2025年中考数学专题复习课件 ---解圆十七招

中考专题攻略之 -—解圆十七招 教学背景分析 (一)教材分析 在学生学过长方形、正方形等由线段围成的平面图形后,圆是新接触的由曲线围成的平面图形。它是前面知识的延伸,也是后续学习圆的周长和面积的重要预备知识,在教材中处于关键位置。 (二)学情分析 学生已对圆有初步感性认识,但对于圆的特征理解较抽象,需多种感官参与活动归纳得出。学生易混淆圆内、圆上概念,画圆技能也需掌握。同时,若“解圆十七招”是独特解题方法,学生可能较陌生,需逐步引导掌握。 1.能清晰认识圆的各部分名称,如圆心、半径、直径等,深入理解在同圆或等圆中直径与半径的关系。 2.熟练掌握多种画圆方法,尤其能精准运用圆规画圆。 3.全面理解并灵活运用“解圆十七招”解决与圆相关的数学问题。 新课标要求: (一)教学重点 深入探索圆的各部分名称、特征和关系,真切体会圆的各点均匀性(到定点的距离等于定长)。熟练掌握用圆规画圆的方法。系统理解并掌握“解圆十七招”的具体内容和应用场景。 (二)教学难点 通过实际动手操作深刻体会圆的特征及各点均匀性。 精准把握圆心与圆的位置关系,以及半径与直径、半径与圆的大小之间的关系。 灵活运用“解圆十七招”解决复杂的圆相关问题。 教学重难点 圆 与圆有关的概念 与圆有关的位置关系 正多边形与圆 弧长与扇形面积 第 一 部 分 与 圆 有 关 的 概 念 垂径定理 直径所对的圆周角 弦、弧与圆心角的关系 圆周角定理 关键词 直径 半径 弦心距 优弧 劣弧 等弧 圆心角 等圆 圆周角 圆 圆心 半圆 弦 O A B C D M 一、垂径定理 定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 知二推三 如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径. O A B E 解: 答:⊙O的半径为5cm. 展示练习 方法总结 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h,这四个量中,只要已知其中任意两个量,就可以求出另外两个量,如图有: ⑴d + h = r ⑵ A B C P 如图,AB是⊙O的任意一条弦,OC⊥AB,垂足为P,若 CP=7cm,AB=28cm ,你能帮老师求出这面镜子的半径吗? O 7 14 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径 展示练习 弓形的弦长为6cm,弓形的高为2cm,则这弓形所在的圆的半径为 . 展示练习 半径、弦心距、弦长的一半构建直角三角形中: 1、知二求一,勾股定理直接求; 2、知一求一,勾股定理列方程。 第一招 O A B D A1 B1 D1 圆心角、弧、弦、 弦心距的关系 ⑴ AB = A1B1 ⑵ ∠AOB = A1OB1 ⑷OD =OD1 二、四组量定理 教师提示注意前提条件:在同圆或等圆中。 如图,AB是⊙O 的直径, ∠COD=35 ,求∠AOE 的度数. A O B C D E ∵ 解: 展示练习 弦等 弧等 角等 弦心距等 第二招 在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。 三、圆周角定理 如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角? D 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C ∠1=∠4 ∠2=∠7 ∠3=∠6 ∠5=∠8 解: 展示练习 1、如图,在⊙O中,∠ABC=50 ,则∠AOC等于( ) A、50 ; B、80 ; C、90 ; D、100 A C B O D 2、如图, ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于( ) A、30 ; B、60 ; C、90 ; D、45 C A B P B 展示练习 求圆周角 找圆心角 第三招 C A B O 直径所对的圆周角是直角,直角圆周角所对的弦是直径。 四、直径所对的圆周角是直角 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 又在Rt ABD中,AD2+BD2=AB2, 解:∵AB是直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB=90 . 在Rt ABC中, ∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD. 展示练习 看直径,连圆周角 看直角,找直径 第四招 五、圆内接四边形对角互补 小技巧:圆内接四边形任何一个外角都等于它的内对角。 定理: 圆的内接四边形的对角互补。 如图,四边形ABDC为⊙O的内 接四边形,已知∠BOC为100 , 求∠BAC及∠BDC的度数。 解:∠BAC=50 , ∠BDC=130 展示练习 第五招 四边形,找对角 练一练:求下列各图中的角 A C O . E B D 80 A D C O B 40 . =100 =160 =25 =138 圆周角 弧 圆心角 圆周角 弧 圆心角 圆的内接四边形外角等于内对角 圆周角 弧 圆周角 直径所对的圆周角为直角 圆心角 弧 圆周角 圆的内接四边形对角互补 E B A C D O . 25 =42 C D . O B A E 42 由弧到角,由角看弧 展示练习 方法总结 1、平行线性质 2、多边形内角和 3、多边形外角 4、余角、补角 5、全等三角形 6、与圆有关的角 7、相似、旋转 第 二 部 分 与 圆 有 关 的 位 置 关 系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线 圆 的 切 线 切线长 关键词 相离 相交 相切 同心圆 切线 .p .o r .o .p .o .p Op<r 点p在⊙o内 Op=r 点p在⊙o上 Op>r 点p在⊙o外 六、点与圆的位置关系 例1、⊙O的半径10cm,A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm,则点A、B、C与⊙O的位置关系是:点A在 ;点B在 ;点C在 。 例2、⊙O的半径6cm,当OP=6时,点A在 ;当OP 时点P在圆内;当OP 时,点P不在圆外。 圆内 圆上 圆外 圆上 <6 ≤6 展示练习 第六招 点与圆,两点距离比半径 1、直线和圆相交 d r; d r; 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离 d r. O O 相交 O 相切 相离 r r r d d d < = > 七、直线与圆的位置关系 在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么? B C A 4 3 D (1)r=2cm; (2)r=2.4cm (3) r=3cm. 展示练习 解:过C作CD⊥AB,垂足为D 在 ABC中, AB= 5 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。 B C A 4 3 D (2)当r=2.4cm时, 有d=r, 因此⊙C和AB相切。 (3)当r=3cm时, 有d<r, 因此,⊙C和AB相交。 第七招 2、过圆心,作垂线 比较半径与垂线段 1、交点个数判定 1、 已知圆心O到直线a的距离为5,圆的半径为 r,当r=_时,圆O与a相切.当r_时圆O上有两点到直线a的距离等于3. 2、已知:⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离,则_ 2)若AB和⊙O相切,则_ 3)若AB和⊙O相交,则_ 展示练习 判定定理:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. C D O A 几何语言: 如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线. 八、切线的判定与性质 证一:连接OD ∵OD=OB,AB=AC则∠B= ∠ C= ∠ BDO,∴OD∥AC, 又∵ DE⊥AC, ∴OD ⊥DE,所以DE为⊙O的切线 证法二:连接OD、AD ∵AB为直径,∴∠BDA=90 又∵AB=AC,∴点D为BC的中点∴ ∠ 1= ∠ 3, 而∠ 2= ∠ 3, DE⊥AC ∴ ∠ 1+ ∠ 4=90 ∴ ∠ 2+ ∠ 4=90 ∴ DE为⊙O的切线 已知:如图,在 ABC中, AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.求证DE为⊙O的切线。 O D E B A C . 分析:证明切线常用两种方法;一为d=r;另一为切线的判定定理。该题已知DE与圆有公共点,故用第二种证法 1 3 2 4 展示练习 2、知半径,作垂直,证半径 1、知切点,连半径,证垂直 第八招 展示练习 如图,A,B是⊙O的两点,AC是⊙O的切线,∠B=65 则∠BAC=( ) A、35 B、25 C、50 D、65 B 交点个数 名称 0 外离 1 外切 2 相交 1 内切 0 内含 同心圆是内含的特殊情况 d , R , r 的关系 d R r d > R + r d = R + r R-r< d < R+ r d = R - r d < R - r 九、圆与圆的位置关系 判断正误: 1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切. ( ) 2、如果两圆没有交点,则这两圆的位置关系是外离.( ) 3、当O1O2=0时,两圆位置关系是同心圆.( ) √ 举例 圆心距对比半径差、半径和 第九招 1.若半径为7和9的两圆相切,则这两圆的圆心距长一定为( ) A.16 B.2 C.2或16 D.以上均不对 2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( ) A.d<6 B. 4< d <6 C.4≤d≤6 D.1<d<5 3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 C B C 试试身手 第 三 部 分 圆 与 三 角 形 切线长定理 外接圆 内切圆 关键词 外接 内接 等弧 圆心角 内切 切线长 内心 外心 怎样要将一个如图所示的破镜重圆? 十、三点确定一个圆 外接圆作法要记牢 第九招 3.以I为圆心,ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。 作三角形内切圆的方法: A B C 1、作∠B、∠C的平分线BM和CN,交点为I。 I 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D。 D M N 十、三角形的内切圆 内切圆作法要记牢 第十招 A B C O D E F A B C O O D E F 直角三角形的内切圆半径与三边关系. 三角形的内切圆半径与圆面积. A B C O A B C I 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 实质 性质 三角形的外心 三角形的内心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三内角角平分线的交点 到三角形各边的距离相等 到三角形各顶点的距离相等 十一、三角形的内心、外心 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C O A B C C A B O O 三角形的外心是否一定在三角形的内部? 115 100 问题一:当点O为 ABC的外心时, ∠BOC=_ 问题二:当点O为 ABC的内心时, ∠BOC=_ 4.已知,如图,锐角三角形ABC中,点O为形内一定点. ∠A=50 O . A B C 当点O为外心时,则∠ A与∠ BOC为圆周角与圆心角的关系。如图。所以 ∠ BOC=100 若点O为内心,则应用公式 ∠ BOC= 90+ 0.5∠ A,可得 ∠ BOC=115 展示练习 外心 内心 角平分线 垂直平分线 圆心角与圆心角 三角形内角和 第十一招 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. A B P O 1 2 ∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB , ∠1=∠2 十二、切线长定理 O B A D P E C 如图,从⊙O外一点引圆的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,若PA=8㎝,C为AB上的一个动点(不与A、B两点重合),过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E,则 PDF的周长为 _ 分析: 根据切线长定理可知,PA=PB,而DE切⊙O于C,所以又有DA=DC,EC=EB,从而 PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB 解:∵PA、PB、DE 为的切线,切点为A、B、C,则PA=PB;DA=DC;EC=EB。 ∴ PDE的周长=PA+PB=16 ㎝ 16 ㎝ 展示练习 勾股定理计算 数量代换 两切线长相等 第十二招 第 四 部 分 弧 长 与 扇 形 面 积 圆锥展开图 弧长 扇形面积 扇形面积的计算公式为 S= 或 S= r 弧长的计算公式为: = 2 r = 十三、弧长和扇形面积 1、已知扇形的圆心角为120 ,半径为6,则这个扇形的弧长是_. 2、已知扇形的弧长是4 ,圆心角是60 ,那么它的面积是 . 4 24 展示练习 弧长、扇形公式直接代或解方程 第十三招 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是6m,其中水面高3m。求截面上有水部分的面积? 弓形的面积 = S扇- S 十四、阴影部分的面积 变式:如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积。(精确到0.01cm)。 0 A B D C E 弓形的面积 = S扇+ S 展示练习 如图:AB是半圆的直径,AB=2, C、D是半圆的三等分点,求阴影部分的面积。 弓形面积是代表 第十四招 阴影面积切、割、拼 O P A B r h l 圆锥中:S侧= 圆锥的侧面积和全面积 十五、圆锥侧面展开图 圆锥的母线与底面直径都等于8cm,则圆锥的侧面积是 。 S侧= rl S全= rl+ r2 举例 注重侧面积 第十五招 对应展开图 圆锥母线对应扇形半径 圆锥底面圆周长对应扇形弧长 如图,已知⊙O的弦 AB所对的圆心角等于140o,则弦AB所对的圆周角的度数为_. 70o或110o C C’ 错解: 70 错因:忽视了弦所对的圆周角有两类。. 正解:当圆周角在优弧上时,圆周角为140 的一半70 ;当圆周角在劣弧上时,则与70 互补,为110 。 十六、分类讨论问题 已知AB、CD是⊙O的两条平行弦,⊙O的半径是5cm,AB=8cm,CD=6cm。求AB、CD的距离. B A O D C F E O D C B A F E 答案:7cm或1cm 展示练习 圆周角隔心相望 第十六招 平行弦或挨或隔 已知:P是⊙O内的一点,PO=3,⊙O的半径等于5求过点P的最短弦的长度. 过点P的最长弦是直径,最短弦是垂直于过点P的直径的弦. P O D B A 十七、最短路径问题 已知如图(1),圆锥的母线长为4,底面圆半径为1,若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C,求小虫爬行的最短距离. (1) (2) 本题是将圆锥侧面展开,得一扇形,先求一圆心角。得解。 2 1= ,n=90 SA=4,SC=2 ∴AC=2 .即小虫爬行的最短距离为2 . 解:侧面展开图如图(2) 展示练习 直径最长弦最短 第十七招 路径问题摊开算 基本图形(重要结论) 关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。 O P A B 辅助线一 在遇到与直径有关的问题时,应考虑作出直径或直径所对的圆周角。这也是圆中的另一 种辅助线添法。 辅助线二 C A B . O 当遇到已知切线和切点时,要注意连接圆心和切点,以便得到直角去帮助解题。 辅助线三 O A . (一)过程性评价 观察学生在课堂上的参与度、小组合作表现、发言情况等,及时给予肯定和鼓励,对存在的问题进行及时指导。 (二)结果性评价 通过课堂练习、作业完成情况以及单元测试等,评估学生对圆的知识和“解圆十七招”的掌握程度,了解教学效果,为后续教学提供参考。 教学评价 $$