培优专题 一元一次不等式(组)与一次函数 02 数形结合（知识盘点+5题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 一元一次不等式与一次函数 02 数形结合 一次函数与一元一次不等式的联系 用函数思想解一元一次不等式： 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） ①根据解析式解不等式：函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集； ②根据图象解不等式：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集 如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 【答案】 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得：当时，，y随着x的增大而减小，根据数形结合求解即可． 解：由图象得：当时，，y随着x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质． 先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点，即当时，，即可判断②；由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为．故②正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方， ∴当时，．故③正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方， ∴当时，．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A 【利用函数图象解一元一次不等式拓展】 = 类比一次方程与一次函数的关系:直线=与直线的交点的横坐标即为方程的解，得出一元一次不等式与一次函数的关系： ①不等式（）的解集就是: 直线=在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. ②如图，的解：；的解：(表示点P的横坐标) 如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤 ·法一：变形为ax+b＞0或ax+b＜0再根据y=ax+b（a≠0）的图象解不等式 ①将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； ②画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； ③根据函数图像确定对应不等式的解集. ·法二：数形结合，根据不等式：，找到对应的两个一次函数，再根据其图象的交点写出x的解。 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求点A，点B的坐标； (3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2)， (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可确定函数解析式； （2）根据（1）中两个函数的解析式即可得出A、B两点的坐标； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点代入， 得，解得， 将点代入，得，解得， ∴这两个函数的解析式分别为和. （2）∵在中，令，得， ∴， ∵在中，令，得， ∴； （3）由函数图象可知，当时，， 故关于x的不等式的解集为． 由直线与坐标轴的交点求不等式的解 例1．如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 【答案】 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得：当时，，y随着x的增大而减小，根据数形结合求解即可． 解：由图象得：当时，，y随着x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 由直线与坐标轴的交点求区间最值 例2．已知一次函数，其中k≠﹣1． （1）若点（﹣1，2）在的图象上，则k的值是______． （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求的函数表达式． 【答案】（1）0；（2）的函数表达式为＝4x﹣3或＝﹣x+7；（3）k＞﹣2 【分析】（1）把（-1，2）代入=（k+1）x-2k+3中可求出k的值； （2）讨论：当k+1＞0，即k＞-1时，根据一次函数的性质得到x=3时，y=9，然后把（3，9）代入=（k+1）x-2k+3中求出k得到此时一次函数解析式；当k+1＜0，即k＜-1时，利用一次函数的性质得到x=-2时，y=9，然后把（-2，9）代入=（k+1）x-2k+3中求出k得到此时一次函数解析式； 解：（1）解：∵点（﹣1，2）在的图象上， ∴﹣（k+1）﹣2k+3＝2， 解得k＝0； 故答案为：0． （2）解：当k+1＞0，即k＞﹣1时，则x＝3时，y＝9， 把（3，9）代入＝（k+1）x﹣2k+3得3（k+1）﹣2k+3＝9，解得k＝3，此时一次函数解析式为＝4x﹣3； 当k+1＜0，即k＜﹣1时，则x＝﹣2时，y＝9， 把（﹣2，9）代入＝（k+1）x﹣2k+3得﹣2（k+1）﹣2k+3＝9，解得k＝﹣2，此时一次函数解析式为＝﹣x+7； 综上，的函数表达式为＝4x﹣3或＝﹣x+7． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 【变式2-1】已知一次函数； （1）画出函数的图象； （2）当x为何值时，？ （3）当时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ 【答案】（1）见分析；（2）；（3），当时，y取最大值7 【分析】（1）根据一次函数y＝﹣2x+3，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象； （2）列出不等式即可求解． （3）根据函数解析式得出用含y的式子表示x的式子，列出不等式即可求解． 解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+3的图象是一条直线， 当x＝0时，解得y＝3；当y＝0时，解得x＝， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是（0，3）和（，0）， 其图象如下： （2）由题意得，，解得， 当x＜时，． （3）∵y＝﹣2x+3， ∴用含y的式子表示x得：， 又∵﹣2≤x≤3， ∴， 解得：﹣3≤y≤7． ∵－2＜0， ∴当时，y取最大值7． 【点拨】本题考查一次函数的图象画法和性质，一次函数与不等式的关系，解题关键是明确一次函数图象是一条直线，能熟练运用不等式的知识求变量的取值范围． 【解题关键】在x的范围给出时，可根据函数关系和解不等式来求因变量范围和最值：①根据函数解析式用含y的式子表示x；②根据x的范围列出不等式；③解不等式求y的范围；④根据x的取值确定y的最值. ※【变式2-2】在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 根据两条直线的交点求不等式的解集（重难点） 例3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出的解集__________． 【答案】（1），；（2）； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）根据函数图象写出一次函数在的上方的自变量取值范围，即可求解． 解：（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵两直线交点， 根据图象，的解集为， 故答案为：． 【解题关键】①明确不等式中的两个一次函数；②将不等式中的大小关系转化为两个一次函数图象的位置关系：大的函数值其对应的图象部分在上方. 【变式3-1】如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用函数图像求一元一次不等式的解集，确定点坐标是解题关键．首先将点代入函数，求解即可获得点坐标，然后结合图像即可获得答案． 解：将点代入函数， 可得，解得， ∴， 结合图像可知，不等式的解集是． 故答案为：． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的表达式． （2）观察图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图象交点问题，利用函数图象解不等式，求出点C的坐标是解题的关键． （1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图象找到一次函数图象在正比例函数图象下方的部分即可得到答案． 解：（1）解：∵函数与函数的图象交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得： ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可得，当时，函数的图象在函数的图象的下方， ∴，即的解集是． 【变式3-3】如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 【变式3-4】如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求，，的值； （2）直接写出不等式组的解集：_____________； 【答案】（1），，；（2） 【分析】此题考查一次函数的图像和性质，以及两直线相交问题，解决此类题目的关键是灵活运用待定系数法求函数的解析式，进而利用图形的面积确定点的坐标． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由图可得时，在点的右侧，而当时，，由此可得出不等式组的解集； 解：（1）解：把点代入，得， 解得， 分别把点和点代入， 得， 解得， 即，，的值分别为，，； （2）若，即， 由图可知时在点的右侧，包括点， ，则， 而当时，， 不等式组的解集为：； ※【变式3-5】已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，根据题意可得y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B，据此联立函数解析式求出点A和点B的坐标即可得到答案． 解：联立，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∵无论x取何值，y总是取，，中的最小值， ∴y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B， ∴y的最大值是2， 故选：D． 例4．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 【解题关键】数形结合：图象分析（画草图，找临界值a） 【变式4】（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解． 【详解】解：联立与， 得， 解得， 即一次函数()与的图像的交点的横坐标为， 当时，， ， ∴， 解得； 当时，与两条直线平行，且的图象在直线的下方，所以，当时，，满足题意； 又， 满足条件的的取值范围是且， 故答案为：且． 图形综合——由直线与坐标轴的交点坐标求解集 例5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)填空：_______，_______，不等式的解集是_____； (2)若点是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点的坐标； 【答案】(1)5，4， (2)点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题． （1）先求得点坐标，将点坐标代入次函数可得的值，利用图象直接判断不等式的解集即可； （2）设，根据，即可求解． 【详解】（1）将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为：； 故答案为：5，4，； （2）由（1）得：一次函数， 点在直线上， 设点的坐标为，把代入，得， 点坐标为，， 点坐标， ， 把代入，得， 点坐标为，， ， 解得：或14， 当时，； 当时，； 点的坐标为或； 【解题关键】（1）数形结合：根据图象解不等式；. （2）函数与方程思想方法：因为点是直线上的一个动点，可设动点坐标，表示出相关面积，转化为方程求未知坐标. 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 【解题关键】①分类讨论思想：根据为等腰三角形的条件可进行分类讨论：及三种情形；②方程思想：动点P的坐标表示． 根据几何性质列不等式解动态问题 例6．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求面积、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 解得； 如下图，延长交于点，      ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【解题关键】条件：动点与定线段构成→知识：三角形的三边关系（两条动边的和大于第三条定边：） 例7．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 【解题关键】条件：角的内部最多只能构造5根→方法：方程思想（根据等腰三角形等边对等角的性质，用x表示出其他相关角度再列不等式） 例8．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、一次函数与几何综合、线段垂直平分线的性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． ※例9．在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)和； (2)a的最小值为1； (3)t的取值范围为或． 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】（1）先求得正方形的边长为4，并根据“长聚点”新定义可得，若题目所给的点到正方形的每一边直线的距离均不小于1，则为“长聚点”，否则不为“长聚点”，逐个验证四个点即可得到结论； （2）在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域，由条件可以得到在的垂直平分线上，先利用C、D坐标得到直线：，再由垂直平分线的性质得到在直线上，然后结合图形可以求得a的范围，即可得a的最小值； （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围，根据三个顶点的坐标，通过平移和对称的性质逐步算得三个顶点的坐标，然后结合图形并分9种情况讨论可以求得t的范围． 【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为4， P为正方形的“长聚点”， P到正方形每一边所在直线的距离均不小于1， 到直线的距离为，到直线的距离为， 和不是正方形的“长聚点”， 到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 是正方形的“长聚点”， 同理可得，是正方形的“长聚点”， 和是正方形的“长聚点”． （2）如图所示，在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域． ， 直线：， ， 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线：， 代入中点得，， 直线：， ， 点是正方形OABC在第一象限的“长聚点”， 在区域⑤或区域③， 结合图形得：或， 解得：或． a的最小值为1． （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围． 向左平移个单位得到， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内， 在如图所示标注序号的9个区域内． 下面分9种情况讨论： 若在区域①内，则结合图形得，无解； 若在区域②内，则结合图形得，无解； 若在区域③内，则结合图形得，； 若在区域④内，则结合图形得，无解； 若在区域⑤内，则结合图形得，无解； 若在区域⑥内，则结合图形得，无解； 若在区域⑦内，则结合图形得，； 若在区域⑧内，则结合图形得，无解； 若在区域⑨内，则结合图形得，无解； 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、坐标与图形综合、坐标系中的平移与对称、解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质和待定系数法求解析式，学会理解新定义并结合图形解一元一次不等式（组），学会分类讨论处理复杂的情景问题，题目综合性较强，适合有能力解决难题的学生．. 1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下： … … … … 则下列说法正确的是（    ） A．函数值随着的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限 C．不等式的解集为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积 【分析】先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，即可选出正确选项． 【详解】解：由表格可得一次函数经过点，， 将两点代入（）中，可得， 解得， 所以一次函数函数关系式为； A、由于，即函数值随着的增大而减小，故选项错误； B、由于，，故函数图象经过第四象限，故选项错误； C、将代入，解得，故根据，不等式的解集为解集为，故选项正确； D、由表格可得一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为，，即图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，故选项不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】利用函数图象，写出在轴上方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 所以不等式组的解集为． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3.已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 4.一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③正确，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：C． 5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】先确定直线的解析式，再解不等式组求解集即可． 本题考查了待定系数法，解不等式组，熟练掌握待定系数法，灵活解不等式组是解题的关键． 【详解】解：把点和点，分别代入中， 可得：， 解得：， ∴， 把点代入中， 可得：， 解得：， ∴， ∵， 即， 解得：； 所以关于x的不等式组的解集为． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据得，结合直线与直线交于点，利用数形结合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据得， ∵直线与直线交于点，， ∴， 故答案为：． 7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点，直线分别与两条直线交于，两点，若的面积不小于时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】把点A（1，2）代入直线方程，先求出两条直线的解析式，然后求出点M、N的坐标，再求出MN的长度，利用三角形的面积公式，即可求出答案． 解：由图可知， 点A为（1，2），直线与y轴的交点为（0，1）， 把点A（1，2）代入，则； ∴； 把点A（1，2）和点（0，1）代入， ，解得：； ∴； 把分别代入两条直线方程，则 ，， ∴点M的坐标为（m，2m），点N的坐标为（m，m+1）， ∴， ∴△AMN边MN上的高为： ∵， 当的面积等于时，则 ， ∴或， 结合的面积不小于， ∴或； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式，求一次函数的解析式，解题的关键是正确的理解题意，掌握一次函数的性质进行解题． 8.如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则 ． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为 ． 【答案】 30 【知识点】求不等式组的解集、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、解不等式等知识点，画出图形发现当为锐角时，点D在的内部成为解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答； （2）先画图发现当为锐角时，点D在的内部；然后根据三角形内角和定理、角平分线的定义得到，再根据为锐角列不等式并结合实际意义即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． （2）如图：当为锐角时，点D在的内部，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴，解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 9.如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； ※(4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一元一次不等式与一次函数 02 数形结合 一次函数与一元一次不等式的联系 用函数思想解一元一次不等式： 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） ①根据解析式解不等式：函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集； ②根据图象解不等式：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集 如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【利用函数图象解一元一次不等式拓展】 = 类比一次方程与一次函数的关系:直线=与直线的交点的横坐标即为方程的解，得出一元一次不等式与一次函数的关系： ①不等式（）的解集就是: 直线=在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. ②如图，的解：；的解：(表示点P的横坐标) 如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大D．关于x，y的方程组的解是 利用图像法解一元一次不等式的一般步骤 ·法一：变形为ax+b＞0或ax+b＜0再根据y=ax+b（a≠0）的图象解不等式 ①将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； ②画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； ③根据函数图像确定对应不等式的解集. ·法二：数形结合，根据不等式：，找到对应的两个一次函数，再根据其图象的交点写出x的解。 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求点A，点B的坐标； (3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 由直线与坐标轴的交点求不等式的解 例1．如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 由直线与坐标轴的交点求区间最值 例2．已知一次函数，其中k≠﹣1． （1）若点（﹣1，2）在的图象上，则k的值是______． （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求的函数表达式． 【变式2-1】已知一次函数； （1）画出函数的图象； （2）当x为何值时，？ （3）当时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ 【解题关键】在x的范围给出时，可根据函数关系和解不等式来求因变量范围和最值：①根据函数解析式用含y的式子表示x；②根据x的范围列出不等式；③解不等式求y的范围；④根据x的取值确定y的最值. ※【变式2-2】在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 根据两条直线的交点求不等式的解集（重难点） 例3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出的解集__________． 【解题关键】①明确不等式中的两个一次函数；②将不等式中的大小关系转化为两个一次函数图象的位置关系：大的函数值其对应的图象部分在上方. 【变式3-1】如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的表达式． （2）观察图象，请直接写出不等式的解集． 【变式3-3】如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求，，的值； （2）直接写出不等式组的解集：_____________； ※【变式3-5】已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 例4．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【解题关键】数形结合：图象分析（画草图，找临界值a） 【变式4】（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是 ． 图形综合——由直线与坐标轴的交点坐标求解集 例5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)填空：_______，_______，不等式的解集是_____； (2)若点是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点的坐标； 【解题关键】（1）数形结合：根据图象解不等式；. （2）函数与方程思想方法：因为点是直线上的一个动点，可设动点坐标，表示出相关面积，转化为方程求未知坐标. 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题关键】①分类讨论思想：根据为等腰三角形的条件可进行分类讨论：及三种情形；②方程思想：动点P的坐标表示． 根据几何性质列不等式解动态问题 例6．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【解题关键】条件：动点与定线段构成→知识：三角形的三边关系（两条动边的和大于第三条定边：） 例7．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是 ．    【解题关键】条件：角的内部最多只能构造5根→方法：方程思想（根据等腰三角形等边对等角的性质，用x表示出其他相关角度再列不等式） 例8．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． ※例9．在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下： … … … … 则下列说法正确的是（    ） A．函数值随着的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限 C．不等式的解集为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 2．如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ）    A． B． C． D． 3.已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 4.一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为 ． 6．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点，直线分别与两条直线交于，两点，若的面积不小于时，则的取值范围是 ． 8.如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则 ． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为 ． 9.如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； ※(4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$