专题训练：分解因式综合题期中试卷选练-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

分解因式综合题期中试卷选练 一．选择题（共11小题） 1．（2024春•金华期中）下列各式中，不能分解因式的有（　　） ①9x2﹣y2；②b2﹣9a2； ③a2+2ab﹣b2；④﹣x2+25y2； ⑤7a2﹣7b2；⑥x2﹣x． A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．（2024春•西湖区校级期中）若x2+px﹣6＝（x+a）（x+b），其中a，b，p均为整数，则p的值不可能为（　　） A．﹣5 B．6 C．5 D．1 3．（2024春•浦江县校级期中）已知m，n是整数，且mn﹣2n+3m﹣9＝0，则mn的值有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•拱墅区校级期中）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（　　） A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除 5．（2024秋•浙江期中）已知M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数N，若M﹣N恰好是某个整数的平方，则这样的数M共有（　　） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 6．（2024春•东阳市期中）若a2﹣2a﹣2＝0，则a3+a2﹣8a+2024的值为（　　） A．2024 B．2030 C．2026 D．2018 7．（2024春•镇海区校级期中）设实数满足x3＝﹣2x+1，若x7＝ax2+bx+c，则a﹣2b+c的值为（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 8．（2024秋•象山县校级期中）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数可能是（　　） A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，47 9．（2024春•西湖区校级期中）已知实数m，n满足9m2+n2+24m﹣6n+25＝0和amn＝3m+n，则a的值是（　　） A． B． C． D． 10．（2024春•镇海区校级期中）已知a＝m+2022，b＝m+2023，c＝m+2024，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2024春•义乌市校级期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　） ①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1； ②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3； ③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个； ④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为； ⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 12．（2024春•东阳市期中）已知x2+px﹣4因式分解后含有因式（x﹣4），则p的值为 　 　 ． 13．（2024春•宁波期中）若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝　 　 ． 14．（2024春•金华期中）已知正方形的面积为9x2+30xy+25y2（x＞0，y＞0），利用因式分解，可以求出正方形的边长为　 　 ． 15．（2024春•镇海区校级期中）若多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，则ab的值为 　 　 ． 16．（2024秋•滨江区校级期中）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#，例如：7#＝8#＝4，7△＝7﹣4＝3，则2024△的值为　 　 ． 17．（2024春•宁波期中）实数a，b，c满足a＝2b，且ab+c2+2c0，则 　 　 ． 18．（2024春•奉化区期中）已知m2＝2n+1，4n2＝m+1（m≠2n），那么m+2n＝　 　 ，4n3﹣mn+2n2＝　 　 ． 19．（2023秋•椒江区校级期中）已知a+b＝2，则多项式a2﹣b2+4b+2023的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 20．（2024春•浦江县校级期中）因式分解 （1）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （2）x4﹣2x2﹣8． 21．（2024春•滨江区校级期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：a3﹣2a2+6a﹣12； （2）已知m﹣n＝5，mn＝1，求m2n﹣mn2﹣2m+2n的值； （3）△ABC的三边a，b，c满足a2+c2＝2ac﹣ab+bc，判断△ABC的形状并说明理由． 22．（2024春•西湖区校级期中）有一个边长为a+b的正方形，按图1切割成4个小方块，b2，ab，ab，a2分别为4个小方块的面积． （1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系 　 　 ． （2）利用（1）中的结论解决：若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝　 　 ，a﹣b＝　 　 ． （3）如图2所示，C线段BG的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝6，两正方形的面积和S1+S2＝20，求图中阴影部分面积． （4）若实数x满足（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，求代数式（x﹣2）（8﹣x）的值． 23．（2024春•镇海区校级期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式：　 　 ． （2）从图3可知，因式分解：a2+b2+2ab+ac+bc＝　 　 ． （3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值． 24．（2024春•西湖区校级期中）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：（2x+y）2+2（2x+y）+1． 解：将“2x+y”看成整体，令2x+y＝A， 则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（2x+y+1）2． 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问 题． （1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　 ； （2）分解因式：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 25．（2024春•东阳市期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形a2+2b2+3ab可以因式分解得 　 　 ． （2）根据图2：若a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，求a+b+c的值． 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为ab（a﹣b）．则长方体②的体积为 　 　 ，长方体③的体积为 　 　 （结果不需要化简）．则因式分解a3﹣b3＝　 　 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：a3+b3； （5）应用：已知x+2y＝3，xy＝2，求出x4y+8xy4的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分解因式综合题期中试卷选练 一．选择题（共11小题） 1．（2024春•金华期中）下列各式中，不能分解因式的有（　　） ①9x2﹣y2；②b2﹣9a2； ③a2+2ab﹣b2；④﹣x2+25y2； ⑤7a2﹣7b2；⑥x2﹣x． A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【分析】根据因式分解的意义对各小题进行逐一分析即可． 【解答】解：①9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y），故本小题错误； ②b2﹣9a2＝（b+3a）（b﹣3a），故本小题错误； ③a2+2ab﹣b2不能分解因式，故本小题正确； ④﹣x2+25y2＝（5y+x）（5y﹣x），故本小题错误； ⑤7a2﹣7b2＝7（a+b）（a﹣b），故本小题错误； ⑥x2﹣x（x）2，故本小题错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的意义，解答此题的关键是熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2．（2024春•西湖区校级期中）若x2+px﹣6＝（x+a）（x+b），其中a，b，p均为整数，则p的值不可能为（　　） A．﹣5 B．6 C．5 D．1 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，得到a+b＝p，ab＝﹣6．再根据a和b为整数，进而分类讨论，从而解决此题． 【解答】解：∵x2+px﹣6＝（x+a）（x+b）， x2+（a+b）x+ab＝x2+px﹣6， ∴a+b＝p，ab＝﹣6， ∵a，b，p为整数， ∴当a的值是1、﹣1、2、﹣2、3、﹣3、6、﹣6时， b的值是﹣6、6、﹣3、3、﹣2、2、﹣1、1， 则p的值是﹣5、5、﹣1、1． 所以p的值有4个． ∴p的值不可能为6． 故选：B． 【点评】本题主要考查十字相乘法因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的乘方法则、分类讨论的思想是解决本题的关键． 3．（2024春•浦江县校级期中）已知m，n是整数，且mn﹣2n+3m﹣9＝0，则mn的值有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由mn﹣2n+3m﹣9＝0，得n（m﹣2）＝﹣3（m﹣3），进而得或或或，求解即可得m、n，进而即可得解． 【解答】解：∵mn﹣2n+3m﹣9＝0， ∴n（m﹣2）＝﹣3（m﹣3）， ∵m，n是整数， ∴或或或， 解得或或或， ∴mn＝﹣6或mn＝0或mn＝4或mn＝﹣10， ∴mn的值有4个， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘法及解二元一次方程组，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 4．（2024春•拱墅区校级期中）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（　　） A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除 【分析】多项式利用平方差公式分解，即可做出判断． 【解答】解：原式＝（3a+5+2）（3a+5﹣2）＝3（3a+7）（a+1）， 则对于任何整数a，多项式（3a+5）2﹣4都能被a+1整除． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5．（2024秋•浙江期中）已知M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数N，若M﹣N恰好是某个整数的平方，则这样的数M共有（　　） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 【分析】设两位数M＝10a+b，则N＝10b+a，则a，b都为正整数，1≤a≤9，1≤b≤9，那么得到M﹣N＝（10a+b）﹣（10b+a）＝9（a﹣b）＝c2，因为c是某整数，而且c2是9的倍数，进一步得到a﹣b＝1或a﹣b＝4或a﹣b＝9，然后再分类讨论，列式计算，即可作答． 【解答】解：依题意，可设原来的两位数为M＝10a+b， 则新的数N＝10b+a， 则M﹣N＝（10a+b）﹣（10b+a）＝9（a﹣b）＝c2＞0， ∵c是某整数， ∴c2是9的倍数，可以为：9，36，81， ∵a﹣b是正整数， ∴a﹣b＝1或a﹣b＝4或a﹣b＝9， 当a﹣b＝1时， 则a＝2，b＝1；a＝3，b＝2；a＝4，b＝3；a＝5，b＝4；a＝6，b＝5；a＝7，b＝6；a＝8，b＝7；a＝9，b＝8； 此时对应的两位数M分别为：21，32，43，54，65，76，87，98，一共8个； 当a﹣b＝4时，则a＝5，b＝1；a＝6，b＝2；a＝7，b＝3；a＝8，b＝4；a＝9，b＝5； 此时对应的两位数M分别为：51，62，73，84，95，一共5个； 当a﹣b＝9时，结合1≤a≤9，1≤b≤9， 则a，b无解， ∴8+5＝13（个）， 综上这样的数M共有13个， 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的加减应用，列代数式，有理数的混合运算，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题． 6．（2024春•东阳市期中）若a2﹣2a﹣2＝0，则a3+a2﹣8a+2024的值为（　　） A．2024 B．2030 C．2026 D．2018 【分析】根据a2﹣2a﹣2＝0，可得a2﹣2a＝2，再将原式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣2＝0， ∴a2﹣2a＝2， ∴a3+a2﹣8a+2024 ＝a（a2﹣2a）+3a2﹣8a+2024 ＝2a+3a2﹣8a+2024 ＝3（a2﹣2a）+2024 ＝3×2+2024 ＝2030， 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．（2024春•镇海区校级期中）设实数满足x3＝﹣2x+1，若x7＝ax2+bx+c，则a﹣2b+c的值为（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 【分析】利用换元法，设t＝x3＝﹣2x+1，则x7＝（x3）2•x＝t2•x＝4x3﹣4x2+x＝4（﹣2x+1）﹣4x2+x，可得：a＝﹣4，b＝﹣7，c＝4，再代入a﹣2b+c计算即可． 【解答】解：根据题意，设t＝x3＝﹣2x+1， ∴x7＝（x3）2•x ＝t2•x ＝（﹣2x+1）2•x ＝4x3﹣4x2+x ＝4（﹣2x+1）﹣4x2+x ＝﹣4x2﹣7x+4， ∴﹣4x2﹣7x+4＝ax2+bx+c， ∴a＝﹣4，b＝﹣7，c＝4， ∴a﹣2b+c＝﹣4+14+4＝14， 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． 8．（2024秋•象山县校级期中）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数可能是（　　） A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，47 【分析】利用平方差公式，对已知的多项式进行因式分解即可得出结论． 【解答】解：724﹣1 ＝（712+1）（712﹣1）， ＝（712+1）（76+1）（76﹣1）， ＝（712+1）（76+）（73+1）（73﹣1）， ＝（712+1）（76+1）（7+1）（72﹣7×1+1）（7﹣1）（72+7×1+1）， ＝（712+1）（76+1）×8×43×6×57， ＝（712+1）（76+1）×48×43×57． ∵724﹣1可被40至50之间的两个整数整除， ∴这两个整数是48，43． 故选：C． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用．利用因式分解将多项式分解因式可以得到它含有的整式． 9．（2024春•西湖区校级期中）已知实数m，n满足9m2+n2+24m﹣6n+25＝0和amn＝3m+n，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，可知（3m+4）2+（n﹣3）2＝0，则m，n＝3，再将其代入amn＝3m+n，计算a的值即可． 【解答】解：∵9m2+n2+24m﹣6n+25＝0 ∴（3m+4）2+（n﹣3）2＝0， ∴m，n＝3， ∵amn＝3m+n， 即3a＝33， 解得：a， 故选：A． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10．（2024春•镇海区校级期中）已知a＝m+2022，b＝m+2023，c＝m+2024，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】利用配方法将2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac配方成（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，再求出a﹣b、a﹣c和b﹣c即可． 【解答】解：2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2 ＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2， ∵a＝m+2022，b＝m+2023，c＝m+2024， ∴a﹣b＝m+2022﹣m﹣2023＝﹣1，a﹣c＝m+2022﹣m﹣2024＝﹣2，b﹣c＝m+2023﹣m﹣2024＝﹣1， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 11．（2024春•义乌市校级期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　） ①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1； ②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3； ③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个； ④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为； ⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据平方差公式求出结果即可；②先应用同底数幂的除法法则的逆运算，再用幂的乘方法则，最后等量代换；③分三种情况分别计算；④根据完全平方公式变形公式进行求解即可；⑤设两个自然数的平方差＝（m+n）（m﹣n），分析得出m+n与m﹣n同奇或同偶，得出这个数为奇数或4的倍数，得出能够表示成某两个自然数的平方差的个数，从而得出不能表示成某两个自然数的平方差的个数． 【解答】解：①∵M＝20222， N＝2021×2023＝（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣1， ∴N＝M﹣1，故①不符合题意； ②∵x＝22m﹣2，y＝3﹣4m， ∴， ∴4m＝4x， ∴y＝3﹣4m＝3﹣4x，故②符合题意； ③∵（1﹣2x）x+2＝1， ∴当1﹣2x＝1时，x＝0，x+2＝2，则12＝1，符合题意； 当1﹣2x＝﹣1时，x＝1，x+2＝3，则（﹣1）3≠1，不合题意， 当x+2＝0时，x＝﹣2，1﹣2x≠0，则（1﹣2x）0＝1，符合题意． 综上所述：满足条件x的值有2个，故③不符合题意； ④∵a2+b2＝3，a﹣b＝1， ∴， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5， ∴， ∴（2﹣a）（2﹣b） ＝4﹣2a﹣2b+ab ＝4﹣2（a+b）+ab， 当时，； 当时，； ∴（2﹣a）（2﹣b）的值为，故④不符合题意； ⑤设两个自然数的平方差＝（m+n）（m﹣n）， ∵m+n与m﹣n同奇或同偶， ∴这个数是奇数或是4的倍数， 在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个， ∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有58﹣（29+14）＝15（个），故⑤不符合题意； 综上，正确的只有1个； 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算． 二．填空题（共8小题） 12．（2024春•东阳市期中）已知x2+px﹣4因式分解后含有因式（x﹣4），则p的值为 　﹣3　 ． 【分析】设x2+px﹣4＝（x﹣4）（x+m），将其展开后即可求得答案． 【解答】解：设x2+px﹣4＝（x﹣4）（x+m）， 则x2+（m﹣4）x﹣4m＝x2+px﹣4， 那么4m＝4，p＝m﹣4， 解得：m＝1， 则p＝1﹣4＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查因式分解的意义，设出x2+px﹣4＝（x﹣4）（x+m）是解题的关键． 13．（2024春•宁波期中）若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝　4　 ． 【分析】首先把x2﹣（y+z）2＝8的左边分解因式，再把x+y+z＝2代入即可得到答案． 【解答】解：∵x2﹣（y+z）2＝8， ∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）＝8， ∵x+y+z＝2， ∴x﹣y﹣z＝8÷2＝4， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 14．（2024春•金华期中）已知正方形的面积为9x2+30xy+25y2（x＞0，y＞0），利用因式分解，可以求出正方形的边长为　3x+5y　 ． 【分析】将已知正方形的面积利用完全平方公式分解因式后，即可表示出正方形的边长． 【解答】解：9x2+30xy+25y2＝（3x）2+2×3x×5y+（5y）2＝（3x+5y）2， ∴该正方形的边长为（3x+5y）． 故答案为：3x+5y． 【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．（2024春•镇海区校级期中）若多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，则ab的值为 　　 ． 【分析】设第三个因式为2x+c，根据多项式乘多项式法则和合并同类项法则求出（2x+c）（x﹣1）（x+2）＝2x3+（2+c）x2+（﹣4+c）x﹣2c，根据多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2求出﹣2c＝﹣6，﹣4+c＝b，2+c＝a，求出a、b，再代入求出答案即可． 【解答】解：设第三个因式为2x+c， （2x+c）（x﹣1）（x+2） ＝（2x+c）（x2+x﹣2） ＝2x3+2x2﹣4x+cx2+cx﹣2c ＝2x3+（2+c）x2+（﹣4+c）x﹣2c， ∵多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2， ∴﹣2c＝﹣6，﹣4+c＝b，2+c＝a， ∴c＝3，b＝﹣1，a＝5， ∴ab＝5﹣1． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，负整数指数幂，因式分解的方法，整式的混合运算等知识点，能求出a、b的值是解此题的关键． 16．（2024秋•滨江区校级期中）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#，例如：7#＝8#＝4，7△＝7﹣4＝3，则2024△的值为　88　 ． 【分析】由题意，对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，得到2024#＝1936，结合2024△＝2024﹣2024#，计算即可得到结果． 【解答】解：2024#表示不大于2024的最大完全平方数， ∵442＝1936，452＝2025，1936＜2024＜2025， ∴2024#＝1936， ∵nΔ＝n﹣n#， ∴2024△＝2024﹣2024#＝2024﹣1936＝88． 故答案为：88． 【点评】本题考查了新定义的应用，读懂题意，并正确利用新定义解题是关键． 17．（2024春•宁波期中）实数a，b，c满足a＝2b，且ab+c2+2c0，则 　　 ． 【分析】根据a＝2b，且ab+c2+2c0，求得（b）2+（c+1）2＝0，可知0，c+1＝0，求出b，c的值，即可得出a的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵a＝2b，且ab+c2+2c0， ∴（2b）b+（c2+2c+1）0， ∴（2b2）+（c+1）2＝0， ∴（b）2+（c+1）2＝0， ∴0，c+1＝0， ∴b，c＝﹣1， ∴a， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．（2024春•奉化区期中）已知m2＝2n+1，4n2＝m+1（m≠2n），那么m+2n＝　﹣1　 ，4n3﹣mn+2n2＝　0　 ． 【分析】（1）由条件可以变形为m2﹣4n2＝2n+1﹣m﹣1＝2n﹣m，从而可以求出其值； （2）4n2＝m+1，4n3＝mn+n，4n3﹣mn＝n．可以得出n2（m+1），2n2（m+1）．所以4n3﹣mn+2n2＝（4n3﹣mn）+2n2＝n（m+1）（2n+m+1）（﹣1+1）＝0从而得出结论． 【解答】解：∵m2＝2n+1，4n2＝m+1（m≠2n）， ∴m2﹣4n2＝2n+1﹣m﹣1， ∴m2﹣4n2＝2n﹣m， ∴（m+2n）（m﹣2n）＝2n﹣m， ∵m≠2n， ∴m+2n＝﹣1； ∵4n2＝m+1， ∴4n3＝mn+n， ∴4n3﹣mn＝n． ∵4n2＝m+1， ∴n2（m+1）， ∴2n2（m+1）． ∵4n3﹣mn+2n2＝（4n3﹣mn）+2n2＝n（m+1）（2n+m+1）（﹣1+1）＝0． 故答案为：﹣1；0． 【点评】本题是一道有关因式分解的解答题，考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，本题难度一般． 19．（2023秋•椒江区校级期中）已知a+b＝2，则多项式a2﹣b2+4b+2023的值为 　2027　 ． 【分析】根据平方差公式变形，将a+b整体代入求值即可求解． 【解答】解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b+2023 ＝（a+b）（a﹣b）+4b+2023 ＝2（a﹣b）+4b+2023 ＝2（a+b）+2023 ＝2×2+2023 ＝2027． 故答案为：2027． 【点评】本题考查了代数式求值、平方差公式．利用了整体代入的思想． 三．解答题（共6小题） 20．（2024春•浦江县校级期中）因式分解 （1）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （2）x4﹣2x2﹣8． 【分析】（1）利用完全平方公式进行分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）（x+y）2﹣10（x+y）+25 ＝（x+y﹣5）2； （2）x4﹣2x2﹣8 ＝（x2﹣4）（x2+2） ＝（x+2）（x﹣2）（x2+2）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法和十字相乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的特征是解题的关键． 21．（2024春•滨江区校级期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：a3﹣2a2+6a﹣12； （2）已知m﹣n＝5，mn＝1，求m2n﹣mn2﹣2m+2n的值； （3）△ABC的三边a，b，c满足a2+c2＝2ac﹣ab+bc，判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）利用分组分解法解答即可求解； （2）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解； （3）先对a2+c2＝2ac﹣ab+bc移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到（a﹣c）（a+b﹣c）＝0，由三角形三边性质可得a+b﹣c＞0，即得a﹣c＝0，据此即可求解． 【解答】解：（1）原式＝（a3﹣2a2）+（6a﹣12） ＝a2（a﹣2）+6（a﹣2）， ＝（a﹣2）（a2+6）； （2）m2n﹣mn2﹣2m+2n＝（m2n﹣mn2）﹣（2m﹣2n） ＝mn（m﹣n）﹣2（m﹣n）， ＝（m﹣n）（mn﹣2）， ＝5×（1﹣2） ＝﹣5； （3）△ABC为等腰三角形，理由如下： ∵a2+c2＝2ac﹣ab+bc， ∴a2+c2﹣2ac+ab﹣bc＝0， ∴（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a+b﹣c＞0， ∴a﹣c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC为等腰三角形． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 22．（2024春•西湖区校级期中）有一个边长为a+b的正方形，按图1切割成4个小方块，b2，ab，ab，a2分别为4个小方块的面积． （1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ． （2）利用（1）中的结论解决：若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝　25　 ，a﹣b＝　﹣1　 ． （3）如图2所示，C线段BG的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝6，两正方形的面积和S1+S2＝20，求图中阴影部分面积． （4）若实数x满足（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，求代数式（x﹣2）（8﹣x）的值． 【分析】（1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可； （2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可； （3）设BC＝m，CG＝n，依题意，m+n＝6，m2+n2＝20，连接AC，根据S阴影部分＝S△AEC+S△ACG，即可求解； （4）设x﹣2＝a，8﹣x＝b，根据（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，得出a+b＝x﹣2+8﹣x＝6，a2+b2＝24，利用完全平方公式的变形即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：（a+b）2＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵a+b＝7， ∴（a+b）2＝72＝49， 又∵ab＝12， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣24＝25， ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝25﹣24＝1， ∴a﹣b＝±1； （3）设BC＝m，CG＝n，依题意，m+n＝6，m2+n2＝20， 连接AC， ∴阴影部分面积为， ∴； （4）设x﹣2＝a，8﹣x＝b， ∵（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24， ∴a+b＝x﹣2+8﹣x＝6，a2+b2＝24， ∴（x﹣2）（8﹣x）＝ab ＝6． 【点评】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟练掌握运算知识点是关键． 23．（2024春•镇海区校级期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式：　（a+1）（a+2）＝a2+3a+2　 ． （2）从图3可知，因式分解：a2+b2+2ab+ac+bc＝　（a+b）（a+b+c）　 ． （3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值． 【分析】（1）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积即可得； （2）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，得出公式即可得； （3）补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积得出（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，整体代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：（a+1）（a+2）＝a2+3a+2， 故答案为：（a+1）（a+2）＝a2+3a+2； （2）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：（a+b）（a+b+c）＝a2+b2+2ab+ac+bc， 则a2+b2+2ab+ac+bc＝（a+b）（a+b+c）， 故答案为：（a+b）（a+b+c）； （3）根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∵a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14， ∴62＝14+2ab+2ac+2bc， ∴2ab+2ac+2bc＝22， ∴ab+bc+ac＝11． 【点评】本题考查乘法公式、因式分解与几何图形结合的应用，熟练掌握乘法公式与几何图形的面积关系是解题的关键． 24．（2024春•西湖区校级期中）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：（2x+y）2+2（2x+y）+1． 解：将“2x+y”看成整体，令2x+y＝A， 则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（2x+y+1）2． 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问 题． （1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（x﹣y+1）2　 ； （2）分解因式：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 【分析】（1）利用“整体思想”进行因式分解； （2）利用“整体思想”进行因式分解； （3）利用“整体思想”进行因式分解． 【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2，将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A， 原式＝1+2A+A2＝（A+1）2， ∴原式＝（x﹣y+1）2； 故答案为：（x﹣y+1）2； （2）（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81， 令 x2﹣6x＝A， ∴原式＝A（A+18）+81 ＝A2+18A+81 ＝（A+9）2， ∴原式＝（x2﹣6x+9）2 ＝[（x﹣3）2]2 ＝（x﹣3）4； （3）证明：∵n为正整数，（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1， ∴令n2+3n＝A，则原式＝A（A+2）+1＝A2+2A+1＝（A+1）2， ∴原式＝（n2+3n+1）2， ∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值是一个整数的平方． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和“整体思想”法． 25．（2024春•东阳市期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形a2+2b2+3ab可以因式分解得 　（a+b）（a+2b）　 ． （2）根据图2：若a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，求a+b+c的值． 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为ab（a﹣b）．则长方体②的体积为 　b2（a﹣b）　 ，长方体③的体积为 　a2（a﹣b）　 （结果不需要化简）．则因式分解a3﹣b3＝　（a2+b2+ab）（a﹣b）　 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：a3+b3； （5）应用：已知x+2y＝3，xy＝2，求出x4y+8xy4的值． 【分析】（1）结合图1，可得a2+2b2+3ab＝（a+b）（a+2b）； （2）由图2得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2，代入计算即可； （3）结合图5，可知长方体②的体积＝b2（a﹣b），长方体③的体积＝a2（a﹣b），则a3﹣b3＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b）＝（a2+b2+ab）（a﹣b）； （4）由（3）可知：a3+b3＝a3﹣（﹣b）3＝[a2+（﹣b）2+a（﹣b）][a﹣（﹣b）]＝（a2+b2﹣ab）（a+b）； （5）将x4y+8xy4变形为xy（x2+4y2﹣2xy）（x+2y），再代入计算即可． 【解答】解：（1）a2+2b2+3ab＝（a+b）（a+2b）， 故答案为：（a+b）（a+2b）； （2）由图2得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2， ∵a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38， ∴（a+b+c）2＝45+2×38＝121， ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a+b+c＝11； （3）长方体②的体积＝b2（a﹣b）， 长方体③的体积＝a2（a﹣b）， 则a3﹣b3 ＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b） ＝（a2+b2+ab）（a﹣b）， 故答案为：b2（a﹣b）；a2（a﹣b）；（a2+b2+ab）（a﹣b）； （4）由（3）可知： a3+b3 ＝a3﹣（﹣b）3 ＝[a2+（﹣b）2+a（﹣b）][a﹣（﹣b）] ＝（a2+b2﹣ab）（a+b）； （5）∵x4y+8xy4 ＝xy（x3+8y3） ＝xy[x3+（2y）3] ＝xy（x2+4y2﹣2xy）（x+2y）， ∵x+2y＝3，xy＝2， ∴x4y+8xy4 ＝xy（x2+4y2﹣2xy）（x+2y） ＝2×[（x+2y）2﹣6xy]×3 ＝6×（9﹣6×2） ＝﹣18． 【点评】本题主要考查的是因式分解的应用，列代数式和几何体，根据题目中给出的信息进行列式计算是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$