专题03 一元二次方程基础（考点清单，2考点7题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

清单03 一元二次方程基础 （2个考点梳理+7种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 一元二次方程 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 清单02 一元二次方程的根 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 【扩展】关于一元二次方程根的结论： 1）若a+b+c=0，则必有一个根x = 1，反之也成立； 2）若a-b+c=0，则必有一个根x = -1，反之也成立； 3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0，反之也成立. 【考点题型一】识别一元二次方程（） 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）下列方程中：①．②．③．④，是一元二次方程的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点题型二】根据一元二次方程的定义求参数（） 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 5．（22-23九年级上·云南保山·期末）如果关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 6．（22-23八年级下·浙江丽水·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 7．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【考点题型三】根据一元二次方程的定义求取值范围（） 8．（22-23九年级上·江西赣州·期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（                  ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·河南漯河·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024八年级下·浙江·专题练习）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【考点题型四】由一元二次方程的一般形式识别系数（） 11．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【考点题型五】由一元二次方程的一般形式求字母的值（） 14．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．4或 15．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 16．（2022九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ． 【考点题型六】由一元二次方程的解求参数或代数式的值（） 17．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 18．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若是关于的方程的解，则的值为 ． 19．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B． C．2023 D．2025 20．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x的一元二次方程，其中m为常数． (1)若是方程的一个根，求m的值； (2)当时，求该方程的根； (3)若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【考点题型七】一元一次方程与一元二次方程的综合（） 21．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程．(2)是关于的一元二次方程． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【命题预测】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为(   ) A． B．2 C．2或 D．4或 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·四川成都·期中）将一元二次方程化为一般形式（，，，为常数），其中的值是（    ） A． B． C．6 D．18 6．（21-22八年级下·浙江嘉兴·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 8．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知是方程的一个根，试求的值 ． 9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知为方程的根，那么的值为 ． 10．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 . 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元二次方程基础 （2个考点梳理+7种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 一元二次方程 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 清单02 一元二次方程的根 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 【扩展】关于一元二次方程根的结论： 1）若a+b+c=0，则必有一个根x = 1，反之也成立； 2）若a-b+c=0，则必有一个根x = -1，反之也成立； 3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0，反之也成立. 【考点题型一】识别一元二次方程（） 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即可． 【详解】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程 A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是， ∴A是一元二次方程，符合题意； B、整理得：，是一元一次方程，不符合题意； C、方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、是一元三次方程，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）下列方程中：①．②．③．④，是一元二次方程的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②是一元一次方程，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不是一元二次方程； ④是一元二次方程； 所以是一元二次方程的有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【考点题型二】根据一元二次方程的定义求参数（） 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·云南保山·期末）如果关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，得到，，求解即可得出m的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ， 或， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件． 6．（22-23八年级下·浙江丽水·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，x的最高次数是2，且二次项系数不等于0，从而得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件． 7．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 【考点题型三】根据一元二次方程的定义求取值范围（） 8．（22-23九年级上·江西赣州·期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（                  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 9．（22-23九年级上·河南漯河·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，根据方程的定义，即可得到结果 【详解】∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握方程的概念是解决问题的关键 10．（2024八年级下·浙江·专题练习）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 【考点题型四】由一元二次方程的一般形式识别系数（） 11．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 12．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【考点题型五】由一元二次方程的一般形式求字母的值（） 14．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 15．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 【答案】D 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 16．（2022九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多形式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为：，得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程为：， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【考点题型六】由一元二次方程的解求参数或代数式的值（） 17．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选C． 18．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 19．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B． C．2023 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：C． 20．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x的一元二次方程，其中m为常数． (1)若是方程的一个根，求m的值； (2)当时，求该方程的根； (3)若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】(1) (2)，； (3)；． 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将代入原方程即可求出的值； （2）根据公式法即可求出方程的根； （3）根据根的判别式求求出的取值范围，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：是该方程的一个根， ， 解得：； （2）当时，原方程为， ， 或， ，； （3）方程有实数根， ， 解得， 为正整数， ， 原方程为， ， ． 【考点题型七】一元一次方程与一元二次方程的综合（） 21．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1) (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 【命题预测】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为(   ) A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，根据题意，得到且，求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是． 【详解】关于的一元二次方程有一个根是， ， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、化简后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（22-23九年级上·四川成都·期中）将一元二次方程化为一般形式（，，，为常数），其中的值是（    ） A． B． C．6 D．18 【答案】A 【分析】将一元二次方程转化为一般形式，再进行判断即可． 【详解】解：， 整理，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式．正确将方程转化为一般式，是解题的关键． 6．（21-22八年级下·浙江嘉兴·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴方程的一般形式为： 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0， ∴方程的一个解的范围为． 故选：B． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知是方程的一个根，试求的值 ． 【答案】2009 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了理解方程解的含义，把代入得，利用方程进行等式变形即可求解． 【详解】解：把代入得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$