8.5.3 平面与平面平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5 课时3 平面与平面平行 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 用符号表示： a b α 简述为：线线平行线面平行 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的性质定理 用符号表示： 定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简述为：线面平行线线平行 α m β l a b 新课导入 （1）平行 （2）相交 α∥β 怎样判定平面与平面平行呢？ 问题：  平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 一、平面与平面平行的判定定理 新课讲授 两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断. 思考：能否简化平面与平面平行的判定方法呢? 如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行. 因为平面内有无数条直线，我们难以对所有直线逐一检验. 无限 有限 转 化 新课讲授 思考：能否将一个平面内任意直线都平行于另一个平面中的任意直线减少，得到更简便的方法呢? 减少到一条直线可以吗？为什么？ 如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？ 新课讲授 符号语言： 图形表示： 如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 关键：在一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面. 线//面 面//面 新课讲授 练习1：如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D. ∴四边形AB C1D1为平行四边形. 又∵ D1A ⊄平面 BC1D， C1B ⊂平面BC1D， ∴ D1A ∥平面 BC1D. 同理 D1 B1 ∥平面 BC1D. ∴D1A ∥C1B. 证明：∵ ABCD-A1B1C1D1为正方体， ∴ C1D1//A1B1，AB//A1B1. ∴ C1D1 //AB. = = = 又∵ D1A ∩ D1 B1 =D1， ∴平面AB1D1∥平面BC1D. 新课讲授 练习2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点. 求证：平面AMN // 平面EFDB. N M E F 新课讲授 1.　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明　∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 典型例题 2. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点. 求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 典型例题 二、平面与平面平行性质 问题 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？从哪些角度考虑呢？ 思考1 一个平面内的直线是否平行于另一个平面?　 a b 平行或异面 面//面 线//面 思考2 分别在两个平面内的两条直线具有什么位置关系? 新课讲授 思考 线线平行是一种重要的关系，分别位于两个平行平面的直线中，什么情况下这两条直线平行呢？ 结论: 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行. 新课讲授 两个平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 符号表示： 面//面 线//线 a b γ β α α∥β α ∩γ=a β ∩γ=b a ∥ b 作用：判定直线与直线平行的依据. 新课讲授 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 常用的面面平行的其他几个性质 新课讲授 例2.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 证明:∵D，E分别是PA，PB的中点， ∴DE∥AB. 又∵DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC ∵DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， ∴平面DEF∥平面ABC. 又∵平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， ∴NF∥CM. 典型例题 练习　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD. 证明：过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图， ∵B1E＝C1F，B1A＝C1B， 又B1C1∥BC，∴FG∥BC， 又FG⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FG∥平面ABCD， 又EG∥AB且EG⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EG∥平面ABCD， ∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD. 新课讲授 反思感悟　 (1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行. (2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用. 新课讲授 如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C'. 解:∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B', 平面PAB∩平面ABC=AB, ∴A'B'∥AB.同理可证B'C'∥BC,A'C'∥AC. ∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC, ∴△A'B'C'∽△ABC. ∵PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5, ∴A'B'∶AB=2∶5. 新课讲授 练习　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长. 解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD， ∵PA＝6，AC＝9，PD＝8， 新课讲授 证明:　连接NE，连接NF ∵N，E分别是边A1D1，B1C1的中点， ∴NE∥A1B1, NE=A1B1 ∵AB∥A1B1, AB=A1B1 ∴NE∥AB, NE=AB ∴四边形ABEN是平行四边形 ∴AN∥BE, 又AN⊄平面EFDB，BE⊂平面EFDB， ∴AN∥平面EFDB. 同理可得AM∥平面EFDB. ∵AN∩AM＝A， ∴平面MAN∥平面EFDB. ∴＝，∴FG∥B1C1， 则＝. ∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25,即 若,求的值. ∴＝，解得BD＝. ∴AB∥CD，可得＝. $$