弦值 . 17.（15分） 为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人 组成 .比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则 得 0分 .设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响 .已知甲队机器人 a,b每局 比赛获胜的概率分别为 1 2 , 3 5 . （1）设前两轮比赛中甲队得 3分为事件 A，前两轮比赛中机器人 a得 2分为事件 B,求 P (B | A )； （2）受机器人电池蓄航能力影响，本次比赛最多进行 10轮，规定当一队得分比另一队 得分多2分时比赛结束 .设比赛结束时共进行了X轮，求X的数学期望 . 3 高三数学试题 第 页 （共4页） 18.（17分） 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0 )的离心率为 22 ，F1 ,F2分别为椭圆E的左，右焦点， A,B分别为椭圆E的上，下顶点，且 || AB = 2. （1）求椭圆E的方程； （2）已知过F1的直线 l与椭圆E交于M,N两点，且直线 l不过椭圆四个顶点 . （i）设△MF1F2,△MAB的面积分别为S1 ,S2，若S1 ≤ S2，求 || AM 的最大值； （ii）若M在x轴上方, AF1为∠MAN的角平分线，求直线 l的方程 . 19.（17分） 已知函数 f ( x ) = ln e2x x + ax,a ∈ R. （1）当a = 1时，求函数 f ( x )在 (1, f (1 ) )处的切线方程； （2）讨论函数 f ( x )的单调性； （3）若方程 ex - 1 + af ( x ) x = (a + 1 )2有两个不同的实数根，求实数a的取值范围 . 4