25届高考数学二轮复习重点专题突破·洛必达法则（全国通用）

NO /1 高考二轮复习专题 洛必达法则 目 录 CONTENTS 1 知识梳理·温故知新 2 典例分析·能力提升 知识梳理·温故知新 1.若函数fx)和g(x)满足下列条件 lim lim (1)-fx)=0及-agx)=0. (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)都可导且g'(x)≠0. lim f'(x) (3) I-a g'(x) =A(A为实数或者±∞)： lim f (x) lim f'(x) 那么xa →a g (x) g'(x) =A. 2.若函数fx)和gx)满足下列条件 lim lim (1)“f(c)=∞及-agx)=∞. (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)都可导且g'(x)≠0. limf'(x) (3) I-+a g'(x) =A(A为实数或者±). lim f (x) lim f'(x) 那么xa g (x) g'(x) =A. 注意：①将公式中的x→a换成x→十∞，x→一∞，x→a,x→a,洛必达 十 法则也成立. ②洛必达法则可处理，0,0：”，，m。0四一0型未定式的极 00 限 ③在着手求极限以前。首先要检查是否满足，。，0”，广，一”0 一∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错 2 典例分析·能力提升 典例一 助力求参数 例 若不等式sinx>x一a2对于x∈0. 恒成立，求a的取值范围， 【解折】当：Q及时，原不等式等价于a>“ 记f)=x 则'= 3sinx-x cosx-2x ig(x)=3sinx-x cosx-2x, 则g'(c)=2cosx+x sinx一2， 记hx)=2cosx十c sinx-2,则h'x)=-2sinx十sinx十x cosx=x cosx- 记tx)=x cosx一sinx, 则t'x)=一c sinx<0, 所以台在0， 上单调递减 则h'x)<h'(0)=0, 所以g在0， 上单调递减 则g'(x)<g'(0)=0, 因此g在0.2） 上单调递减， 则g)<g0)=0故‘6W=8 x4 <0. 因此f-在0.2 上单调递减， 由洛必达法则有四f似)=四 lim lim x-sinx lim sinx lim 3 1i四1-c9sx=i四 x*0 3x2 6x COSx =1 6 6 即当x一0时，f),即有f<6, 故当u时，不等式sinx>x-ar对于x∈0， 恒成立