精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学试题

牡丹江二中2024-2025学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基础函数导数的公式计算即可. 【详解】，，，. 故选：D 2. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 3. 设是的导函数，且，则（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 5. 如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 6. 设则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得. 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 8. 已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意同构可得，构建，结合单调性可得，参变分析可得，构建，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：，整理可得， 设，则，可知在内单调递增， 由题意可知：，则对任意内恒成立， 可得对任意内恒成立， 设函数，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的最小值为，可得， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得，构建，结合单调性可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 在区间上单调递减 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，进而求出最值；B选项，求出，利用导数的几何意义得到切线方程； C选项，在A选项基础上，得到函数单调性；D选项，，令，求导得到其单调性和最值， 结合函数图象，得到的取值范围是. 【详解】因为， 选项A，当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以有最小值，无最大值，故A错误； 选项B，当时，， 所以的图象在点处的切线方程是，故B正确； 选项C，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误； 选项D，方程，即， 令，而， 当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，且，如图， 的范围是，故D正确. 故选：BD 10. 已知，且在点处的切线与直线平行，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有且仅有一个极值点 D. 对任意，都有 【答案】CD 【解析】 【分析】由及可求得的值可判断A；根据导函数的正负判断函数的单调性以及极值，可判断B、C；再求得最小值，可判断D． 【详解】，在点处的切线与直线平行，，，A错误； 由，解得：；由，解得：； 在上单调递增，在上单调递减，因此有且有一个极值点，B错误，C正确；，则对任意，都有，D正确. 故选：CD 11. 函数，其中是常数，则（ ） A. 当时，是增函数 B. 若是的极大值点，则 C. 若，且有2个零点，则 D. 当时，有3个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可判断AB；结合导数的应用和零点的概念计算即可判断CD. 【详解】因为， 所以. 当时，恒成立，所以在上单调递增，故A正确． 因为是的极大值点，所以，解得． 当时，， 则当时，，当时，， 所以是的极大值点，符合题意，故B正确． 令得或，因为，所以， 所以当或时，单调递增， 当时单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 且. 又当时，，所以若有2个零点， 则，解得，故C正确． 当时，， 同理当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 且，又当时，， 所以有1个零点，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求导分析单调性，由为偶函数，可得为奇函数，分两种情况：，分析不等式的解集，即可得出答案. 【详解】令，所以， 因为当时，，，单调递增， 因为为偶函数，所以， 所以，所以为奇函数， 所以在，上单调递增， 因为，所以，所以， 若，则等价于，所以， 若，则等价于，所以. 综上所述，不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，利用导数判断单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导函数 （1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. 【小问1详解】 已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； 【小问2详解】 由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 17. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求在的最值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【小问1详解】 设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． 【小问2详解】 由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在单调性为：单调递减，单调递增， 所以． 又 ，所以最大值为： 所以在的最小值为，最大值为： 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. （3）利用（2）的结论，可求问题（3）. 【小问1详解】 当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. 【小问2详解】 因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数无极值， 当时，函数在取得极小值， 所以，解得，所以． 所以实数的取值范围为： 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明： 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【解析】 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2024-2025学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 设是的导函数，且，则（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 在区间上单调递减 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 10. 已知，且在点处的切线与直线平行，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有且仅有一个极值点 D. 对任意，都有 11. 函数，其中是常数，则（ ） A. 当时，是增函数 B. 若是的极大值点，则 C. 若，且有2个零点，则 D. 当时，有3个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为_______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______． 14. 已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导函数 （1）； （2） （3） 16. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 17. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求在的最值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $