专题05 随机变量及其分布（9题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（安徽专用）

专题05 随机变量及其分布 题型概览 经典基础题 题型01事件关系及其判断 题型02条件概率的计算 题型03相互独立事件概率的计算 题型04排列组合与古典概率 题型05分布列及其性质的应用 题型06二项分布及其应用 题型07概率的综合问题 题型08正态分布及其应用 题型09随机变量的期望、方差 能力提升题 ( 题型01 ) 事件关系及其判断 1．（23-24高二下·安徽·期中）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ）． A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（    ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则相互独立 【答案】ACD 【知识点】独立事件的乘法公式、条件概率性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】A选项根据互斥事件的加法公式进行判断，B选项根据类似集合的运算和对立事件进行判断，C选项结合和独立事件乘法公式计算，D选项根据条件概率公式计算. 【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式可得，，A选项正确； B选项，若为互斥事件,故，类似集合的运算：， 由，故B选项不正确； C选项，由于是相互独立事件，故， 于是，C选项正确； D选项：，即，于是相互独立，D选项正确. 故选：ACD. ( 题型02 ) 条件概率的计算 1．（23-24高二下·安徽·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】借助概率乘法公式计算即可得. 【详解】， 故，即. 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽·期中）设事件A，B满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】借助条件概率公式及对立事件的概率公式计算即可得. 【详解】由事件A，B满足，则有， . 故选：B. 3．（23-24高二下·安徽·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】分发送0接收到1和发送1接收到1两种情况，根据条件概率的计算公式可得. 【详解】设“发送的信号为0”，“接收的信号为1”， 则， 因此． 故选：D 4．（23-24高二下·安徽·期中）甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C. 5．（23-24高二下·安徽安庆·期中）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（    ） A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17 【答案】C 【知识点】计算条件概率、乘法公式 【分析】运用概率乘法公式求解即可. 【详解】设表示第次打击后该构件没有受损，， 则由已知可得，， 所以由乘法公式可得，即该构件通过质检的概率是0.68. 故选：C. 6．（2023·安徽·三模）如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有M和正常工作的概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作， 因为并联元件、能正常工作的概率为， 所以，又， 所以． 即只有M和正常工作的概率为. 故选：C． 7．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ． 故选：B. 8．（23-24高二下·安徽六安·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B．事件和事件相互独立 C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、利用全概率公式求概率 【分析】结合条件概率公式、全概率公式与概率的乘法公式，结合相互独立事件的定义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B、C：， ，则， ，故B错误，C正确； 对D：，故D错误. 故选：C. 9．（多选）（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】概率的基本性质、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得. 【详解】随机事件A，B相互独立，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 10．（多选）（23-24高二下·安徽芜湖·期中）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】依题意得到，，，，，，再由全概率公式求出，即可判断B、C，根据独立事件的概念判断A，利用条件概率公式判断D． 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有4个红球，3白球，3黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有3个红球，4白球，3黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有3个红球，3白球，4黑球，此时． 所以，故B正确； ， ， ，故C正确； 因为，即与不独立，故A错误； ，故D错误． 故选：BC. 11．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（    ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 【答案】AD 【知识点】独立事件的判断、计算条件概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据，是互斥事件可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，A正确； 对于B，，， ，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 12．（23-24高二下·安徽·期中）一个盒子里装有种颜色，大小形状质地都一样的个球，其中黄球个，蓝球个，绿球个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， 事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 13．（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【答案】(1) (2)它分别是第1，2，3台机器生产的概率为，， 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解； （2）利用条件概率，结合贝叶斯公式，即可求解． 【详解】（1）任取一个芯片是次品的概率为：， 则它是正品的概率为：； （2）次品是第1台机器生产的概率为：； 次品是第2台机器生产的概率为：， 次品是第3台机器生产的概率为：． ( 题型03 ) 相互独立事件概率的计算 1．（23-24高二下·安徽合肥·期中）甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是，，那么只有一人解答对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘法公式 【分析】根据独立事件概率公式，即可求解. 【详解】只有1人答对的概率. 故选：B ( 题型04 ) 排列组合与古典概率 1．（23-24高二下·安徽·期中）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】先求其对立事件的概率，再用减去其对立事件的概率即为所求 【详解】解析：所求概率 故选：D 2．（23-24高二下·安徽·期中）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲､乙两人在处相遇的概率为 D．甲､乙两人相遇的概率为 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】分析甲从到达处以及甲从必须经过到达处的走法，结合组合知识，可判断A，B；计算出甲､乙两人在处相遇的走法种数，根据古典概型的概率公式即可判断C；分类考虑甲､乙两人相遇的地点，计算出相应的走法数，根据古典概型的概率公式即可判断D. 【详解】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走， 则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误； B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步， 其中1步向右走，2步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种， 故甲经过到达N的方法数为种，B选项错误； C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， ∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确； D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走， 乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种； 若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走， 乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走， ∴两人在处相遇的走法种数为种； 若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种； 故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误， 故选：C． 3．（23-24高二下·安徽·期中）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题 【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲，乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人， 当分为3,1,1人时，有种实习方案， 当分为2,2,1人时，有 种实习方案， 所以共有种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 ， 故答案为： 4．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动5次后还在底面ABC的概率为 ; 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、等比数列的简单应用 【分析】设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，则，根据题意得底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，得到，进而得到是等比数列，求得数列的通项公式，即可求解. 【详解】设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，则， 当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率. 由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为， 所以，得，又， 所以是等比数列，首项为，公比为，故， 整理得，所以. 故答案为：. ( 题型0 5 ) 分布列及其性质的应用 1．（23-24高二下·安徽·期中）若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 【答案】C 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列可得P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，即可确定m的取值范围. 【详解】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8， 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]． 故选：C 2．（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量X的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质有，可求的值. 【详解】由分布列的性质，得，即，解得或， 当时，，不符合分布列的性质，所以. 故选：C. ( 题型0 6 ) 二项分布及其应用 1．（23-24高二下·安徽·期中）若随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】直接利用二项分布的概率公式求解. 【详解】由二项分布的概率公式得. 故选：A 2．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 【答案】D 【知识点】利用二项分布求分布列、二项展开式的应用、判断数列的增减性 【分析】结合概率基本性质可判断A项，由二项分布概率通项公式可求得、即可判断B项，结合二项式定理展开式可得，分别研究与时的单调性可判断C项、D项. 【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，故A项正确； 对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布， 则， 所以，， 所以，故B项正确； 对于C选项、D选项，， 当时，为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大，故C项正确， 当时，为正负交替的摆动数列，故D项不正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·安徽淮南·期中）有一枚质地不均匀的游戏币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的4倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为 ． 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】利用相互独立事件概率公式和二项分布概率公式求解． 【详解】设一枚质地不均匀的游戏币随机抛掷一次，得到正面的概率为，则， 由，得， 随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为：． 故答案为：． ( 题型0 7 ) 概率的综合问题 1．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（      ） A．从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为 B．从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为 C．从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为 D．从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为 【答案】AC 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】结合古典概型和相互独立事件的概率公式对选项逐一判断即可. 【详解】设“从甲箱中不放回地取球，第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则，，∴，A答案正确； 对于B选项，，B答案错误； 对于C选项，抽到红球的次数，三次抽到红球的概率为，C答案正确； 对于D选项，抽到红球的个数服从超几何分布，，D答案错误． 故选:AC． 2．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 【答案】CD 【知识点】由随机变量的分布列求概率、独立事件的乘法公式 【分析】对ABCD，分析出满足各自选项的所有情况，再利用独立事件的乘法公式一一判断即可. 【详解】对于A，且甲获得冠军有两种情况:且甲获得冠军，且甲获得冠军， 且甲获得冠军表示甲连胜三场，且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以且甲获得冠军的概率为，故A错误; 对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜， 第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜， 所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为，故B错误; 对于C，包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军， 所以，故C正确； 对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况： 第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜， 所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为， 因为为，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军，故D正确. 故选：CD. ( 题型0 8 ) 正态分布及其应用 1．（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量，则（    ） 注：若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的性质求出和即可求出. 【详解】因为，即，， 所以， ， 所以. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是减函数 D． 【答案】AB 【知识点】特殊区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的性质判断A、B、D，由正态曲线的性质及函数单调性的定义判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 若，则， 所以，故B正确； 当增大时也增大，所以在上是增函数，故C错误； 因为，， 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误. 故选：AB 3．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量服从正态分布（100，100），则下列结论正确的是（    ） （若随机变量服从正态分布，则， A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的意义及法则可得结果 【详解】由随机变量得： 正态分布曲线关于直线对称，且， , 所以， ， ， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC. ( 题型0 9 ) 随机变量的期望、方差 1．（23-24高二下·安徽·期中）若随机变量的分布列如表，且，则的值为（    ） 0 2 A．9.2 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】方差的性质 【分析】由概率之和等于1得出，求出方差，并由方差性质求解即可. 【详解】由题意可得：，解得，因为，所以， 解得．所以． 所以． 故选：C 2．（23-24高二下·安徽·期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、独立重复试验的概率问题、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解. 【详解】设事件在每次试验中发生的概率为，则， 因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得， 所以，所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】根据概率之和为，以及方差公式，即可解得和，进而利用方差公式直接求解即可. 【详解】由题知，， 又， 所以， 所以，， 所以. 故选：B 4．（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 【答案】B 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得， 又由，解得. 故选：B. 5．（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】分别计算出发球1次、2次、3次所对应的概率，然后计算数学期望进行判断计算即可. 【详解】根据题意，发球次数为1的概率为， 发球次数为2的概率， 发球次数为3的概率， 则， 解得或，由可得. 故选：C. 6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可． 【详解】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，，，， 所以． 故选：D. 7．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有 A． B．， C．， D．， 【答案】ACD 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值. 【详解】因为，所以，故A正确； 又， ，故C正确；因为，所以，，故D正确. 故选ACD. 【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，. 8．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（    ） 1 3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先利用分布列的性质求得，进而求得，从而得解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得，解得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 9．（23-24高二下·安徽·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，则m的值为 . 【答案】14 【知识点】二项分布的均值 【分析】利用计算即可. 【详解】由题意，知，则，解得. 故答案为：14 【点睛】本题考查二项分布的期望，考查学生对常见分布的期望公式的掌握情况，是一道容易题. 10．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知随机变量，，则 . 【答案】 【知识点】二项分布的方差、方差的性质、二项分布的均值 【分析】借助二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质计算即可得. 【详解】由，故，则， 则. 故答案为：. 11．（23-24高二下·安徽滁州·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的均值 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 1．（23-24高二下·安徽·期中）某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺产 件数 2 27 30 80 36 22 3 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品． （1）判断生产线是否出现异常，并说明理由； （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差． 附：若随机变量X服从正态分布，则，， 【答案】（1）生产线出现异常，理由见解析；（2）数学期望为，方差为． 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据题意，得到正常产品尺寸范围是，求出正常情况下次品的数量，根据题中条件，即可得出结果； （2）先由题意，求出该生产线的次品率，记这3件产品中次品数为，则服从二项分布，，根据二项分布的期望和方差的计算公式及性质，即可得出结果. 【详解】（1）依题意，有，，所以正常产品尺寸范围是， 又件，超出正常范围以外的零件数为5件，故生产线出现异常． （2）依题意，尺寸在以外就是次品，故次品率为． 记这3件产品中次品数为，则服从二项分布，， 则，， 所以X的数学期望是（元）， 方差是． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下： ①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品. ②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响. (1)学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为，，，求学生甲答对所选试题的概率； (2)学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为，，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用全概率公式求概率、利用二项分布求分布列、计算条件概率 【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可； （2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可. 【详解】（1）设学生甲选1道“历史类”试题为事件A，选1道“数学类”试题为事件B，选1道“生活类”试题为事件C，答对试题为事件D， 则，，， ，，， 所以：， 故学生甲答对所选试题的概率为. （2）由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为， 在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为， 故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：. 3．（23-24高二下·安徽·期中）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的均值、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据超几何分布概率公式和二项分布概率公式求概率，然后可得分布列； （2）分别求两人猜中谜语道数的期望，根据期望列不等式即可求解. 【详解】（1）设小张猜中谜语的道数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为2，3，4． 有，，， 故小张猜中谜语道数的分布列为 2 3 4 设小王猜中谜语的道数为，可知随机变量服从二项分布的取值分别为0，1，2，3，4， 有， ， ， ， ． 故小王猜中谜语道数的分布列为 0 1 2 3 4 （2）由（1）可知， 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得． 4．（23-24高二下·安徽·期中）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球. (1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率; (2)现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为,求的分布列和数学期望. 【答案】（1）（2）见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由独立事件的概率公式即可得到答案； （2）的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算概率，于是得到分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，抽到红球是偶数的概率为，抽到黑球是偶数的概率为 因为两次抽取是相互独立事件， 所以由独立事件的概率公式，得抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为 （2）由题意，的所有可能取值为0,1,2,3 故的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望为 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率计算，分布列以及数学期望，意在考查学生的分析能力，转化能力及计算能力. 5．（23-24高二下·安徽·期中）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算公式和古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）由题意得到随机变量的可能取值为，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列； （3） “一次取球所得计分介于20分到40分之间记为事件C，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件即为， 则. （2）解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得；； ； 可得随机变量的概率分布列为： X 2 3 4 5 P （3）解：“一次取球所得计分介于20分到40分之间记为事件C， 则． 6．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中. (1)甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望. 【答案】(1)乙进入半决赛的可能性最大 (2) (3)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入半决赛的概率，即可求解； （2）由甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率，结合列出方程，即可求解； （3）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，甲队进入半决赛的概率为，乙队进入半决赛的概率为， 丙队进入半决赛的概率为， 因为，所以， 显然乙队进入半决赛的概率最大，所以乙进入半决赛的可能性最大. （2）解：因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率为， 所以，解得或， 因为，所以. （3）解：由题意可知：甲、乙、丙三队进入半决赛的概率分别为， 且随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以的分布列为: 0 1 2 3 P 所以，期望为. 7．（23-24高二下·安徽·期中）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）； (2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布 （i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）； （ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由. 参考数据： ①； ②若，则 【答案】(1)7.33 (2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析. 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、独立重复试验的概率问题、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可； （2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可. 【详解】（1）由可得中位数在区间内， 设中位数为，则，解得； （2）（i）由可得， 则，只； （ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验， 设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则， 所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常. 8．（23-24高二下·安徽·期中）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为. (1)当时，求 (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值. 【答案】(1) (2)1250 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）根据二项分布公式计算； （2）运用二项分布公式算出 和 ，再根据题意求出 中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解. 【详解】（1）由已知， 所以 ； （2）由已知，所以， 若，则，即， 即. 由切比雪夫不等式， 要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则， 解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250； 综上， ，估计信号发射次数的最小值为1250. 9．（23-24高二下·安徽·期中）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】(1)人 (2)分布列见解析； (3) 【知识点】超几何分布的分布列、利用二项分布求分布列、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. 【详解】（1）， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； （2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； （3），理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 10．（23-24高二下·安徽·期中）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表． (1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率； (2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率； （2）设事件表示抽取到第个档案袋，，设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率． 【详解】（1）（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表， 选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数， 从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为， 从中抽到两名男生报名表的概率． （2）设事件表示抽取到第个档案袋，，设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生， 则，，，， 抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为： ． 11．（23-24高二下·安徽·期中）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果； （2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列. 【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件， 则； （2）由题意可知的可能取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 12．（23-24高二下·安徽宿州·期中）某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目. ①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率； ②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；② 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分析题意，X为该班获得决赛资格的同学个数，因此需要分别计算出甲和乙进入决赛的概率和. 进入决赛的人数，求出概率，列出分布列，利用期望计算公式得到期望. （2）能够直接计算出的是甲取到道选择题的概率()，以及分别在甲抽取道选择题条件下乙再抽取到选择题的概率，利用全概率公式和条件概率公式、乘法公式，可以得到①、②两问的结果. 【详解】（1）甲获得决赛资格的概率， 乙获得决赛资格的概率. 由题意得， ； ； . 的分布列为： 0 1 2 . （2）设事件“甲取到道选择题”，；事件“乙取到第一题是选择题”. ，，. ，，. ①由全概率公式可得：. ②由条件概率公式和乘法公式可得：. 13．（23-24高二下·安徽·期中）甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响. (1)求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率； (2)记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得甲只参与一轮比赛的概率. （2）首先计算出“梦想队”一共猜对首歌名、首歌名的概率，然后利用对立事件概率计算公式，求得“梦想队”一共猜对首歌名的概率，由此求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）依题意，每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同， 甲只参与一轮比赛，即“参加第一轮，不参加第二轮”或“不参加第一轮，参加第二轮”， 所以甲只参与一轮比赛的概率为. （2）每轮由两人选一人参赛，每次参赛结果有两种，，所以： ； ； . 的分布列为 0 1 2 . 14．（23-24高二下·安徽·期中）我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为. (1)求; (2)若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)7 【知识点】错位相减法求和、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可； （2）利用错位相减法求取的家庭数不超过的概率，再结合数列的单调性求解即可. 【详解】（1）. （2）因为. 所以抽取的家庭数不超过的概率为， 即，， 两式相减，得 所以. 由，得， 令，则.， 所以，所以数列是递减数列， 因为， 所以整数的最小值是7. 15．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)，， 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的方差、二项分布的均值、超几何分布的均值 【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望. （2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得. 【详解】（1），，，， 故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线， 则的所有可能取值为、、， ， ， ， 则其分布列为： 则； （2）由题意可得， 则 ， ，. 16．（23-24高二下·安徽淮南·期中）大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． (1)求甲两题均选择A类试题作答的概率； (2)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为. 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，得到的分布列，再结合期望公式求解． 【详解】（1）若甲第1题选择类试题作答并且答错，则第2题选择类试题作答的概率， 若甲第1题选择类试题作答并且答对，则第2题选择类试题作答的概率， 故甲2题均选择类试题作答的概率； （2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 则． 17．（23-24高二下·安徽·期中）已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，. (1)求此三人闯过此关的概率； (2)若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解； （2）分析可知的可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【详解】（1）因为三人答对此题的概率分别为，，，则三人答错此题的概率分别为，， 且三人闯过此关的对立事件为三人均答错， 所以三人中至少一人答对此题的概率为. （2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3， 此三人闯此关时没有人答对题目的概率； 此三人闯此关时只有1人答对题目的概率； 此三人闯此关时有2人答对题目的概率； 此三人闯此关时有3人答对题目的概率； 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 18．（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为： 0 1 2 n 其中（）满足：，且．定义由生成的函数，令． （I）若由生成的函数，求的值； （II）求证：随机变量的数学期望， 的方差； （）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值． 【答案】(1);(2)详见解析;(3)441. 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、写出简单离散型随机变量分布列 【详解】试题分析：本题为新定义信息题，根据知： ，而，则 ；根据数学期望公式写出 ，由于，求出的表达式，根据方差公式写出 并推到证明；第三步写出的取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数 并求出的值. 试题解析：（I） ． （II）由于， ， 所以． 由的方差定义可知 由于，所以有 ，这样 ，所以有 ． （III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为： ． 投掷骰子两次次对应的生成函数为: ． 所以． 方法2：的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．     则的分布列为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ． 则 ． 19．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知正四面体的四个面分别标注有字母，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等． (1)若每次抛掷时标注有的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率； (2)若每次抛掷标注有或的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数． ①求； ②要使得在次内（含次）结束试验的概率不小于，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②6． 【知识点】判断数列的增减性、裂项相消法求和、独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）分析事件，可得部分二项分布求概率； （2）利用（1）的解法来求出概率，然后利用裂项相消法来求和，最后用数列递推思想得出数列单调性，从而赋值求解最小值. 【详解】（1）因为共抛掷了4次，结束试验时恰好成功3次，说明前3次成功了2次且第4次成功， 所以． （2）①由题意可知，， 所以； ②由①可知，所以． 令， 则，所以单调递减． 又，，所以当时，，则的最小值为6． 【点睛】方法点睛：在求时，利用了裂项相消法，即. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 随机变量及其分布 题型概览 经典基础题 题型01事件关系及其判断 题型02条件概率的计算 题型03相互独立事件概率的计算 题型04排列组合与古典概率 题型05分布列及其性质的应用 题型06二项分布及其应用 题型07概率的综合问题 题型08正态分布及其应用 题型09随机变量的期望、方差 能力提升题 ( 题型01 ) 事件关系及其判断 1．（23-24高二下·安徽·期中）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ）． A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 2．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（    ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则相互独立 ( 题型02 ) 条件概率的计算 1．（23-24高二下·安徽·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽·期中）设事件A，B满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51 4．（23-24高二下·安徽·期中）甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于 A． B． C． D． 5．（23-24高二下·安徽安庆·期中）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（    ） A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17 6．（2023·安徽·三模）如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽六安·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B．事件和事件相互独立 C． D． 9．（多选）（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（23-24高二下·安徽芜湖·期中）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 11．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（    ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 12．（23-24高二下·安徽·期中）一个盒子里装有种颜色，大小形状质地都一样的个球，其中黄球个，蓝球个，绿球个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个黄球，一个蓝球”，则 . 13．（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． ( 题型03 ) 相互独立事件概率的计算 1．（23-24高二下·安徽合肥·期中）甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是，，那么只有一人解答对的概率是（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 排列组合与古典概率 1．（23-24高二下·安徽·期中）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽·期中）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲､乙两人在处相遇的概率为 D．甲､乙两人相遇的概率为 3．（23-24高二下·安徽·期中）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 . 4．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动5次后还在底面ABC的概率为 ; ( 题型0 5 ) 分布列及其性质的应用 1．（23-24高二下·安徽·期中）若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 2．（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量X的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D．或 ( 题型0 6 ) 二项分布及其应用 1．（23-24高二下·安徽·期中）若随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 3．（23-24高二下·安徽淮南·期中）有一枚质地不均匀的游戏币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的4倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为 ． ( 题型0 7 ) 概率的综合问题 1．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（      ） A．从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为 B．从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为 C．从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为 D．从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为 2．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 ( 题型0 8 ) 正态分布及其应用 1．（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量，则（    ） 注：若，则. A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是减函数 D． 3．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量服从正态分布（100，100），则下列结论正确的是（    ） （若随机变量服从正态分布，则， A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 随机变量的期望、方差 1．（23-24高二下·安徽·期中）若随机变量的分布列如表，且，则的值为（    ） 0 2 A．9.2 B．5 C．4 D．1 2．（23-24高二下·安徽·期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 5．（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 7．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有 A． B．， C．， D．， 8．（多选）（23-24高二下·安徽·期中）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（    ） 1 3 A． B． C． D． 9．（23-24高二下·安徽·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，则m的值为 . 10．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知随机变量，，则 . 11．（23-24高二下·安徽滁州·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 1．（23-24高二下·安徽·期中）某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺产 件数 2 27 30 80 36 22 3 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品． （1）判断生产线是否出现异常，并说明理由； （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差． 附：若随机变量X服从正态分布，则，， 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下： ①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品. ②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响. (1)学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为，，，求学生甲答对所选试题的概率； (2)学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为，，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率. 3．（23-24高二下·安徽·期中）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围． 4．（23-24高二下·安徽·期中）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球. (1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率; (2)现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为,求的分布列和数学期望. 5．（23-24高二下·安徽·期中）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率． 6．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中. (1)甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望. 7．（23-24高二下·安徽·期中）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图 (1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）； (2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布 （i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）； （ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由. 参考数据： ①； ②若，则 8．（23-24高二下·安徽·期中）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为. (1)当时，求 (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值. 9．（23-24高二下·安徽·期中）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 10．（23-24高二下·安徽·期中）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表． (1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率； (2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率． 11．（23-24高二下·安徽·期中）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响． (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； (2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列． 12．（23-24高二下·安徽宿州·期中）某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目. ①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率； ②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率. 13．（23-24高二下·安徽·期中）甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响. (1)求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率； (2)记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望. 14．（23-24高二下·安徽·期中）我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为. (1)求; (2)若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值. 15．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 16．（23-24高二下·安徽淮南·期中）大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． (1)求甲两题均选择A类试题作答的概率； (2)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 17．（23-24高二下·安徽·期中）已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，. (1)求此三人闯过此关的概率； (2)若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望. 18．（23-24高二下·安徽·期中）已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为： 0 1 2 n 其中（）满足：，且．定义由生成的函数，令． （I）若由生成的函数，求的值； （II）求证：随机变量的数学期望， 的方差； （）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值． 19．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知正四面体的四个面分别标注有字母，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等． (1)若每次抛掷时标注有的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率； (2)若每次抛掷标注有或的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数． ①求； ②要使得在次内（含次）结束试验的概率不小于，求的最小值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$