专题01 二次根式（10题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题01 二次根式 题型概览 题型01求二次根式的值 题型02二次根式有意义的条件 题型03利用性质化简 题型04二次根式的运算 题型05 最简二次根式的判断 题型06 同类二次根式 题型07 分母有理化 题型08 已知字母的值，化简求值 题型09 比较二次根式的大小 题型10 二次根式的应用 ( 题型01 ) 求二次根式的值 1．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．(22-23八下·浙江湖州吴兴区·期中)当时，二次根式的值是 ． 4．(22-23八下·浙江温州鹿城区实验中学·期中)当时，二次根式的值是 ． 5．(22-23八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)当时，二次根式值为 ． ( 题型02 ) 二次根式有意义的条件 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·浙江杭州余杭区·期中)对于命题“如果x为任何实数，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·浙江衢州柯城区衢州实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）·期中)若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(22-23八下·浙江温州新希望联盟·期中)若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．(21-22八下·浙江宁波北仑区·期中)若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 6．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)若是整数，则满足条件的自然数的最小值是 ． ( 题型03 ) 利用二次根式的性质化简 1．(23-24八下·浙江宁波慈溪中部区域·期中)已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 2．(23-24八下·浙江杭州保俶塔实验学校·期中)已知，化简（　　） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江宁波第十五中学·期中)若二次根式的值为2，则x的值是（    ） A．2 B．4 C．3 D． 5．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．(23-24八下·浙江金华义乌义乌雪峰中学·期中)实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 7．(24-25七上·浙江杭州外国语学校·期中)实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 8．(24-25八上·浙江温州新希望联盟·期中)如图，在中，是边上一点，且，连结并延长至点，使，连结，若，则 ， ． 9．(24-25七上·浙江杭州十三中教育集团·)已知，则 ； 10．(23-24八上·浙江杭州下城区观成实验学校·期中)如图，在中，，，F为的中点，C为延长线上一点，D为延长线上一点，且．则 ，四边形的面积是 ． 11．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)已知，当x分别取时，所对应y值的总和是 ． 12．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 . ( 题型04 ) 二次根式的运算 1．(23-24八下·浙江台州玉环实验初级中学·期中)下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江台州和合联盟·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江台州临海第六教研区·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)下列选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)已知，则的值为 ． 12．(23-24八下·浙江嘉兴平湖·期末)已知，则的值为 ． 13．(23-24八下·浙江金华义乌义乌雪峰中学·期中)若规定符号“*”的意义是，则的值是 ． 14．(20-21八下·浙江杭州余杭、临平区·期末)若，，则 ． 15．(22-23八下·浙江杭州余杭区余杭区绿城育华翡翠城学校·期中)已知，，则 ； ． 16．(21-22八下·浙江杭州萧山区城区·期中)（1） ；（2） ． 17．(21-22八上·浙江温州龙湾区·期中)边长为1的等边三角形的面积是 ． 18．(22-23八下·浙江宁波鄞州区·期中)化简： ． 19．(22-23八下·浙江温州瓯海区·期中)一个长方形的长，宽，则这个长方形的面积是 ． 20．(22-23七上·浙江衢州教学联盟体·期中)如图，将，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是 ． 21．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)计算题： (1)； (2) 22．(23-24八下·浙江台州和合联盟·期中)计算： (1)． (2)． 23．(23-24八下·浙江台州临海第六教研区·期中)计算： (1)； (2)． 24．(23-24八下·浙江湖州长兴县·期中)计算： (1)； (2)． 25．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)计算 (1) (2) 26．(24-25七上·浙江杭州之江实验中学数学·期中)计算： (1) (2) 27．(24-25七上·浙江湖州安吉县·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．(24-25七上·浙江义乌绣湖中学·期中)计算下列各题： (1)； (2)． 29．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)计算： (1)； (2)． 30．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)化简或计算： (1)； (2)． ( 题型0 5 )最简二次根式的判断 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)下列二次根式中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)下面各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江金华南苑中学·期中)下列式子中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )同类二次根式 1．(21-22八下·浙江台州仙居县·期末)下列二次根式中，能与合并的是（    ）． A． B． C． D． 2．(20-21八下·浙江温州乐清·期末)下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．若两最简二次根式与的被开方数相同，则 ． ( 题型0 7 )分母有理化 1．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为． 所以． 所以，所以． 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是_______，________． (2)化简． (3)若，求的值． 2．(23-24八下·浙江杭州保俶塔实验学校·期中)小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 3．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)按要求解下列问题： (1)计算：； (2)若，求代数式：的值． 4．(23-24八下·浙江金东实验中学教育集团·期中)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有,这样可以把部分的式子化为平方式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当m、n均为正整数，若，则__________,__________． (2)当a、b、m、n均为正整数时，若,用含m、n的式子分别表示a、b,得：__________，__________． (3)化简． 5．(23-24八下·浙江金华义乌义乌雪峰中学·期中)阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简； (2)求的值． ( 题型0 8 )已知字母的值，化简求值 1．(24-25八下·浙江杭州·期中)先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 2.(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)已知，求的值． 3．(23-24八下·浙江台州临海第六教研区·期中)阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 4．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)________的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 5．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)已知，，求代数式的值． 6．(21-22八下·浙江金华义乌宾王中学·期中)（1）计算：；           （2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值． 7．(20-21八下·浙江宁波鄞州区横溪、东吴、咸祥等联考·期中)（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． ( 题型0 9 )比较二次根式的大小 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．(20-21八下·浙江台州临海邵家渡·期中)已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 3．(21-22八下·浙江温州第十二中学·期中)比较大小（填“<”、“大于”或“=”）： ． 4．(20-21七上·浙江金华义乌公学·期中)比较大小：-3 -； 5．(20-21七上·浙江绍兴新昌县·期中)比较大小：2 3； ． 6．(24-25七上·浙江杭州余杭区·期中)（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 7．（1）用“<”“>”“=”填空：__________ （2）由上可知：①________；②_________ （3）计算：（结果保留根号） ． ( 题型 10 )二次根式的应用 1．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 2．(23-24七上·浙江衢州实验教育集团锦溪校区·期中)把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的周长和是（    ）    A． B． C． D． 3．(23-24七上·浙江温州鹿城区第二中学·期中)如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（    ） A．4 B． C．9 D． 4．(21-22八上·浙江杭州锦绣育才中学·期末)如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 5．(21-22八下·浙江温州苍南县·期中)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为x= =3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx－n=0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（    ） A．－1 B．+1 C． D．－1 6．(23-24七下·浙江温州第二中学·期中)如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ． 7．(23-24七下·浙江温州新希望学校·期中)将一张周长为的长方形纸条按图1所示进行折叠，得到一个“爱心”图案（如图2）．若“爱心”的水平宽度比竖直高度大，则图1中的长为 ，图2中“爱心”的周长为 ． 8．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图．如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索道的倾斜角为，长度米，其两端由、两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比是，若点J，L，D恰好在同一直线上，米，则 米． 9．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么 ， ，两个长方形的面积和 ．    10．(24-25八下·浙江杭州·期中)某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 11．(24-25七上·浙江金华义乌·期中)经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 12．(24-25八上·浙江嘉兴平湖八校联考·期中)【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 13．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 1．(24-25八上·浙江山海联盟协作学校·期中)如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)已知，，求的值． 3．(22-23八上·山西运城盐湖区·期末)阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以，所以 所以，所以，所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是__________，______； 的有理化因式是________，______； (2)若，求的值． 4．(21-22八上·福建福州福州立志中学·期末)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)______________； (2)化简； (3)若，求的值． 5．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值； (3)的值． 6．(20-21九上·重庆梁平区·期末)阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”： 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：   因为，所以 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 7．(21-22八上·浙江金华兰溪外国语中学·期中)如图，AB⊥BC，CD⊥BC，且BC=CD=4cm，AB=1cm，点P以每秒0.5cm的速度从点B开始沿射线BC运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒． (1)当t=2时，请直接写出BP和CP的长度． (2)如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？(写出求解过程) (3)如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01求二次根式的值 题型02二次根式有意义的条件 题型03利用性质化简 题型04二次根式的运算 题型05 最简二次根式的判断 题型06 同类二次根式 题型07 分母有理化 题型08 已知字母的值，化简求值 题型09 比较二次根式的大小 题型10 二次根式的应用 ( 题型01 ) 求二次根式的值 1．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 2．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 3．(22-23八下·浙江湖州吴兴区·期中)当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【来源】浙江省湖州市吴兴区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．(22-23八下·浙江温州鹿城区实验中学·期中)当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【来源】浙江省温州市鹿城区实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】把代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 5．(22-23八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)当时，二次根式值为 ． 【答案】1 【来源】浙江省温州市乐清市山海联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】把代入二次根式进行计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的计算是解题关键． ( 题型02 ) 二次根式有意义的条件 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性运算出的值，代入中求出的值，再一起代入运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，解得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴， 故选：C． 2．(24-25八上·浙江杭州余杭区·期中)对于命题“如果x为任何实数，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省杭州市余杭区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的性质，命题与定理，满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 【详解】解：∵当时，， ∴能说明它是假命题的反例是． 故选D． 3．(24-25九上·浙江衢州柯城区衢州实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）·期中)若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省衢州市柯城区衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 4．(22-23八下·浙江温州新希望联盟·期中)若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市新希望联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 5．(21-22八下·浙江宁波北仑区·期中)若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市北仑区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 6．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)若是整数，则满足条件的自然数的最小值是 ． 【答案】3 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的定义．熟练掌握二次根式的性质和定义是解题的关键． 根据二次根式的定义得出，然后由是整数可知是完全平方数，再分别列举出可能的情况，最后找出最小值即可． 【详解】解：是整数， ，且是完全平方数， ①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 满足条件的自然数的最小值是3． 故答案为：3． ( 题型03 ) 利用二次根式的性质化简 1．(23-24八下·浙江宁波慈溪中部区域·期中)已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 【答案】A 【来源】浙江省宁波市慈溪市中部区域2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键． 根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可． 【详解】，， ，， ． 故选：A． 2．(23-24八下·浙江杭州保俶塔实验学校·期中)已知，化简（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州市保俶塔实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 3．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据进行化简，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是正确的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：A． 4．(23-24八下·浙江宁波第十五中学·期中)若二次根式的值为2，则x的值是（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市第十五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式的值为2， ∴， 故选：B． 5．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 6．(23-24八下·浙江金华义乌义乌雪峰中学·期中)实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省金华市义乌市义乌市雪峰中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据实数在数轴上的位置，得到，判断，再由二次根式性质化简，去绝对值后，运用整式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置，如图所示： ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式化简，涉及利用数轴判断代数式符号、二次根式性质化简、去绝对值及整式加减运算等知识，根据实数在数轴上的位置判断代数式符号去绝对值是解决问题的关键． 7．(24-25七上·浙江杭州外国语学校·期中)实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【来源】 浙江省杭州外国语学校 2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 8．(24-25八上·浙江温州新希望联盟·期中)如图，在中，是边上一点，且，连结并延长至点，使，连结，若，则 ， ． 【答案】 【来源】浙江省温州市新希望联盟2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键， 过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25七上·浙江杭州十三中教育集团·)已知，则 ； 【答案】 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团2024-2025学年七年级上学期阶段性检测数学试题 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，解题的关键是掌握非负数的性质．根据非负数的性质求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为： 0．(23-24八上·浙江杭州下城区观成实验学校·期中)如图，在中，，，F为的中点，C为延长线上一点，D为延长线上一点，且．则 ，四边形的面积是 ． 【答案】 【来源】 浙江省杭州市下城区观成实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，构造全等三角形是解题关键．过A作，由，，得，由，F为的中点，得为的垂直平分线，设，换算得，由，换算出，故为等边三角形，证明，得它们面积相等.故四边形的面积=四边形的面积面积面积，再计算即可． 【详解】解：过A作，交延长线于， ∵，， ∴，. ∵，F为的中点， ∴为的垂直平分线， ∴. ∵， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴面积面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积面积+四边形的面积 面积+四边形的面积 =四边形的面积 面积面积 ， 故答案为：，． 11．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)已知，当x分别取时，所对应y值的总和是 ． 【答案】2044 【来源】浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质得到当时，，当时，，然后计算出所有y值的总和即可． 【详解】解： 当时， 当时， ∴所对应y值的总和是：， 故答案为：2044． 12．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 . 【答案】/ 【来源】浙江省杭州市拱墅区杭州观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解题的关键． 根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据进行化简即可． 【详解】解：∵6，8，m为三角形的三边长， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型04 ) 二次根式的运算 1．(23-24八下·浙江台州玉环实验初级中学·期中)下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省台州市玉环市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式加减和乘除运算，解题的关键是根据二次根式的加减、乘除运算法则，进行运算，然后进行判断即可． 【详解】解：A．，错误，故不符要求； B．，错误，故不符合要求； C．，正确，故符合要求； D．，错误，故不符合要求． 故选：C． 2．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查算术平方根，二次根式的性质和运算，熟练掌握算术平方根和二次根式的性质是解题的关键． 根据算术平方根的定义和二次根式的性质和运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．(23-24八下·浙江台州和合联盟·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省台州市和合联盟2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的性质和运算法则，化简计算即可． 【详解】A、，选项说法正确，符合题意； B、和不属于同类项，无法合并，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 4．(23-24八下·浙江台州临海第六教研区·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省台州市临海市第六教研区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，以及二次根式的加法和减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘法、除法、加法和减法法则计算即可． 【详解】解：A．，错误，不符合题意； B．，错误，不符合题意； C．正确，符合题意； D．，错误，不符合题意； 故选：C． 5．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质，除法，加减法运算规则依次计算判定即可． 【详解】解：A、，选项A错误，不符合题意； B、，选项B错误，不符合题意； C、，不是同类二次根式，不能合并，选项C错误，不符合题意； D、，选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了二次根式的性质和加法和除法运算法则，熟练掌握二次根式的性质和加法和除法运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质进行化简、二次根式的加法和除法运算法则计算后即可判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 7．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及合并同类二次根式、二次根式运算法则、分母有理化等知识，根据同类二次根式定义、二次根式加减乘除等运算法则逐项验证即可得到答案，熟记二次根式加减乘除运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 8．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的加减、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 根据二次根式的加减、二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意；     B. ，故B选项错误，不符合题意；     C. ，故C选项错误，不符合题意；         D. ，故D选项错误，符合题意．     故选D． 9．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)下列选项中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】根据算术平方根的定义判断A，根据二次根式的加减法法则判断B，根据二次根式的性质判断C，根据二次根式的除法法则判断D． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算错误，不符合题意； D．，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，二次根式的性质与化简，注意算术平方根与平方根的区别． 10．(23-24八下·浙江台州路桥区十校联盟·期中)下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省台州市路桥区十校联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，故不符合题意； B、，故此选项错误，故不符合题意； C、，故此选项正确，故符合题意； D、，故此选项错误，故不符合题意； 故选：C． 11．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)已知，则的值为 ． 【答案】/ 【来源】浙江省温州市安阳实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质，先根据二次根式有意义得出，再运用二次根式的性质化简，得出，得出的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴被开方数， 即， ∴原式化简为， 整理得出， 解得， ∴， 故答案为：． 12．(23-24八下·浙江嘉兴平湖·期末)已知，则的值为 ． 【答案】32 【来源】浙江省嘉兴市平湖市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 13．(23-24八下·浙江金华义乌义乌雪峰中学·期中)若规定符号“*”的意义是，则的值是 ． 【答案】 【来源】浙江省金华市义乌市义乌市雪峰中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查新定义运算，涉及二次根式混合运算，根据新定义列式，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，读懂题意，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14．(20-21八下·浙江杭州余杭、临平区·期末)若，，则 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市余杭、临平区2020-2021学年八年级下学期数学期末试题 【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的运算，求代数式的值，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则． 15．(22-23八下·浙江杭州余杭区余杭区绿城育华翡翠城学校·期中)已知，，则 ； ． 【答案】 1 【来源】浙江省杭州市余杭区余杭区绿城育华翡翠城学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据二次根式的加减运算及乘法运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴；； 故答案为：①；②1． 【点睛】题目主要考查求代数式的值及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 16．(21-22八下·浙江杭州萧山区城区·期中)（1） ；（2） ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市萧山区城区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）利用二次根式的乘法进行计算即可； （2）利用二次根式的除法进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：（1）；（2）； 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是关键． 17．(21-22八上·浙江温州龙湾区·期中)边长为1的等边三角形的面积是 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市龙湾区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题 【分析】根据题意利用等边三角形的“三线合一”的性质作辅助线AD⊥BC，然后在Rt△ABD中由勾股定理求得高线AD的长度，最后根据三角形的面积公式求该三角形的面积即可． 【详解】解：如图，等边△ABC的边长是1． 过点A作AD⊥BC于点D．则BD＝DC＝BC＝， ∴在Rt△ABD中，AD＝＝； ∴S△ABC＝BC•AD＝×1×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质．注意掌握等边三角形的底边上的高线、中线与顶角的角平分线三线合一． 18．(22-23八下·浙江宁波鄞州区·期中)化简： ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．(22-23八下·浙江温州瓯海区·期中)一个长方形的长，宽，则这个长方形的面积是 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市瓯海区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：这个长方形的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式乘法的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法运算法则，准确计算． 20．(22-23七上·浙江衢州教学联盟体·期中)如图，将，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是 ． 【答案】 【来源】浙江省衢州市教学联盟体2022-2023学年七年级上学期期中数学试题 【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，， 在数列中是第个， ，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是， 由题意可得：每三个数一循环，， 在数列中是第个， ，表示的数正好是第轮的第一个， 即表示的数是1， 故（与表示的两个数的积是：． 故答案为． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积． 21．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)计算题： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，正确利用算术平方根的意义及二次根式的乘除法运算法则运算是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义化简运算即可； （2）利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）原式 ． 22．(23-24八下·浙江台州和合联盟·期中)计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省台州市和合联盟2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键． （1）先算二次根式的除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘法进行计算，合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．(23-24八下·浙江台州临海第六教研区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【来源】浙江省台州市临海市第六教研区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并即可求解； （）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ． 24．(23-24八下·浙江湖州长兴县·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省湖州市长兴县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），根据乘方分配率计算；对于（2），根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 25．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式乘法法则计算，再合并同即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 26．(24-25七上·浙江杭州之江实验中学数学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省杭州市之江实验中学数学2024-2025学年七年级上学期数学期中试卷 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、有理数的乘方、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数运算法则，先算乘除，再算加减，即可求解； （2）先将三次根式，有理数的乘方和绝对值进行化简，然后按照运算法则进行计算即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．(24-25七上·浙江湖州安吉县·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】 浙江省湖州市安吉县 2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律，立方根及绝对值，负指数幂，按照实数的混合运算法则计算即可． （1）按照有理数加减运算法则计算即可． （2）含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，绝对值运算，再算乘除法，最后算加减法．． （3）先算立方根及绝对值，负指数幂，再进行实数的混合运算即可． （4）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．(24-25七上·浙江义乌绣湖中学·期中)计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【来源】浙江省义乌市绣湖中学2024—2025学年上学期期中教学质量检测七年级数学试题 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，二次根式的加减运算，乘法运算律等知识．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，二次根式的加减运算，乘法运算律是解题的关键． （1）先计算乘方，然后利用乘法运算律计算，最后进行加减运算即可； （2）利用乘法运算律计算，然后进行二次根式的减法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省湖州市安吉蓝润天使外国语实验学校2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试卷 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省杭州市文澜中学2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ( 题型0 5 )最简二次根式的判断 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)下列二次根式中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解决此题的关键． 【详解】解：A、中被开方数是小数，故此选项不符合题意； B、中被开方数18含有能开得尽方的因数9，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、中被开方数4含有能开得尽方的因数4，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)下面各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查最简二次根式定义，涉及二次根式性质，根据二次根式性质将选项中的二次根式化简即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，选项不符合题意； D、是最简二次根式，选项符合题意； 故选：D． 4．(23-24八下·浙江金华南苑中学·期中)下列式子中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省金华市南苑中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了最简二次根式，根据二次根式性质化简，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．为最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 5．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】A. 是最简二次根式，故符合题意；     B. ，不是最简二次根式，不符合题意；     C. ，不是最简二次根式，不符合题意；     D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． ( 题型0 6 )同类二次根式 1．(21-22八下·浙江台州仙居县·期末)下列二次根式中，能与合并的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省台州市仙居县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题 【分析】能与合并，则该数与之是同类二次根式，即化简后被开方数相同，由此即可求解． 【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意 B：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意 C： ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意 D：， 与是同类二次根式，能合并，符合题意 故选D 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，熟记同类二次根式的定义是解题关键． 2．(20-21八下·浙江温州乐清·期末)下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市乐清市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题 【分析】根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不能与合并，本选项不符合题意； B、能与合并，本选项符合题意； C、不能与合并，本选项不符合题意； D、不能与合并，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 3．若两最简二次根式与的被开方数相同，则 ． 【答案】8 【来源】【新东方】【2021.5.18】【JX】【初二下】【数学】【JX0007】 【分析】根据两个最简二次根式的被开方数相同，可得同类二次根式，从而得到方程，解之可得x值． 【详解】解：∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得：x=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． ( 题型0 7 )分母有理化 1．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为． 所以． 所以，所以． 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是_______，________． (2)化简． (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】浙江省湖州市安吉蓝润天使外国语实验学校2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试卷 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，数字的变化类和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）根据已知算式得出规律再利用规律进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ， 故答案为：；； （2）解：∵（为正整数）， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．(23-24八下·浙江杭州保俶塔实验学校·期中)小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【答案】(1)①；②2 (2)22 【来源】浙江省杭州市保俶塔实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题中所给方法可进行求解； ②根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：（1）①； ② ； （2）解： ． 3．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)按要求解下列问题： (1)计算：； (2)若，求代数式：的值． 【答案】(1)； (2)． 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减法、完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及二次根式加减法的运算法则. （1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算求解即可. （2）用完全公式和进行化简，再进行二次根式的加减法运算求解即可. 【详解】（1）解： （2） ， 又∵， ∴原式 ． 4．(23-24八下·浙江金东实验中学教育集团·期中)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有,这样可以把部分的式子化为平方式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当m、n均为正整数，若，则__________,__________． (2)当a、b、m、n均为正整数时，若,用含m、n的式子分别表示a、b,得：__________，__________． (3)化简． 【答案】(1) (2)   (3) 【来源】浙江省金东实验中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质是解题的关键． （1）根据，再由等式的性质求、的值即可； （2）根据，再由等式的性质求、的值即可； （3）根据完全平方公式可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）， ，， 古答案为：，； （3） ． . 5．(23-24八下·浙江金华义乌义乌雪峰中学·期中)阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【来源】浙江省金华市义乌市义乌市雪峰中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据阅读材料中的方法，分母有理化求解即可得到答案； （2）将恒等变形，再由（1）中得到的，代入代数式，利用二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由（1）知，， ． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及分母有理化、平方差公式、代数式化简求值、二次根式混合运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化方法，熟练运用二次根式混合运算法则求解是解决问题的关键． ( 题型0 8 )已知字母的值，化简求值 1．(24-25八下·浙江杭州·期中)先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【来源】浙江省杭州市2024-2025学年下学期八年级数学期中模拟测试卷 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 2.(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)已知，求的值． 【答案】 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和如何把二次根式化成最简二次根式．把，的值代入所求代数式，然后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， ． 3．(23-24八下·浙江台州临海第六教研区·期中)阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)2024． 【来源】浙江省台州市临海市第六教研区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、求代数式的值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式配方变形后，然后再代入计算即可； （2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ， ∴ ． 4．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)________的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)，2030． 【来源】浙江省宁波市北仑区精准联盟2023-2024年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简与化去绝对值的方法是解题关键． （1）原式，根据的符号化去绝对值可判断小亮解法出现问题； （2）原式，根据的符号化去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）解： ， ∵， ， ∴原式． 5．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)已知，，求代数式的值． 【答案】9 【来源】浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二次根式化简求值．先把所求式子变形，再将，的值代入计算即可． 【详解】解：，， ． 6．(21-22八下·浙江金华义乌宾王中学·期中)（1）计算：；           （2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值． 【答案】（1）；（2）2 【来源】浙江省金华市义乌市宾王中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）先化简二次根式，再加减即可； （2）先将a的分母有理化和对进行变形，再代入计算即可． 【详解】（1）原式＝4﹣+3× ＝4﹣+ ＝4； （2）∵a＝＝＝， ∴a−1＝， ∴3a2−6a﹣1 ＝3（a2−2a+1）﹣4 ＝3（a−1）2−4 ＝3×（）2−4 ＝3×2﹣4 ＝6﹣4 ＝2． 【点睛】考查二次根式的化简求值，解题关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点． 7．(20-21八下·浙江宁波鄞州区横溪、东吴、咸祥等联考·期中)（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）﹣2． 【来源】浙江省宁波市鄞州区横溪、东吴、咸祥等联考2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）先把二次根式化简为最简二次根式，然后合并； （2）先利用因式分解得到原式，再把的值代入，然后利用平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）原式， 故答案为：； （2）， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：考生要注意二次根式的化简求值一定要先化简再代入求值． ( 题型0 9 )比较二次根式的大小 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 2．(20-21八下·浙江台州临海邵家渡·期中)已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【来源】浙江省台州市临海市邵家渡2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 3．(21-22八下·浙江温州第十二中学·期中)比较大小（填“<”、“大于”或“=”）： ． 【答案】 【来源】浙江省温州市第十二中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据二次根式的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题关键． 4．(20-21七上·浙江金华义乌公学·期中)比较大小：-3 -； 【答案】 【来源】浙江省金华市义乌公学2020-2021学年七年级上学期期中数学试题 【分析】先把-3变为9的算术平方根的相反数，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行比较． 【详解】∵，， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：根据二次根式的性质，把根号外的因数移到根号内，然后比较被开方数的大小． 5．(20-21七上·浙江绍兴新昌县·期中)比较大小：2 3； ． 【答案】 【来源】浙江省绍兴市新昌县2020-2021学年七年级上学期期中数学试题 【分析】（1）将算术平方根外的数字移到平方根内，再进行比较； （2）将两个分数通分成同分母，绝对值越大的负数反而越小． 【详解】（1） ， 故答案为：<； （2） 故答案为：>． 【点睛】本题考查实数的大小比较等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．(24-25七上·浙江杭州余杭区·期中)（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【来源】浙江省杭州市余杭区2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 7．（1）用“<”“>”“=”填空：__________ （2）由上可知：①________；②_________ （3）计算：（结果保留根号） ． 【答案】（1）＜，＜；（2）；；（3） 【来源】【新东方】 【2021.5.20】【TZ】【初一下】【数学】【TZ0003】 【分析】（1）根据被开方数越大，则算术平方根越大解答； （2）根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0解答； （3）先根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行加减即可得解． 【详解】解：（1）∵1＜2＜3， ∴＜＜； （2）①∵， ∴； ②∵＜， ∴； （3） = =． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质与实数的运算，熟记绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． ( 题型 10 )二次根式的应用 1．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 2．(23-24七上·浙江衢州实验教育集团锦溪校区·期中)把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的周长和是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省衢州市实验教育集团锦溪校区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形周长等．根据题意表示阴影周长计算即可． 【详解】解：由题意知，两块阴影周长可表示为： ， ， ， ， 故选：A． 3．(23-24七上·浙江温州鹿城区第二中学·期中)如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市鹿城区第二中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积为， ∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1， ∴大正方形边长为，重叠部分边长1， ∴空白部分的长为， 设空白部分宽为x，可得：，解得：， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长， ∴小正方形面积， 故选：C． 4．(21-22八上·浙江杭州锦绣育才中学·期末)如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【来源】浙江省杭州市锦绣育才中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决． 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 5．(21-22八下·浙江温州苍南县·期中)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为x= =3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx－n=0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（    ） A．－1 B．+1 C． D．－1 【答案】A 【来源】浙江省温州市苍南县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】把方程变形得到x(x+m)=n，设图中长方形长为x+m，宽为x，则图中小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2，然后进行计算即可． 【详解】解：∵x2+mx－n=0， ∴x(x+m)=n， ∴长方形的长为x+m，宽为x， ∴小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2， ∴x=－1， ∴方程的正数解为－1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决此题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．(23-24七下·浙江温州第二中学·期中)如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ． 【答案】1 【来源】浙江省温州市第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查利用正方形的性质求解一元一次方程和二次根式的混合运算，根据题意可得，设，则，进一步得图2中， ，继而得，列出，解得x，则图2中代入求解即可． 【详解】解：∵边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形． ∴， 设， ∵图1四边形为正方形， ∴， ∵， ∴图2中，则， ∵图2四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，解得， 则图2中， 故答案为：1． 7．(23-24七下·浙江温州新希望学校·期中)将一张周长为的长方形纸条按图1所示进行折叠，得到一个“爱心”图案（如图2）．若“爱心”的水平宽度比竖直高度大，则图1中的长为 ，图2中“爱心”的周长为 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年七年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是掌握折叠的性质．设，，则，得到长方形的长为，宽为，根据长方形的周长为，列方程求出，可得到的值；设与交于点，根据折叠的性质和勾股定理求出、、即可求解． 【详解】解：设，，则， 长方形的长为：， 由折叠可知：， 长方形的宽为：， 长方形的周长为， ， 解得：， ； 设与交于点， 则，， ， ， ，， “爱心”的周长为：， 故答案为：，． 8．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图．如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索道的倾斜角为，长度米，其两端由、两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比是，若点J，L，D恰好在同一直线上，米，则 米． 【答案】 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用，30度的直角三角形的性质，平行线的性质，过点作交于点，交于点，作于点，构造两个的直角三角形，根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点，作于点，如图所示， ∵索道的倾斜角为， ∴ ∵米， ∴（米） 在中，（米）， ∴（米）， ∵这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢 ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米），即米， ∵车厢的宽高之比是， ∴（米） 故答案为： 9．(22-23八下·浙江杭州拱墅区大关中学教育集团·期中)如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么 ， ，两个长方形的面积和 ．    【答案】 / 【来源】浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】依据正方形的面积公式可求及，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即得两个长方形的面积和． 【详解】解：由正方形的面积边长边长， ∴面积为5的正方形的边长为，面积为2的正方形的边长为， ∴，， ∴两个长方形的面积的和为： ． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式的逆运用及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 10．(24-25八下·浙江杭州·期中)某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【来源】浙江省杭州市2024-2025学年下学期八年级数学期中模拟测试卷 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 11．(24-25七上·浙江金华义乌·期中)经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】(1)5秒 (2)米 【来源】浙江省金华市义乌市 2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当米时， 答：落到地面需要5秒； （2）解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 12．(24-25八上·浙江嘉兴平湖八校联考·期中)【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】第一步：见解析；第二步：见解析；（1）见解析；（2）的费马距离为 【来源】浙江省嘉兴市平湖市八校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 13．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解． （1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案； （2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案． 【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积   ； （2）解∶长方体盒子的体积 ． 1．(24-25八上·浙江山海联盟协作学校·期中)如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 【答案】A 【来源】浙江省山海联盟协作学校2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过作于，过作于，求解，，，，延长交于，则，由勾股定理可得：，可得：，，同理可得：，可得：，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故选：A 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)17 【来源】2022-2023学年第二学期浙江省丽水市缙云县缙云实验中学八年级期中考试数学试题 【分析】（1）原式利用二次根式性质及算术平方根定义计算即可求出值； （2）原式利用二次根式性质计算即可求出值； （3）原式利用分母有理化及二次根式性质计算即可求出值； （4）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：∵，， ∴，， 则原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与性质，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．(22-23八上·山西运城盐湖区·期末)阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以，所以 所以，所以，所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是__________，______； 的有理化因式是________，______； (2)若，求的值． 【答案】(1)；；或；； (2)7 【来源】山西省运城市盐湖区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∴； ∵， ∴的有理化因式是或， ∴； 故答案为：；；或；； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定义，是解题的关键． 4．(21-22八上·福建福州福州立志中学·期末)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)______________； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【来源】福建省福州市福州立志中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1） 故答案为： （2）解：原式＝ ； （3）， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 5．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值； (3)的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【来源】2013-2014学年初中数学北师大版八年级上《第二章 实数》练习卷 【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）， （2）原式， （3）原式， ， ， ． 【点睛】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． 6．(20-21九上·重庆梁平区·期末)阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”： 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：   因为，所以 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）的最大值为． 【来源】重庆市梁平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ； （2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值． 【详解】解：（1）， ， 而，， ， ； （2）由，，可知x≥0， ， 当时，有最小值1，则有最大值， 所以的最大值为． 【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． 7．(21-22八上·浙江金华兰溪外国语中学·期中)如图，AB⊥BC，CD⊥BC，且BC=CD=4cm，AB=1cm，点P以每秒0.5cm的速度从点B开始沿射线BC运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒． (1)当t=2时，请直接写出BP和CP的长度． (2)如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？(写出求解过程) (3)如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)BP＝1cm，PC＝3cm； (2)当点P与点Q经过4秒和6秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时，点Q的速度分别是0.25cm/s和0.5cm/s，求解过程见解析； (3)t的值为2或14或4或． 【来源】浙江省金华市兰溪市外国语中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可． （2）分三种情形：当BP＝PC＝BC＝2cm，AB＝CQ＝1cm时； 当点P在点C的左侧，比较靠近点C，当AB＝CP＝1cm，CQ＝BP＝BC－CP＝3cm时；当点P在点C的右侧时．分别分析求解即可； （3）分三种情形：①AD＝DP．②AD＝AP．③PA＝PD，分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：BP＝1cm，PC＝3cm．理由如下： 当t＝2时，BP＝0.5×2＝1cm， ∵BC＝4cm， ∴PC＝BC﹣BP＝4﹣1＝3cm， （2）解：第一种情况，如图③中．当BP＝PC＝BC＝2cm，AB＝CQ＝1cm时， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP≌△QCP（SAS）， ∴t＝＝4s， ∴点Q的速度VQ＝＝0.25cm/s． 第二种情况，如图④，当点P在点C的左侧，比较靠近点C， 当AB＝CP＝1cm，CQ＝BP＝BC－CP＝3cm， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP≌△PCQ（SAS）， ∴t＝＝6（s）， ∴点Q的速度VQ＝＝0.5（cm/s）． 当点P在点C的右侧，如图⑤，AB＝PQ＝1cm，BP＝CQ＝4+1＝5cm＞CD，不合题意． 综上所述．满足条件的点Q的速度为0.25cm/s或0.5cm/s． （3）解：如图⑥中，作AH⊥CD于H．∠AHD＝∠AHC＝90°， ∵∠ABP＝∠PCD＝∠AHC＝ 90°， ∴四边形ABCH是矩形， ∴AB＝CH＝1cm，AH＝BC＝4cm， 在Rt△ADH中， ∵AH＝4cm，DH＝CD﹣CH＝3cm， ∴AD＝ ＝5 cm， 在Rt△ABP中，AB＝1cm，BP＝cm， PA＝， 在Rt△CDP中，CD＝4cm，PC＝（4－）cm， DP＝， ①当AD＝PD时，＝5，解得t＝2或14， ②当AD＝AP时，＝5，解得t＝4或﹣4（舍弃）． ③当PA＝PD时，＝， 解得t＝， 综上所述，满足条件的t的值为2或14或4或． 【点睛】本题考查三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、二次根式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$