精品解析：广东省中山市迪茵公学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

中山市迪茵公学高二下第一次月考 一：单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 在处的导数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 12 B. C. 24 D. 6. 已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二：多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分） 9. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A. 组成的三位数的个数为30 B. 在组成的三位数中，奇数的个数为36 C. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 D. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 三：填空题（每小题5分，共计20分） 12. 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有________种. 13. 如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则___________. 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明，） 15. 书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书. （1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ （2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ （3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？ 16. 已知函数且在处取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数在的最大值与最小值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线过原点的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 18. （1）证明：，； （2）已知函数（，，e为自然对数的底数）. （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市迪茵公学高二下第一次月考 一：单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 在处的导数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数公式求出，再得. 【详解】由，得，所以. 故选：B. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 3. 设，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在等式两边求导，令，可求得的值，可得出的表达式，代值计算可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，，解得，所以，， 因此，. 故选：A. 5. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导得，根据已知有即可求，进而求. 【详解】由，得， ∵当时，，解得， ∴， ∴当时，. 故选：C. 6. 已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：D． 7. 设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为导函数在小于等于零恒成立，分离参数后构造函数，再求导进而求最值可得. 【详解】， 因为函数在上单调递减， 所以导函数在小于等于零恒成立， 分离参数可得恒成立在， 设， 则， 令可得，所以在恒增， 所以，即 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 8. 设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数可得函数的在的单调性，然后利用函数的奇偶性可得在的单调性，最后简单判断可得结果. 【详解】令，所以 当当时，，所以 所以可知的在的单调递增， 又是奇函数且，所以，则 由， 所以函数为的偶函数且在单调递减， 当时，的解集为 当时，的解集为 综上所述：的解集为： 故选：D 二：多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分） 9. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案． 【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以A不符合题意, 对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合， 对于C中，,则，故单调递增；故C符合， 对于D，函数，可得，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以D不符合题意； 故选：BC． 10. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A. 组成的三位数的个数为30 B. 在组成的三位数中，奇数的个数为36 C. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 D. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 【答案】BD 【解析】 【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可. 【详解】A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误； B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确； C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个； ③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误； D：由选项C的分析可知，D正确； 故选：BD. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 又由极小值，且当时，， 当时，，所以函数有3个零点，所以B错误； 由，可得，令，可得， 又由，所以点是函数的对称中心， 所以C正确； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即， 所以D正确. 故选：ACD. 三：填空题（每小题5分，共计20分） 12. 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有________种. 【答案】27 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】易知每个人都有3种选法，故不同的选法有27种. 故答案为：27. 13. 如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合函数图像，确定的值，根据，对求导，即可求解. 【详解】由图像可知，，切线过、， ，求导 故答案为： 【点睛】导数的几何意义：函数在某一点处的导数等于在这一点处的切线的斜率. 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明，） 15. 书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书. （1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ （2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ （3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？ 【答案】（1）15；（2）120；（3）74. 【解析】 【分析】（1）相当于直接从15本书中任取1本书； （2）利用分步乘法分三步完成； （3）先分类，再分步即可得到. 【详解】（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法； （2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法； （3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类： 第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法. 【点睛】这类题的关键是分清楚是分类还是分步，较复杂的题中即有分类又有分步，要分清是先分类还是先分步. 16. 已知函数且在处取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数在的最大值与最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来求得的值. （2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论. 【小问1详解】 ， 依题意，解得. ， 所以在区间上递增； 在区间上递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. 【小问2详解】 ， ， 由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线过原点的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过的点求得答案. （2）求导，按和分类讨论，并求出极小值，再建立不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，，求导得，设切点坐标为，则， 于是得切线方程为，而切线过原点，则，解得， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，即函数在R上单调递增，无极值，不合题意； 当时，由，解得；由，解得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 18. （1）证明：，； （2）已知函数（，，e为自然对数的底数）. （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）构造函数，， 令，得，列表如下： 1 - 0 + 递减 极小值 递增 所以，即有成立. （2）（I）单调递增区间为，，单调递减区间为，（II） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性可得，即可证明； （2）（I）令，求出，根据即可求解；（II）将问题转化为对任意恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）（I）当时，， 所以. 令，因为，所以，解得或. 列表如下： -4 -2 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （II）因为函数在上单调递增，所以. 即对任意恒成立， 因为，且， 所以对任意恒成立. 设，， 因为的开口向上，所以只需要考虑两个端点的情况就行了， 则，即，解得. 即实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $