第六单元 正比例和反比例（知识清单）-2024-2025学年六年级数学下学期期中复习讲练测（苏教版）

第六单元 正比例和反比例（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、正比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，则正比例关系可以表示为=k（一定）。 2、正比例关系的判断方法。 （1）首先判断这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。比值一定，这两种量成正比例；反之，不成正比例。 3、正比例图像。 （1）表示成正比例的两种量中相对应的各点在同一条直线上，即正比例的图像是一条经过原点的直线。 （2）从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。 （3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。 4、反比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k（一定）。 5、反比例关系的判断方法。 （1）看这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。 02 重点提炼 1、认识成正比例的量，初步理解正比例的意义。 2、发现两种相关联的量的变化规律。 3、能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例关系。 4、初步认识正比例的图像是一条直线。 5、能利用给出的成正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线。 6、能根据正比例的图像上的一个点估计它的一个量或两个量的数值。 03 易错集锦 易错点：比例关系的判断。 误区点拨： （1）判断两个量是否成比例及成什么比例关系容易发生错误。 （2）首先要判断两个量是不是相关联的量，也就是一个量的变化是否会引起另一个量发生变化，其次看这两个量的乘积是否一定，如果一定就是成反比例关系；如果这两个量的比值一定，就成正比例关系。如果是和一定、差一定，都不成比例。 04 巩固拔高 一、填空题 1．一座大楼共20层，每层一样高，甲上楼的速度比乙快一倍，当乙到达第9层时，甲在第（ ）层。 2．下面题的三种量中，当其中一种量一定时，另外两种量成什么比例？ 比例尺、图上距离、实际距离。 （1）当比例尺一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。 （2）当实际距离一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。 3．如表，如果m与n成正比例，那么“？”是（ ）；如果m与n成反比例，那么“？”是（ ）。 m 6 ？ n 10 6 4．科技小组制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米，实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 （1）在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成（ ）比例。 （2）当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是（ ）千克。 5．甲、乙两人比赛120米的滑雪，乙让甲先滑10秒钟，他们两人滑的路程和时间的关系如下图： （1）在滑雪过程中，（ ）滑行的路程与时间成正比例关系。 （2）甲滑完全程比乙多用了（ ）秒钟。 （3）甲前15秒，平均每秒滑行（ ）米；后50秒，平均每秒滑行（ ）米；滑完全程的平均速度是每秒（ ）米。（除不尽的，结果用分数表示） 6．根据下表中的施药量，如果在16公顷的棉花地喷洒这种除草剂，需除草剂（ ）毫升；若有720毫升的除草剂，可以喷洒（ ）公顷的玉米地。 施药方法 用清水将本剂稀释后，均匀喷洒于杂草叶面上。 农作物 施药量（毫升∶公顷） 棉花 40∶1 水稻 55∶1 玉米 60∶1 二、选择题 7．下列说法正确的是（    ）。 ①被除数一定，商和除数成反比例； ②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系； ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系； ④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8．下面的几句话中，正确的有（    ）句。 ①一个平行四边形和一个三角形的底和面积分别相等，如果平行四边形的高是1.6分米，那三角形的高是0.8分米。 ②能同时被2、3、5整除的最小三位数是120。 ③6个人合吃一个西瓜，每人吃这个西瓜的。 ④正方形的面积与边长成正比例。 ⑤用一根10cm长的小棒和两根5cm长的小棒可以围一个等腰三角形。 ⑥要把病人一昼夜的体温变化情况用统计图表示出来，选用折线统计图比较合适。 A．1 B．2 C．3 D．4 9．张老师和王老师同时从学校出发去图书馆。张老师步行，王老师骑自行车，王老师骑车的平均速度比张老师步行的平均速度快。下面（    ）种描述符合这一事实。 A．如果张老师步行平均每分走60米，那么王老师骑车平均每分行120米 B． C．从学校到图书馆，如果张老师用10分钟，那么王老师只要用5分钟 D． 10．10枚硬币摞在一起高1.9厘米，照这样推算，一百万枚1元硬币摞在一起大约有多高（    ）。 A．190米 B．1900米 C．19千米 D．190千米 11．已知a、b均不为零，则下面的等式中，（    ）中的a和b成反比例。 A． B． C． D． 三、判断题 12．绳子的长度一定，剪去的绳子和剩下的绳子成正比例。（ ） 13．运120吨货物，每次运的吨数和运的次数成反比例。（ ） 14．A∶10＝B（B不为0），A与B成反比例。（ ） 15．积（0除外）一定，一个因数与另一个因数成反比例关系。（ ） 四、解答题 16．自来水公司修建自来水管道，用8米长的新管更换原来5米长的旧管。现在有240根新管，可更换旧管多少根？ 17．佳航在操场上竖直固定了几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如表： 竹竿长米 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 影长米 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 这时，佳航身边的强强测量出了旗杆的影长是6米，旗杆的实际高度是多少米？ 18．下图中比例尺是1∶200000，算出图中标出的点的实际距离。 19．一台织布机织布的时间和织布的米数如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 织布的米数/米 15 30 45 60 75 90 105 120 135 … （1）上表中的两种量的变化有什么规律？ （2）上表中两种量成什么比例关系？ （3）如果织布总米数一定，那么时间和每小时织布的数量成什么比例关系？ 20．如图是一辆汽车早上8：00从A地出发的时间和路程的情况，你认为这辆汽车行驶的路程和时间成（    ）比例，理由是（          ）。汽车保持同样的速度行驶，11：30到达目的地，根据图目的地应该是哪里，为什么？ 21．如图，甲、乙两车运货的吨数与次数的关系如图。 （1）甲车的运货量与运货次数成什么比例关系？乙车呢？ （2）甲、乙两车各运货6次，运货量相差多少吨？ 22．工程队每天铺设管道24米，照这样的效率，2天、3天、4天……能铺设管道多少米？ （1）把下表填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 … 长度/米 24 … （2）根据表中数据，先在图中描出铺设管道的时间和长度相对应的点，再把它们依次连起来。 （3）铺设管道的时间和长度成什么比例？为什么？ （4）根据图像判断，8天能铺设多少米管道？铺设100米管道大约需要多少天？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六单元 正比例和反比例（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、正比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，则正比例关系可以表示为=k（一定）。 2、正比例关系的判断方法。 （1）首先判断这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。比值一定，这两种量成正比例；反之，不成正比例。 3、正比例图像。 （1）表示成正比例的两种量中相对应的各点在同一条直线上，即正比例的图像是一条经过原点的直线。 （2）从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。 （3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。 4、反比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k（一定）。 5、反比例关系的判断方法。 （1）看这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。 02 重点提炼 1、认识成正比例的量，初步理解正比例的意义。 2、发现两种相关联的量的变化规律。 3、能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例关系。 4、初步认识正比例的图像是一条直线。 5、能利用给出的成正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线。 6、能根据正比例的图像上的一个点估计它的一个量或两个量的数值。 03 易错集锦 易错点：比例关系的判断。 误区点拨： （1）判断两个量是否成比例及成什么比例关系容易发生错误。 （2）首先要判断两个量是不是相关联的量，也就是一个量的变化是否会引起另一个量发生变化，其次看这两个量的乘积是否一定，如果一定就是成反比例关系；如果这两个量的比值一定，就成正比例关系。如果是和一定、差一定，都不成比例。 04 巩固拔高 一、填空题 1．一座大楼共20层，每层一样高，甲上楼的速度比乙快一倍，当乙到达第9层时，甲在第（ ）层。 【答案】17 【分析】“甲上楼的速度比乙快一倍”也就是说“甲上楼的速度是乙的倍”，则甲的路程是乙的2倍，当乙到达第9层时，说明爬了（层），则甲应爬了（层），则到了（层），据此解答。 【解答】 （层） 一座大楼共20层，每层一样高，甲上楼的速度比乙快一倍，当乙到达第9层是，甲在第17层。 【点评】所到楼层＝所爬楼层＋1，时间相同时，速度与路程成正比例，即甲的速度是乙的2倍，则甲的路程是乙的2倍。 2．下面题的三种量中，当其中一种量一定时，另外两种量成什么比例？ 比例尺、图上距离、实际距离。 （1）当比例尺一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。 （2）当实际距离一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。 【答案】（1）图上距离 实际距离 正 （2）图上距离 比例尺 正 【分析】（1）根据正比例的意义，图上距离与实际距离的比值等于比例尺，且比例尺是一定的，因此它们成正比例关系‌。 （2）根据正比例的意义，‌图上距离与比例尺的比值等于实际距离，且实际距离是一定的，因此图上距离和比例尺成正比例‌。 【解答】（1）当比例尺一定时，图上距离和实际距离成正比例‌； （2）‌当实际距离一定时，图上距离和比例尺成正比例‌。 3．如表，如果m与n成正比例，那么“？”是（ ）；如果m与n成反比例，那么“？”是（ ）。 m 6 ？ n 10 6 【答案】3.6 10 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分别写出正比例和反比例算式，计算即可。 【解答】6÷10＝？÷6 解：？÷6＝0.6 ？÷6×6＝0.6×6 ？＝3.6 6×10＝？×6 解：？×6＝60 ？×6÷6＝60÷6 ？＝10 如果m与n成正比例，那么“？”是3.6；如果m与n成反比例，那么“？”是10。 4．科技小组制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米，实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 （1）在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成（ ）比例。 （2）当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是（ ）千克。 【答案】（1）正 （2）9.6 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。 （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧的长度乘弹簧每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量。 【解答】（1）2÷1＝2（千克/厘米） 4÷2＝2（千克/厘米） 6÷3＝2（千克/厘米） …… 10÷5＝2（千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例。 （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧的长度是： 12.8－8＝4.8（厘米） 所挂物体的质量是： 4.8×2＝9.6（千克） 当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克。 【点评】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握。 5．甲、乙两人比赛120米的滑雪，乙让甲先滑10秒钟，他们两人滑的路程和时间的关系如下图： （1）在滑雪过程中，（ ）滑行的路程与时间成正比例关系。 （2）甲滑完全程比乙多用了（ ）秒钟。 （3）甲前15秒，平均每秒滑行（ ）米；后50秒，平均每秒滑行（ ）米；滑完全程的平均速度是每秒（ ）米。（除不尽的，结果用分数表示） 【答案】（1）乙 （2）15 （3） 1.6 【分析】（1）路程与时间成正比例关系，那么在统计图中就是一条直线，图中虚线是一条直线，实线不是一条直线，虚线表示乙滑的路程与时间的关系，所以乙滑行的路程与时间成正比例关系； （2）甲先滑行了10秒钟，甲比乙又晚到终点5秒，这样甲滑完全程比乙多用了15秒钟； （3）用前15秒钟的路程40米除以时间15秒就是前15秒的速度；同理后50秒滑行了（120－40）米，用这个路程除以时间50秒就是后50米的速度；用总路程120米除以总时间65秒就是滑完全程的速度。 【解答】（1）在滑雪过程中，乙滑行的路程与时间成正比例关系。 （2）10＋5＝15（秒） （3）40÷15＝（米） （120－40）÷50 ＝80÷50 ＝1.6（米） 120÷65＝（米） 【点评】本题主要考查学生对正反比例的辨识，可以结合图像来判断，同时也运用了速度、时间、路程的数量关系。 6．根据下表中的施药量，如果在16公顷的棉花地喷洒这种除草剂，需除草剂（ ）毫升；若有720毫升的除草剂，可以喷洒（ ）公顷的玉米地。 施药方法 用清水将本剂稀释后，均匀喷洒于杂草叶面上。 农作物 施药量（毫升∶公顷） 棉花 40∶1 水稻 55∶1 玉米 60∶1 【答案】640 12 【分析】根据题意可知：除草剂÷种植农作物的面积＝施药量（一定），即：除草剂和种植农作物的面积的比值一定，成正比例关系，据此列比例解答。 【解答】解：设在16公顷的棉花地喷洒这种除草剂，需除草剂x毫升。 x∶16＝40∶1 x＝16×40 x＝640 设若有720毫升的除草剂，可以喷洒y公顷的玉米地。 720∶y＝60∶1 60y＝720 y＝12 【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。 二、选择题 7．下列说法正确的是（    ）。 ①被除数一定，商和除数成反比例； ②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系； ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系； ④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【解答】①商×除数＝被除数（一定），所以商和除数成反比例；原题说法正确； ②一个人的年龄和体重既不成比例关系，说法正确； ③圆柱的底面积＝圆柱的体积÷圆柱的高，所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系，原题说法错误； ④因为速度＝路程÷时间，所以飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例，说法正确。 所以说法正确的有①②④。 故答案为：B 8．下面的几句话中，正确的有（    ）句。 ①一个平行四边形和一个三角形的底和面积分别相等，如果平行四边形的高是1.6分米，那三角形的高是0.8分米。 ②能同时被2、3、5整除的最小三位数是120。 ③6个人合吃一个西瓜，每人吃这个西瓜的。 ④正方形的面积与边长成正比例。 ⑤用一根10cm长的小棒和两根5cm长的小棒可以围一个等腰三角形。 ⑥要把病人一昼夜的体温变化情况用统计图表示出来，选用折线统计图比较合适。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①从“一个平行四边形和一个三角形的底和面积分别相等”可得：设底是1分米，根据平行四边形的面积＝底×高，用1.6×1＝1.6平方分米即求出平行四边形的面积，也就是求出了三角形的面积，再根据三角形的高＝面积×2÷底，用1.6×2÷1＝3.2分米求出三角形的高，即可判断求解。 ②根据2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。这三位数的个位一定是0，百位最小一定是1，数字和是3的倍数最小一定是3，因此十位数字是3－1＝2。据此解答。 ③根据分数的意义，6个人合吃一个西瓜，将这个西瓜平均分成6份，平均每人吃这个西瓜的。 ④根据相关联的两种量，如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。正方形的面积÷边长＝边长，边长是变化的量，因此正方形的面积与边长的商是不一定的。据此判断即可。 ⑤三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。据此判断即可。 ⑥折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。据此判断即可。 【解答】①设平行四边形和三角形的底是1分米。 三角形的面积：1.6×1＝1.6（平方分米） 三角形的高：1.6×2÷1＝3.2（分米），该说法错误。 ②能同时被2、3、5整除的最小三位数是120。该说法正确。 ③6个人合吃一个西瓜，平均每人吃这个西瓜的。该说法错误。 ④因为正方形的面积÷边长＝边长（不一定）。正方形的面积与边长的商不一定，所以不成正比例。该说法错误。 ⑤因为5＋5＝10，所以用一根10cm长的小棒和两根5cm长的小棒不能围一个等腰三角形。该说法错误。 ⑥要把病人一昼夜的体温变化情况用统计图表示出来，选用折线统计图比较合适。该说法正确。 综上，正确的有②⑥，一共2句。 故答案为：B 9．张老师和王老师同时从学校出发去图书馆。张老师步行，王老师骑自行车，王老师骑车的平均速度比张老师步行的平均速度快。下面（    ）种描述符合这一事实。 A．如果张老师步行平均每分走60米，那么王老师骑车平均每分行120米 B． C．从学校到图书馆，如果张老师用10分钟，那么王老师只要用5分钟 D． 【答案】D 【分析】张老师步行，王老师骑自行车，王老师骑车的平均速度比张老师步行的平均速度快，也就是王老师骑车的平均速度是张老师步行速度的3倍。因为路程一定，所以速度和时间成反比例，如果王老师骑自行车从学校出发去图书馆用10分钟，那么张老师步行到图书馆用30分钟。据此解答。 【解答】A．张老师步行平均每分走60米，根据王老师骑车的平均速度比张老师步行的平均速度快，则王老师的平均速度为： 60×（1＋200%） ＝60×300% ＝600×0.3 ＝180（米） 原题说法错误； B．图片显示张老师速度为3个格，王老师速度为6个格，王老师速度比张老师速度快 （6－3）÷3×100% ＝3÷3×100% ＝1×100% ＝100% 图片显示为王老师速度比张老师快100%，不符合题意； C．王老师骑车的平均速度比张老师步行的平均速度快，即王老师的速度是张老师平均速度的300%，路程一定，所以速度和时间成反比例，如果王老师骑自行车从学校出发去图书馆用10分钟，那么张老师步行到图书馆用30分钟；原题说法错误； D． 图片信息显示两个老师所行路程一致时，张老师花费时间是王老师花费时间的3倍，根据王老师的速度是张老师平均速度的300%，速度和时间成反比例，原题说法正确； 故答案为：D 10．10枚硬币摞在一起高1.9厘米，照这样推算，一百万枚1元硬币摞在一起大约有多高（    ）。 A．190米 B．1900米 C．19千米 D．190千米 【答案】B 【分析】根据题意可知，硬币的总高度÷硬币的数量＝每枚硬币的高度（一定），据此可知硬币的总高度和硬币的数量成正比例，列比例为x∶1000000＝1.9∶10，然后解比例即可，最后把单位换算。 【解答】解：设一百万枚1元硬币摞在一起大约有x厘米高。 x∶1000000＝1.9∶10 10x＝1000000×1.9 10x＝1900000 x＝1900000÷10 x＝190000 190000厘米＝1900米＝1.9千米 一百万枚1元硬币摞在一起大约1900米高。 故答案为：B 【点评】本题可用比例解决问题，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 11．已知a、b均不为零，则下面的等式中，（    ）中的a和b成反比例。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】A．a＋b＝12（一定），和一定，a和b不成比例； B．3÷a＝b，则ab＝3（一定），a和b成反比例； C．a＝0.25b，则a÷b＝0.25（一定），a和b成正比例； D．5a＝4b，则a∶b＝4∶5，即a∶b＝（一定），a和b成正比例。 已知a、b均不为零，则下面的等式中，3÷a＝b中的a和b成反比例。 故答案为：B 【点评】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 三、判断题 12．绳子的长度一定，剪去的绳子和剩下的绳子成正比例。（ ） 【答案】× 【分析】绳子的长度一定时，剪去的绳子和剩下的绳子不成正比例。‌这是因为剪去的绳子长度和剩下的绳子长度之和是固定的，即绳子的总长度一定。这种关系不符合正比例的定义（即两种量的比值一定）。据此判断即可。 【解答】绳子的长度一定，剪去的绳子和剩下的绳子不成正比例。所以原题说法错误。 故答案为：× 13．运120吨货物，每次运的吨数和运的次数成反比例。（ ） 【答案】√ 【分析】根据反比例公式，xy＝k（一定），x和y成反比例，进行辨识。 【解答】每次运的吨数×运的次数＝120吨（一定），所以每次运的吨数和运的次数成反比例。 故答案为：√ 【点评】本题考查了反比例的辨识，积一定是反比例关系。 14．A∶10＝B（B不为0），A与B成反比例。（ ） 【答案】× 【分析】由A∶10＝B，可得出＝10，符合正比例关系式：＝k（一定），由此即可判断。 【解答】由A∶10＝B，得出A∶B＝10，所以A与B成正比例。 故答案为：× 【点评】此题主要考查正比例与反比例的意义。 15．积（0除外）一定，一个因数与另一个因数成反比例关系。（ ） 【答案】√ 【分析】两个相关联的量如果比值一定，则成正比例关系；如果乘积一定，则成反比例关系。据此解答。 【解答】一个因数×另一个因数＝积（一定），即乘积一定。所以积（0除外）一定，一个因数与另一个因数成反比例关系。说法正确。 故答案为：√ 【点评】此题考查了正反比例的辨别，主要看两个相关联的量比值一定还是乘积一定，再做判断。 四、解答题 16．自来水公司修建自来水管道，用8米长的新管更换原来5米长的旧管。现在有240根新管，可更换旧管多少根？ 【答案】384根 【分析】根据题意可知，自来水管道的全长不变，即每根管道的长度×根数＝自来水管道的全长（一定），乘积一定，那么每根管道的长度与根数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】解：设可更换旧管根。 5＝8×240 5＝1920 ＝1920÷5 ＝384 答：可更换旧管384根。 17．佳航在操场上竖直固定了几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如表： 竹竿长米 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 影长米 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 这时，佳航身边的强强测量出了旗杆的影长是6米，旗杆的实际高度是多少米？ 【答案】12米 【分析】由于1÷0.5＝2，1.4÷0.7＝2，1.6÷0.8＝2，由此即可知道同一时刻物高与影长成正比，可以设旗杆的实际高度是x米，当竹竿长是1米，影长0.5米时，即旗杆的高度∶旗杆的影长＝1∶0.5，据此列出方程，求出未知数的值即可。 【解答】解：设旗杆的实际高度是米， 0.5x＝6÷0.5 答：旗杆的实际高度是12米。 【点评】找出等量关系，是解答此题的关键。 18．下图中比例尺是1∶200000，算出图中标出的点的实际距离。 【答案】A：4000米，B：8000米，C：14000米 【分析】横轴表示实际距离，竖轴表示图上距离，算出各个点的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，解答此题即可。 【解答】A点图上距离为2格，因此是2÷＝400000（厘米）＝4000米 B点图上距离为4格，因此是4÷＝800000（厘米）＝8000米 C点图上距离为7格，因此是7÷＝1400000（厘米）＝14000米 答：A点实际距离为4000米，B点实际距离为8000米，C点实际距离为14000米。 【点评】本题主要考查了比例尺的知识应用。 19．一台织布机织布的时间和织布的米数如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 织布的米数/米 15 30 45 60 75 90 105 120 135 … （1）上表中的两种量的变化有什么规律？ （2）上表中两种量成什么比例关系？ （3）如果织布总米数一定，那么时间和每小时织布的数量成什么比例关系？ 【答案】（1）织布米数随时间的增长而增长 （2）正比例 （3）反比例 【分析】（1）根据时间和织布的米数之间的关系，确定出两种量的变化规律； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 （3）根据正、反比例的辨识，如果织布总米数一定，每小时织布的数量×时间＝织布总米数（一定），判断时间和每小时织布的数量成什么比例，据此解答。 【解答】（1）织布米数＝每小时织布米数×时间 1×15＝30（米）；2×15＝30（米）；3×15＝45（米）……9×15＝135（米）；织布的米数随着时间的增长而增长。 答：织布的米数随时间的增长而增长。 （2）1÷15＝2÷30＝3÷45＝4÷60＝5÷75＝6÷90＝7÷105＝8÷120＝9÷135＝（一定），织布时间和织布米数成正比例。 答：织布时间和织布米数两种量成正比例。 （3）每小时织布米数×时间＝织布总米数（一定），时间和每小时织布米数成反比例。 答：如果织布总米数一定，那么时间和每小时织布的数量成反比例。 【点评】熟练掌握正比例意义和辨识，反比例意义和辨识是解答本题的关键。 20．如图是一辆汽车早上8：00从A地出发的时间和路程的情况，你认为这辆汽车行驶的路程和时间成（    ）比例，理由是（          ）。汽车保持同样的速度行驶，11：30到达目的地，根据图目的地应该是哪里，为什么？ 【答案】正；路程÷时间＝速度（一定）；丙城（原因见详解） 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；根据路程，速度，时间的关系，算出当11：30分的时候走了多少千米，再根据比例尺，求出图上距离是多少即可解答。 【解答】由图可知，这辆汽车行驶的路程和时间成正比例，当汽车行驶1小时的时候，走了60千米，汽车2个小时走了120千米，即＝由此即可知道路程和时间的比值＝60（一定），即路程÷时间＝速度（一定）。 汽车保持同样的速度行驶，11：30到达目的地，根据图目的地应该是丙城，当11：30分的时候，汽车行驶3.5小时，3.5×60＝210（千米），由线段比例尺可知，1厘米表示30千米，210÷30＝7（厘米），丙城到A城的距离最远，图上距离大约就是7厘米； 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 21．如图，甲、乙两车运货的吨数与次数的关系如图。 （1）甲车的运货量与运货次数成什么比例关系？乙车呢？ （2）甲、乙两车各运货6次，运货量相差多少吨？ 【答案】（1）正比例；正比例 （2）12吨 【分析】成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （1）根据图中数据，算一算甲、乙中两种变量之间的比值是否一定即可。 （2）先求出1次甲比乙多运多少，再求出6次甲比乙多运多少即可。 【解答】（1）甲：＝＝＝＝6（一定），是比值一定，所以甲车的运货量与运货次数成正比例关系； 乙：＝＝＝＝4（一定），是比值一定，所以乙车的运货量与运货次数成正比例关系。 答：甲车的运货量与运货次数成正比例关系，乙车的运货量与运货次数成正比例关系。 （2）18÷3－12÷3 ＝6－4 ＝2（吨） 2×6＝12（吨） 答：甲、乙两车各运货6次，运货量相差12吨。 【点评】此题考查成正比例量，判定两个变化的量是不是成正比例关系，关键是看两个量的比值是否为定值。 22．工程队每天铺设管道24米，照这样的效率，2天、3天、4天……能铺设管道多少米？ （1）把下表填写完整。 时间/天 1 2 3 4 5 6 … 长度/米 24 … （2）根据表中数据，先在图中描出铺设管道的时间和长度相对应的点，再把它们依次连起来。 （3）铺设管道的时间和长度成什么比例？为什么？ （4）根据图像判断，8天能铺设多少米管道？铺设100米管道大约需要多少天？ 【答案】（1）48；72；96；120；144 （2）见详解 （3）正比例；铺设长度÷对应天数＝每天铺设长度（一定） （4）192米；4天 【分析】（1）根据每天铺设长度×铺设天数＝相应天数铺设长度，列式计算并填表即可； （2）根据各数量的多少，在方格图的纵、横的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可； （3）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （4）观察图像，找到横轴8天对应的长度和竖轴100米对应的大约天数即可。 【解答】（1）24×2＝48（米） 24×3＝72（米） 24×4＝96（米） 24×5＝120（米） 24×6＝144（米） 时间/天 1 2 3 4 5 6 … 长度/米 24 48 72 96 120 144 … （2） （3）24÷1＝24（米）、48÷2＝24（天）、72÷3＝24（天）…… 答：铺设管道的时间和长度成正比例，因为铺设长度÷对应天数＝每天铺设长度（一定）。 （4）根据图像判断，8天能铺设192米管道，铺设100米管道大约需要4天。 学科网（北京）股份有限公司 $$