25届高考数学二轮复习重点专题突破·函数的极值点偏移问题（全国通用）

##7 高考二轮复习专题 函数的极值点偏移问题 目录 CONTENTS 知识梳理·温故知新 典例分析·能力提升 真题演练·高分突破 知识梳理·温故知新 目标解读 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数图 象不具有对称性,极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中,这 类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大,解决极值点偏 移问题,有对称化构造函数法和比值代换法,二者各有千秋,独具特色 1.极值点偏移的概念 已知函数v一fx)是连续函数, 在区间(a,b)内只有一个极值点xo,f(x)= fx2),且xo在x与x2之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同, x1十x2 使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有xo子 这种情况称为 2 极值点偏移 2.极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数fx)存在两个零点x,x2且x.x,求证:x×+x>2xo(xo为函数f(x)的 极值点); (2)函数/(x)中存在x1 x2且x关x2,满足/f(x)三f(x),求证:x十x>2xo(xo头 函数(x)的极值点) x1十x2 (3)函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,命xo= 求证:f (xo)>0: x1十x2 (4)函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),命xo= 求证: (ro)>0. 3.对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x+x>2xo型,构造函数F(x)-/f(x)一/(2xo-x) 2 (2)对结论xix2>x型,方法一是构造丽数F(x)-f(x)-f 通过研究F(x) 的单调性获得不等式:方法二是两边取对数。转化成lnx1十lnx2>2lnxo 再把lnx1,lnx2看成两变量即可 4.比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换一化为 单变量的函数不等式,利用函数单调性证明 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化头 x2 单变量的函数不等式,利用函数单调性证明 2 典例分析·能力提升 典例一 对称构造法 例1 (2024吉林长春期中)#知函数(x)-1#(×+1#.a>0. (1)若f(x)的极小值为一4.求a的值: 【解析】 (1)'(x)=xe-^x,当xE(-oo,0)时,f'()<o$ 当xE(0,十oo)时,f'(x)>0 所以f(x)在(一o,0)上单调递减,在(0. +)上单调递增 当x=0时,f(tx)取得极小值/(0)=-2 - #=-4,解得-=或#a=-2(舍去). 的值为。 故a