8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 复习回顾 基本事实① 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 基本事实② 若一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 基本事实③ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 推论① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 三个基本事实+三个推论 确定平面 判断点、直线、平面的位置关系 确定平面 文字语言 图形语言 符号语言 复习回顾 在 上 在 外 在 内 在 外 我们已经学习了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，那还有其他位置关系吗？ 新知讲解—空间中两直线的位置关系 A B C D 思考1：长方体12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察所示的长方体，以棱所在直线为研究对象，你能说说其他棱所在直线与棱所在直线有哪些位置关系吗？ 相交直线 平行直线 异面直线 ——在同一平面内，有且只有一个公共点； ——在同一平面内，没有公共点； 既不平行，也不相交 共面直线 ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 新知讲解—空间中两直线的位置关系 文字语言 图形语言 符号语言 与平行 与异面 思考：长方体所有棱长中相互异面的有几对？ 24 判断异面直线比较快速的方法：两条之间中的一条与另一条的平行线相交. 概念辨析—空间中两直线的位置关系 P131-1.(1)若两条直线与没有公共点，那么与( ) A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线 P131-1.(2)设直线与分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则与( ) A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交，也可能是异面直线 判断异面直线比较快速的方法：两条之间中的一条与另一条的平行线相交. 典例分析—直线与直线位置关系的判断 例1.(多选)如图，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ） A.直线与是相交直线 B.直线与是异面直线 C.与平行 D.直线与共面 根据异面直线的定义可以判断直线AM与CC1、直线BN与MB1、直线AM与BN都是异面直线，因此选项A，C不正确，选项B正确. 因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C， 典例分析—直线与直线位置关系的判断 例1.(多选)如图，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ） A.直线与是相交直线 B.直线与是异面直线 C.与平行 D.直线与共面 由正方体的性质可知A1D1∥BC，A1D1＝BC， 所以四边形A1D1CB是平行四边形， 因此D1C∥A1B，所以MN∥A1B， 因此M，N，A1，B四点共面， 所以直线A1M与BN共面，因此选项D正确. 学以致用—直线与直线位置关系的判断 训练1.(多选)若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系可能是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.重合 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线， 则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，DD′，CC′， 故a和c可以平行、相交或异面. 学以致用—直线与直线位置关系的判断 训练1.(多选)若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系可能是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.重合 【变式1】若和是相交直线，和是相交直线，则和的 位置关系可能是_________. 【变式2】若和是平行直线，和是平行直线，则和的 位置关系可能是_________. 思考：线线平行，线线相交，线线异面是否都有传递性？ 相交或平行或异面 平行 学以致用—直线与直线位置关系的判断 1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍 （1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线； （2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 2.判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：不同在任一平面内 （2）替补方法：证明既不平行，也不相交； （2）图象法： 新知讲解—空间中直线与平面的位置关系 A B C D 思考2：在该长方体，仍旧以棱所在直线为研究对象，长方体的6个面与棱所在直线有哪些位置关系吗？ 直线在平面内 直线与平面相交 直线在平面外 ——有无数个公共点； ——有且只有一个公共点； 直线与平面平行 ——没有公共点. 新知讲解—空间中直线与平面的位置关系 文字语言 图形语言 符号语言 与平行 在内 新知讲解—空间中直线与平面的位置关系 教材P131练习3，4习题8.4的2,3(3). 新知讲解—空间中直线与平面的位置关系 教材P131练习3，4习题8.4的2,3(3) 典例分析—空间中直线与平面的位置关系 例 2.(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ ） A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内 （2）下列命题中正确的个数是（ ） ①如果是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线和平面满足，，那么. A.0 B.1 C.2 D.3 学以致用—空间中直线与平面的位置关系 训练2.（1）(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（ ） A.若a∥b，b⊂α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b C.若a∥b，b∥α，则a∥α D.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面 可借助正方体来判断. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A错误； A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD， 但A1B1与B1C1相交，故B错误； AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C错误； 因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点， 所以a∥b或a与b异面. 学以致用—空间中直线与平面的位置关系 （2）若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（　　） A.∥ B.与相交 C.⊂ D.以上三种情况都有可能 【变式1】若a∥b，且a∥α，b与α的位置关系可能是________. 【变式2】若a∥α，且b∥α，a与b的位置关系可能是________. 线线平行，面面平行具有传递性.线面不具有传递性. ∥或⊂ 平行或异面或相交 文字语言 图形语言 符号语言 思考3：在该长方体，以平面为研究对象，长方体的各个面与平面有哪些位置关系呢？ 两个平面相交 ——有一条公共直线. 两个平面平行 ——没有公共点; A B C D 相交于 与 平行 新知讲解—空间中平面与平面的位置关系 新知讲解—空间中平面与平面的位置关系 教材P132习题8.4的4 下列命题中正确的个数是（ ） ①如果是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线和平面满足，，，那么. A.0 B.1 C.2 D.3 典例分析 例3.（多选）以下四个命题中，正确的有（ ） A.在平面内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B.在平面内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C.平面内的三个顶点在平面β的同一侧且到平面的距离相等且不为，那么这两个平面平行 D.平面内有无数个点到平面的距离相等且不为，那么这两个平面平行或相交 学以致用 1.互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定 　　　　　⁠个平面.  解析：当四条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个平面. 答案：6 2.一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成 　　　　　⁠部分.  解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分. 答案：21 课堂小结 $$