第06讲 二次函数与几何压轴（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第06讲 二次函数与几何压轴测试卷 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 2．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最小值3 D．最大值3 3．在平面直角坐标系中，将抛物线（c为常数）向右平移2个单位长度得到抛物线C2，若点A（m+3，y1）、B（m﹣1，y2）都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．0＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．1＜m＜2 D．﹣3＜m＜﹣2 4．如图，点A（a，b）是抛物线yx2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　） A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAE C．∠ACB﹣∠ANM∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13 6．二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（　　） A．3＜AD≤9 B．3≤AD≤9 C．4＜AD≤10 D．3≤AD≤8 7．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 8．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　） A． B． C．﹣2 D． 9．如图，直线y与y轴交于点A，与直线y交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1 10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 　 ． 12．抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k＝　 　 ． 13．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　 　 ． 14．将抛物线的图象位于直线y＝﹣2以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象有四个交点，则m的取值范围是 　 　 ． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　 　 （点C'不与点A重合）． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+1经过点（﹣2，2）． （1）求该抛物线的解析式． （2）将抛物线y＝ax2+1绕原点O旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线的解析式． 17．（7分）已知抛物线过点（4，0），顶点为Q．抛物线． （1）求a的值和点Q的坐标． （2）求证：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 18．（7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b，c的值； （2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，2），试确定平移的方向和平移的距离． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象经过点C． （1）求抛物线的表达式； （2）沿x轴水平平移该抛物线，设平移后抛物线的对称轴恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，求平移后抛物线的表达式． 20．（9分）如图，点P（7，a）在抛物线上C：y＝4﹣（6﹣x）2，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣3）2．直接写出点P′平移的方向和距离． 21．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x＝2，与y轴交点为点C（0，﹣5），点D为抛物线上任意一点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，当点D为抛物线的顶点时，求△BCD的面积； （3）如图3，当点D在直线BC下方的抛物线上时，连接OD交BC于点E，求的最大值． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AC交于点A（4，0），C（0，﹣4）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与y轴交于点F，原抛物线上有一点P（2，﹣4），点M为平移后点P的对应点，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标． 23．（14分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段OA上有一动点D（m，0），点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线AB于点C，交抛物线于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点C是DE的中点时，求m的值； （3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段EF的长最大，最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数与几何压轴测试卷 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1． 故选：B． 2．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最小值3 D．最大值3 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），可得1＝4a+8+1，从而可得二次函数为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，进而可得该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数为y＝2（x﹣1）2﹣3，最后可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1）， ∴1＝4a+8+1． ∴a＝﹣2． ∴二次函数为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3． ∴该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数为y＝2（x﹣1）2﹣3． ∴新二次函数有最小值为﹣3． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线（c为常数）向右平移2个单位长度得到抛物线C2，若点A（m+3，y1）、B（m﹣1，y2）都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．0＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．1＜m＜2 D．﹣3＜m＜﹣2 【分析】依据题意，根据平移规律得出，再根据点A（m+3，y1）、B（m﹣1，y2）都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，确定点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，而且由y1＜y2确定点A（m+3，y1）到对称轴的距离小于点B（m﹣1，y2）到对称轴的距离，求解即可． 【解答】解：∵抛物线C1为y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1， ∴将抛物线C1向右平移2个单位长度得到抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴其对称轴为直线x＝1． ∵都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，y1＜y2， ∵m+3＞m﹣1，点A（m+3，y1）、B（m﹣1，y2）位于抛物线C2的对称轴两侧， ∴． ∴﹣2＜m＜2， 又∵y1＜y2， ∴m+3﹣1＜1﹣（m﹣1）， ∴m＜0． 综上所述：﹣2＜m＜0， 故选：B． 4．如图，点A（a，b）是抛物线yx2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．△AOB的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确． 【解答】解：过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC＝b，OC＝﹣a，OD＝c，BD＝d； （1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有： ，即， ∴ac＝﹣bd， 故②正确． （2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有： ba2…Ⅰ、dc2…Ⅱ； Ⅰ×Ⅱ，得：bda2c2，即﹣aca2c2，ac＝﹣4． 故①正确． （3）S△AOB＝S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD （b+d）（c﹣a）（﹣a）bcd bcad（bc•）（bc） 由此可看出，△AOB的面积不为定值， 故③错误． （4）设直线AB的解析式为：y＝kx+h，代入A、B的坐标，得： ak+h＝b…Ⅲ、ck+h＝d…Ⅳ Ⅲ×c﹣Ⅳ×a，得： hac＝2； ∴直线AB与y轴的交点为（0，2）． 故④正确． 综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④， 故选：B． 5．如图，抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　） A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAE C．∠ACB﹣∠ANM∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13 【分析】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN，而MN，BN+MN＝5＝AB； （2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误； （3）如图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CADABC； （4）S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，其最大值为． 【解答】解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b 解得：a，b， 设：M点横坐标为m，则M（m，m2m+4）、N（m，m）， 其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）， 则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，）、（，）， 由勾股定理得：BN，而MN， BN+MN＝5＝AB， 故本选项错误； B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）， ∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形， ∠CBA≠∠BCA， ∴∠BAC＝∠BAE不成立， 故本选项错误； C、如图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC， ∵△ABC是等腰三角形， ∴BF是∠ABC的平分线， 易证：∠CAD＝∠ABFABC， 而∠ACB﹣∠ANM＝∠CADABC， 故本选项正确； D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM， S△ABC＝10， S△ABMMN•（xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为， 故S四边形ACBM的最大值为1012.25， 故本选项错误． 故选：C． 6．二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（　　） A．3＜AD≤9 B．3≤AD≤9 C．4＜AD≤10 D．3≤AD≤8 【分析】首先设出B、C的坐标，用韦达定理求出BC的长，若以BC为直径作圆，根据圆周角定理易得出当点A在x轴上方时，∠BAC为锐角，那么AD的长就应该在BC和DP之间（设P为抛物线顶点坐标），且AD不等于BC． 【解答】解：设B（m，0），C（n，0）； 由题意m，n是方程﹣x2+2x+8＝0的两根，则有：m+n＝2，mn＝﹣8； 故BC6； 设抛物线顶点为P，则P（1，9）； ∴BC＜AD≤DP， 即3＜AD≤9； 故选：A． 7．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得． 【解答】解：设ax2+bx+c＝0的两根分别为x1与x2， 依题意有（x1﹣n）2（x2﹣n）2（x1﹣x2）2， 化简得：n2﹣n（x1+x2）x1x2＝0． 有n2n0， ∴an2+bn+ca． ∵（n，）是图象上的一点， ∴an2+bn+c， ∴a， ∴a＝﹣2， 故选：D． 8．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　） A． B． C．﹣2 D． 【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB，可得OB的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB， ∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°， ∴∠AOE＝75°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠BOE＝30°， ∵OA＝1， ∴OB， ∵∠OCB＝90°， ∴BEOB， ∴OE， ∴点B坐标为（，）， 代入y＝ax2（a＜0）得a， ∴y． 故选：D． 9．如图，直线y与y轴交于点A，与直线y交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1 【分析】将y与y联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y可求得k，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围． 【解答】解：∵将y与y联立得：，解得：． ∴点B的坐标为（﹣2，1）． 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）． ∵将x＝h，y＝k，代入得y得：h＝k，解得k， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2h． 如图1所示：当抛物线经过点C时． 将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2h得：h2h＝0，解得：h1＝0，h2． 如图2所示：当抛物线经过点B时． 将B（﹣2，1）代入y＝（x﹣h）2h得：（﹣2﹣h）2h＝1，整理得：2h2+7h+6＝0，解得：h1＝﹣2，h2． 综上所述，h的范围是﹣2≤h． 故选：A． 10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝BE＝5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED＝2， ∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3， 在Rt△ABE中，AB4， ∴cos∠ABE，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBF， ∴sin∠PBF＝sin∠AEB， ∴PF＝PBsin∠PBFt， ∴当0＜t≤5时，yBQ•PFt•tt2，故③小题正确； 当t秒时，点P在CD上，此时，PDBE﹣ED5﹣2， PQ＝CD﹣PD＝4， ∵，， ∴， 又∵∠A＝∠Q＝90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 　y＝2（x+1）2﹣4　 ． 【分析】先利用顶点式得到抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的顶点坐标为（1，4），再根据旋转的性质得到旋转后的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为2，由此根据顶点式可写出旋转后的抛物线解析式． 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象顶点坐标为（1，4）， 因为二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 所以旋转后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣4． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣4． 12．抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k＝　3　 ． 【分析】根据抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB＝30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣k的顶点为P， ∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO＝K， ∵抛物线y＝x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形， ∴OA＝OB，∠OPB＝30°， ∴tan30°， ∴OBk， ∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y＝x2﹣k上， ∴将B点代入y＝x2﹣k，得： 0＝（k）2﹣k， 整理得：k＝0， 解方程得：k1＝0（不合题意舍去），k2＝3． 故答案为：3． 13．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　（2，0），（2，0），（2，﹣6）　 ． 【分析】根据等边三角形的边长解直角三角形求出等边三角形的高为3，然后分①点B在x轴上时，点A的坐标为纵坐标为3，代入抛物线解析式求出点A的横坐标，根据等边三角形的性质，然后利用等边三角形的性质解答即可；②点B在y轴上时，点A的横坐标为等边三角形边长的一半，即，然后代入抛物线解析式求出点A的纵坐标，再向下3个单位长度即为点C的纵坐标，点C的横坐标的长度等于等边三角形的边长，写出即可． 【解答】解：∵等边△ABC的边长为， ∴高线AD＝23，边长的一半为， ①如图1，点B在x轴上时，点A的纵坐标为3， ∵点A在抛物线上滑动， ∴x2﹣2x＝3， 整理得，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x±， 当x时，2， 此时，点C的坐标为（2，0）， 当x时，2， 此时，点C的坐标为（2，0）； ②如图2，点B在y轴上时，点A的横坐标等于等边三角形边长的一半，为， ∵点A在抛物线上滑动， ∴2﹣23﹣6＝﹣3， ﹣3﹣3＝﹣6， 所以点C的坐标为（2，﹣6）， 综上所述，点C的坐标为（2，0），（2，0），（2，﹣6）． 故答案为：（2，0），（2，0），（2，﹣6）． 14．将抛物线的图象位于直线y＝﹣2以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象有四个交点，则m的取值范围是 　　 ． 【分析】根据题意，画出新图象，分别确定直线l1与抛物线有一个交点、直线l2经过点A（﹣3，﹣2）时的m的值，即可求解． 【解答】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线l1与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：x2+4x+1+2m＝0， Δ＝42﹣4（1+2m）＝0， 解得：； 由解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，﹣2）， 当直线l2经过点A（﹣3，﹣2）时，﹣2＝﹣3+m得m＝1， ∴m的取值范围是：， 故答案为：． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　（2，﹣3）或（，）　 （点C'不与点A重合）． 【分析】（1）当点A′、D′在抛物线上时，求出点D′的坐标（，），再由中点坐标公式得到C′的坐标为：（，）； （2）当C′D′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2），得到点D′（m+2，m2m﹣2+3），进而求解； （3）当A′、C′在抛物线上时，同理可解． 【解答】解：令0， 解得：x＝﹣1或4，则函数的对称轴为x， 当x＝5时，则3， 即点C（5，3）； （1）当点A′、D′在抛物线上时，如图， 由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x， 则点D′的横坐标为2， 当x时，， 则点D′（，）， 设点C′为（x，y）， 由中点坐标公式得：5+x且3+y， 解得：x，y， 即点C′的坐标为：（，）； （2）当C′D′在抛物线上时， 设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2）， 由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C， 则点D′（m+2，m2m﹣2+3）， 将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m﹣2+3（m+2）2（m+2）﹣2， 解得：m＝2， 则点C′的坐标为：（2，﹣3）； （3）当A′、C′在抛物线上时， 设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2）， 由点A向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C， 则点A′（m+6，m2m﹣2+3）， 将点A′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m﹣2+3（m+6）2（m+6）﹣2， 解得：m＝﹣1， 则点C′的坐标为：（﹣1，0）， 该点和点A重合，故舍去； 综上，点C′的坐标为：（2，﹣3）或（，）， 故答案为：（2，﹣3）或（，）． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+1经过点（﹣2，2）． （1）求该抛物线的解析式． （2）将抛物线y＝ax2+1绕原点O旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线的解析式． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据绕原点O旋转180°后顶点变为（0，﹣1），即可求出顶点式． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，2）， ∴4a+1＝2， 解得：， ∴解析式为：； （2）抛物线顶点为（0，1）， ∴将绕原点O旋转180°后顶点为（0，﹣1），， ∴旋转后的抛物线的解析式：． 17．（7分）已知抛物线过点（4，0），顶点为Q．抛物线． （1）求a的值和点Q的坐标． （2）求证：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线C1的解析式，再化为顶点式即可得解； （2）求出平移后的坐标为（0，﹣2），再求出当x＝0时，y的值，即可得证． 【解答】（1）解：∵抛物线过点（4，0）， ∴a×42﹣2×4＝0， ∴， ∴抛物线， ∴Q（2，﹣2）； （2）证明：由（1）知，Q（2，﹣2）， ∵将Q向左平移2个单位长度得到点的坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，， ∴（0，﹣2）在抛物线C2上，即将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 18．（7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b，c的值； （2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，2），试确定平移的方向和平移的距离． 【分析】（1）把（4，3），（3，0）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）把二次函数的解析式配成顶点式y＝（x﹣2）2﹣1，然后确定顶点坐标和对称轴，再画出函数图象； （3）计算出自变量为﹣2对应的二次函数值，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况． 【解答】解：（1）将（4，3），（3，0）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， （2）二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为（2，﹣1），对称轴是直线x＝2，如图所示； （3）把x＝﹣2代入y＝x2﹣4x+3得（﹣2）2﹣4×（﹣2）+3＝15， 点（﹣2，15）向下平移13个单位得到点（﹣2，2）， 所以需将抛物线向下平移13个单位． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象经过点C． （1）求抛物线的表达式； （2）沿x轴水平平移该抛物线，设平移后抛物线的对称轴恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，求平移后抛物线的表达式． 【分析】（1）过C作CK⊥x轴于K，证明△AOB≌△CKA（AAS），可得OA＝CK，OB＝AK，从而求出C（3，1），再用待定系数法可得抛物线的解析式为yx2x﹣2； （2）设抛物线的对称轴所在直线L交BC于P，交AC于Q，此时直线L恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，设直线L为x＝m，求出S△ABC（）2，直线AC解析式为yx，可得Q（m，m），P（m，m+2），故PQ＝（m+2）﹣（m）m，从而S△PCQ（m）•（3﹣m）m2m，即有m2m，解方程可得答案，再由平移的规律可以判断得解． 【解答】解：（1）过C作CK⊥x轴于K，如图： ∵∠BAC＝90°＝∠BOA＝∠AKC， ∴∠BAO＝90°﹣∠CAK＝∠ACK， ∵AB＝AC， ∴△AOB≌△CKA（AAS）， ∴OA＝CK，OB＝AK， ∵A（1，0），B（0，2）， ∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2， ∴OK＝3， ∴C（3，1）， 把C（3，1）代入yx2+bx﹣2得：3b﹣2＝1， ∴b． ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2； （2）设抛物线的对称轴所在直线L交BC于P，交AC于Q，此时直线L恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为x＝m， 由A（1，0），B（0，2）可得AB， ∴S△ABC＝×（）2， 由A（1，0），C（3，1）得直线AC解析式为yx， ∴Q（m，m）． 由B（0，2），C（3，1）得直线BC解析式为yx+2， ∴P（m，m+2）， ∴PQ＝（m+2）﹣（m）m， ∴S△PCQ（m）•（3﹣m）m2m， ∴m2m． ∴m＝3（此时直线L在C右侧，舍去）或m＝3． ∴当L移动到x＝3处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分． ∵平移前抛物线为y（x）2， ∴平移后抛物线的表达式为． 20．（9分）如图，点P（7，a）在抛物线上C：y＝4﹣（6﹣x）2，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣3）2．直接写出点P′平移的方向和距离． 【分析】（1）根据抛物线顶点式可直接回答对称轴最大值并求出a值； （2）对比两个抛物线顶点式，根据“左加右减，上加下减”法则解答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣（6﹣x）2+4＝﹣（x﹣6）2+4， ∴抛物线对称轴为：x＝6，最大值为：4； ∵点P（7，a）在抛物线上C：y＝4﹣（6﹣x）2上， ∴a＝﹣（7﹣6）2+4＝3； （2）原抛物线y＝﹣（x﹣6）2+4，平移后的抛物线y＝﹣（x﹣3）2． 由平移规律得，抛物线y＝﹣（x﹣3）2是由函数y＝﹣（x﹣6）2+4的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的． ∴点P′向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的． 21．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x＝2，与y轴交点为点C（0，﹣5），点D为抛物线上任意一点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，当点D为抛物线的顶点时，求△BCD的面积； （3）如图3，当点D在直线BC下方的抛物线上时，连接OD交BC于点E，求的最大值． 【分析】（1）由题意得：，即可求解； （2）由△BCD的面积DH×OB15，即可求解； （3）证明DE：OE＝DN：CO，即DE：OEDN，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5； （2）由抛物线的表达式知，点D（2，﹣9）， 令y＝x2﹣4x﹣5＝0，则x＝﹣1或5，即点B（5，0）、A（﹣1，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣5， 作DH∥y轴交BC于点H，则点H（2，﹣3），则HD＝6， 则△BCD的面积DH×OB15； （3）过点D作DN∥y轴交BC于点N， 则△NDE∽△COE， 则DE：OE＝DN：CO，即DE：OEDN， 设点D（x，x2﹣4x﹣5），则点N（x，x﹣5）， 则DE：OEDN（x﹣5﹣x2+4x+5）（x）2， 即的最大值为． 22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AC交于点A（4，0），C（0，﹣4）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与y轴交于点F，原抛物线上有一点P（2，﹣4），点M为平移后点P的对应点，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线yx2﹣4x，对称轴是直线x＝4，即可得M（5，﹣4），F（0，），设N（4，n），Q（r，r2﹣4r），分三种情况：①当QN、MF为对角线时；②当QM、NF为对角线时；③当QF、NM为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c经过A（4，0），C（0，﹣4） A（﹣4，0），C（0，﹣4）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2﹣x﹣4； （2）∵将抛物线yx2﹣x﹣4向右平移3个单位得抛物线y（x﹣3）2﹣（x﹣3）﹣4x2﹣4x， ∴新抛物线对称轴是直线x4， 在yx2﹣4x中，令x＝0得y， ∴F（0，）， 将P（2，﹣4）向右平移3个单位得M（5，﹣4）， 设N（4，n），Q（r，r2﹣4r）， 则①当QN、MF为对角线时， ∴， 解得r＝1， ∴Q（1，0）； ②当QM、NF为对角线时， ∴， 解得r＝﹣1， ∴Q（﹣1，8）； ③当QF、NM为对角线时， ∴， 解得r＝9， ∴Q（9，8）； 综上所述，Q的坐标为：（1，0）或（﹣1，8）或（9，8）． 23．（14分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段OA上有一动点D（m，0），点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线AB于点C，交抛物线于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点C是DE的中点时，求m的值； （3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段EF的长最大，最大值为多少？ 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数的解析式，可得E（m，m2+m+4），C（m，﹣m+4），表示出EC的长，根据EC＝CD可得出关于m的方程，解方程求出m的值即可； （3）连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A与点B， ∴当x＝0时，y＝4；y＝0时，x＝4， ∴A（4，0），B（0，4）， 将点A（4，0），B（0，4）的坐标代入抛物线中， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：y； （2）如图1，∵ED⊥x轴，交直线AB于点C，交抛物线于点E，且D（m，0）， ∴E（m，m2+m+4），C（m，﹣m+4）， ∴ECm2+m+4﹣（﹣m+4）m2+2m， ∵点C是DE的中点， ∴EC＝CD， ∴m2+2m＝﹣m+4， 解得：m1＝2，m2＝4， ∵点D不与O，A重合， ∴0＜m＜4，m2＝4舍去， ∴m＝2； （3）如图2，连接BE，AE， ∵AB的长度不变， ∴当△AEB的面积最大时，EF的长最大， ∵S△AEB＝S△BCE+S△ACE CE•ODCE•AD CE•（OD+AD） 4×（m2+2m） ＝﹣m2+4m ＝﹣（m﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当m＝2时，△AEB的面积最大是4，此时点E的坐标为（2，4）， 由勾股定理得：AB4， ∵S△AEB•AB•EF， ∴EF＝4， ∴EF， 综上，当点E的坐标为（2，4）时，线段EF的长最大，最大值为． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$