10.2事件的相互独立性-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

10.2事件的 相互独立性 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.(重点) 3.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.(重点) 学习目标 前面我们学习了事件的相互独立性，事件A与事件B相互独立是如何定义的呢？两事件独立，与它们的对立事件又有什么关系呢？积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系又会是怎样的呢？我们今天一起来探索吧！ 导 语 目 录 1 2 3 4 相互独立事件的判断 相互独立事件的概率 相互独立事件概率的应用 CONTENTS 书读百遍 其义自现 相互独立事件的判断 1 提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}. 由古典概型概率计算公式，得 P(A)=P(B)=，P(AB)=. 于是P(AB)=P(A)P(B). 结论：积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 思考1 对任意两个事件A与B，如果P(AB)= 成立，则称事件A与事件B相互独立. P(A)P(B) 知识梳理 题型一　相互独立事件的判断 探究1 √ 相互独立事件的概率 2 提示　相互独立. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？ 思考2 1.如果事件A与事件B相互独立，那么A与 ， 与B，与也都相互独立. 知识梳理 2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率，再求积. 3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的. 15 题型二　相互独立事件的概率 探究2 相互独立事件概率的应用 3 题型三　相互独立事件概率的应用 探究3 书读百遍 其义自现 4 P(A)P(B) 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ √ 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1 把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否相互独立. (1)A＝“掷出偶数点”，B＝“掷出奇数点”； 【解析】　(1)∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝0，∴A与B不相互独立． (2)A＝“掷出偶数点”，B＝“掷出3点”； 【解析】　(2)∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,6)，P(AB)＝0， ∴A与B不相互独立． (3)A＝“掷出偶数点”，B＝“掷出3的倍数点”； 【解析】　(3)∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B相互独立． (4)A＝“掷出偶数点”，B＝“掷出的点数小于4”． 【解析】　(4)∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1,6)，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不相互独立． 如何判定两事件相互独立： (1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A，B相互独立，即如果A，B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，那么可得出事件A，B为相互独立事件． (2)有些事件根本没有必要通过概率的计算就能判定其独立性，如连续掷5次同一枚硬币等等，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出相互独立与否． 思考题1　袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　) A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 【解析】　方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥． 方法二：记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，可以一一列举全体样本点，用古典概型概率计算公式易得P(A)＝eq \f(3,5)，P(B)＝eq \f(3,5)，P(C)＝eq \f(2,5).而事件AB表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以P(AB)＝eq \f(9,25)＝eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立；同理，事件AC表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”,P(AC)＝eq \f(6,25)＝eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立．故选A. 例2　某田径队有甲、乙、丙三名短跑运动员，根据平时训练情况统计三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行分析，求： (1)三人都合格的概率； 【解析】　记甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3). 设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)． (1)三人都合格的概率为P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10). (2)三人都不合格的概率； 【解析】　(2)三人都不合格的概率为 P0＝P(eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－)) eq \o(C,\s\up14(－)))＝P(eq \o(A,\s\up14(－)))P(eq \o(B,\s\up14(－)))P(eq \o(C,\s\up14(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,10). (3)出现几人合格的概率最大． 【解析】　(3)恰有两人合格的概率为P2＝P(ABeq \o(C,\s\up14(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up14(－))C)＋P(eq \o(A,\s\up14(－))BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60). 恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq \f(1,10)－eq \f(23,60)－eq \f(1,10)＝eq \f(25,60)＝eq \f(5,12). 综上可知，恰有一人合格的概率最大． 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： A，B中至少有一个发生的事件为A＋B； A，B都发生的事件为AB； A，B都不发生的事件为eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－))； A，B中恰有一个发生的事件为Aeq \o(B,\s\up14(－))＋eq \o(A,\s\up14(－))B； A，B中至多有一个发生的事件为Aeq \o(B,\s\up14(－))＋eq \o(A,\s\up14(－))B＋eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－)). 它们之间的概率关系如下表所示： 概率记法 A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P(eq \o(A,\s\up14(－)))P(eq \o(B,\s\up14(－))) P(AB) 0 P(A)P(B) P(eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－))) 1－(P(A)＋P(B)) P(eq \o(A,\s\up14(－)))P(eq \o(B,\s\up14(－))) P(Aeq \o(B,\s\up14(－))＋eq \o(A,\s\up14(－))B) P(A)＋P(B) P(A)P(eq \o(B,\s\up14(－)))＋P(eq \o(A,\s\up14(－)))P(B) P(Aeq \o(B,\s\up14(－))＋eq \o(A,\s\up14(－))B＋eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－))) 1 1－P(A)P(B) 思考题2　已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是eq \f(1,2)，事件B发生的概率是eq \f(2,3)，事件C发生的概率是eq \f(3,4)，求下列事件的概率： (1)事件A，B，C只发生两个； 【解析】　(1)记事件A，B，C只发生两个为事件A1，则事件A1包括ABeq \o(C,\s\up14(－))，Aeq \o(B,\s\up14(－))C，eq \o(A,\s\up14(－))BC三种彼此互斥的情况． 由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(ABeq \o(C,\s\up14(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up14(－))C)＋P(eq \o(A,\s\up14(－))BC)＝eq \f(1,12)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)，所以事件A，B，C只发生两个的概率为eq \f(11,24). (2)事件A，B，C至多发生两个． 【解析】　(2)记事件A，B，C至多发生两个为事件A2，则事件A2包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为事件A3，事件A，B，C只发生一个，记为事件A4，事件A，B，C只发生两个，即事件A1，P(A3)＝P(eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－)) eq \o(C,\s\up14(－)))＝P(eq \o(A,\s\up14(－)))P(eq \o(B,\s\up14(－)))P(eq \o(C,\s\up14(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq \f(1,24)， P(A4)＝P(Aeq \o(B,\s\up14(－)) eq \o(C,\s\up14(－))＋eq \o(A,\s\up14(－))Beq \o(C,\s\up14(－))＋eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－))C)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A1)＝eq \f(1,24)＋eq \f(1,4)＋eq \f(11,24)＝eq \f(3,4).所以事件A，B，C至多发生两个的概率为eq \f(3,4). 例3　用A，B，C，D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B，C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，各元件之间工作相互独立． (1)求元件A不正常工作的概率； 【解析】　记元件A，B，C，D正常工作分别为事件A1，B1，C1，D1. (1)元件A正常工作的概率为P(A1)＝eq \f(2,3)，则不正常工作的概率为P(eq \o(A,\s\up14(－))1)＝1－P(A1)＝eq \f(1,3). (2)求元件A，B，C都正常工作的概率； 【解析】　(2)∵各元件之间工作是相互独立的， ∴元件A，B，C都正常工作的概率为P(A1B1C1)＝P(A1)P(B1)P(C1)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,8). (3)求系统N正常工作的概率． 【解析】　(3)系统N正常工作可分为：A，B，C都正常工作；A，D正常工作但B，C不都正常工作两种情况，前者概率为eq \f(3,8)，后者的概率为P(A1eq \o(B,\s\up14(－))1C1D1)＋P(A1B1eq \o(C,\s\up14(－))1D1)＋P(A1eq \o(B,\s\up14(－))1eq \o(C,\s\up14(－))1D1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)×eq \f(4,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)×eq \f(4,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(7,30). 所以系统N正常工作的概率是eq \f(3,8)＋eq \f(7,30)＝eq \f(73,120). 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式． (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 思考题3　某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； 【解析】　甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4). (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都为0元的概率为P1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)；都为2元的概率为P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)； 都为4元的概率为P3＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16). 所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(5,16). (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 【解析】　(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为0元，4元；2元，2元；4元，0元． 所以可得P(ξ＝4)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,16)，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为eq \f(5,16). 要点1　相互独立事件的概率 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 要点2　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up14(－))，eq \o(A,\s\up14(－))与B，eq \o(A,\s\up14(－))与eq \o(B,\s\up14(－))也都相互独立． 要点3　判定相互独立事件的方法 (1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A，B独立． (2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立． 要点4　公式拓展 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．即P(A1A2A3…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． 1．怎样理解相互独立事件的定义？ 答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B相互独立． 2．怎样推导相互独立事件的性质？ 答：如果A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up14(－))，eq \o(A,\s\up14(－))与B，eq \o(A,\s\up14(－))与eq \o(B,\s\up14(－))也都相互独立． 证明：∵事件A与B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)． ∵P(Aeq \o(B,\s\up14(－)))＋P(AB)＝P(A)，P(B)＋P(eq \o(B,\s\up14(－)))＝1， ∴P(Aeq \o(B,\s\up14(－)))＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)·P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)·P(eq \o(B,\s\up14(－)))． ∴A与eq \o(B,\s\up14(－))相互独立． 同理P(eq \o(A,\s\up14(－)) B)＝P(eq \o(A,\s\up14(－)))·P(B)，P(eq \o(A,\s\up14(－)) eq \o(B,\s\up14(－)))＝P(eq \o(A,\s\up14(－)))P(eq \o(B,\s\up14(－)))． 3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概念． 1．【多选题】下列各对事件中，M，N是相互独立事件的是(　　) A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”，事件N＝“第2次摸到白球” C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D．一枚均匀的硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面” 解析　在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)，P(MN)＝eq \f(1,4)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件．故选CD. 2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序加工出来产品的次品率为a，第二道工序加工出来产品的次品率为b，则一件产品经过2道工序加工后的正品率为(　　) A．1－a－b　　　　　 B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b) 解析　设A表示“第一道工序加工出来的产品为正品”，B表示“第二道工序加工出来的产品为正品”，由题意知事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)． 3.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　) A．0.504 B．0.994 C．0.996 D．0.964 解析　由题意知，所求概率为1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝1－0.004＝0.996. 4．从甲袋中摸出1个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出1个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋中各摸出1个球，则eq \f(2,3)可能是(　　) A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 解析　记4个选项中的事件分别为A，B，C，D， 则P(A)＝1－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)， P(C)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,3)， P(D)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选C. 5.如图，电路有a，b，c三个开关，每个开关是否闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________． eq \f(1,8) 解析　设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件ACeq \o(B,\s\up14(－))，且A，eq \o(B,\s\up14(－))，C相互独立，P(A)＝P(eq \o(B,\s\up14(－)))＝P(C)＝eq \f(1,2). 所以P(Aeq \o(B,\s\up14(－))C)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up14(－)))P(C)＝eq \f(1,8). $$