第4章 因式分解（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第4章 因式分解（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024•钱塘区一模）下列因式分解正确的是（　　） A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a） C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2 【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可． 【解答】解：A．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意； B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），故本选项符合题意； C．a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2，故本选项不符合题意； D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了利用公式法分解因式，能熟记平方差公式和完全平方公式是解本题的关键． 2．（3分）（2024春•杭州月考）多项式：2mx﹣10nx2的公因式是（　　） A．2 B．x C．2x D．2mm 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【解答】解：多项式：2mx﹣10nx2的公因式是2x． 故选：C． 【点评】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键． 3．（3分）（2024春•鹿城区校级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【解答】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 4．（3分）（2024秋•象山县校级期中）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数可能是（　　） A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，47 【分析】利用平方差公式，对已知的多项式进行因式分解即可得出结论． 【解答】解：724﹣1 ＝（712+1）（712﹣1）， ＝（712+1）（76+1）（76﹣1）， ＝（712+1）（76+）（73+1）（73﹣1）， ＝（712+1）（76+1）（7+1）（72﹣7×1+1）（7﹣1）（72+7×1+1）， ＝（712+1）（76+1）×8×43×6×57， ＝（712+1）（76+1）×48×43×57． ∵724﹣1可被40至50之间的两个整数整除， ∴这两个整数是48，43． 故选：C． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用．利用因式分解将多项式分解因式可以得到它含有的整式． 5．（3分）（2024春•浦江县期末）已知x2﹣mx+42＝（x﹣n）（x﹣7），则m、n的值为（　　） A．m＝13，n＝6 B．m＝﹣13，n＝6 C．m＝13，n＝﹣6 D．m＝﹣13，n＝﹣6 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算（x﹣n）（x﹣7），再根据整式乘法与因式分解的关系得关于m、n的方程，求解即可． 【解答】解：∵（x﹣n）（x﹣7）＝x2﹣（7+n）x+7n， 又∵x2﹣mx+42＝（x﹣n）（x﹣7）， ∴7n＝42，﹣（7+n）＝﹣m． ∴n＝6，m＝13． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，掌握乘法与因式分解的关系是解决本题的关键． 6．（3分）（2024春•柯桥区期末）多项式2x2﹣13x+b中，有一个因式为（x﹣5），则b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．15 D．3 【分析】设另一个因式为（2x+m），根据因式分解的意义计算（x﹣5）（2x+m）后即可求得答案． 【解答】解：设另一个因式为（2x+m）， 则（x﹣5）（2x+m）＝2x2﹣13x+b， 整理得：2x2+（m﹣10）x﹣5m＝2x2﹣13x+b， 则m﹣10＝﹣13，b＝﹣5m， 那么m＝﹣3，b＝15， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的意义，结合已知条件设另一个因式为（2x+m）并得出（x﹣5）（2x+m）＝2x2﹣13x+b是解题的关键． 7．（3分）（2024春•瓯海区校级期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”，如：因为40＝112﹣92，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】根据题意，设两个连续奇数中较小的奇数为：2n﹣1，较大的奇数为：2n+1，可得“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，因此“和谐数”一定能被8整除，由此逐一验证各选项即可． 【解答】解：设两个连续奇数中较小的奇数为：2n﹣1，较大的奇数为：2n+1， ∴“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n， ∴“和谐数”一定能被8整除， A、2021÷8≈252.6，则2021不能被8整除，故选项A不符合题意； B、2022÷8＝252.75，则2022不能被8整除，故选项B不符合题意； C、2023÷8＝252.875，则2023不能被8整除，故选项C不符合题意； D、2024÷8＝253，则2024能被8整除，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．（3分）（2024春•慈溪市期末）若a2﹣2024＝3b，b2﹣2024＝3a（a≠b），则a3﹣6ab+b3的值为（　　） A．2024 B．6072 C．﹣2024 D．﹣6072 【分析】根据题意得，2024＝a2﹣3b＝b2﹣3a，a2﹣b2﹣3b+3a＝0，即（a+b+3）（a﹣b）＝0，因为a≠b，所以a+b+3＝0，即a+b＝﹣3；因为a2﹣3b+b2﹣3a＝4048，所以a2+b2＝4048+3a+3b＝4039；而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2ab＝4039，因此ab＝﹣2015；a3﹣6ab+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣6ab，将a+b、ab、a2+b2的值代入计算即可． 【解答】解：根据题意得，2024＝a2﹣3b＝b2﹣3a， 整理得，a2﹣b2﹣3b+3a＝0，即（a+b+3）（a﹣b）＝0， 因为a≠b， 所以a+b+3＝0，即a+b＝﹣3； 因为a2﹣3b+b2﹣3a＝4048， 所以a2+b2＝4048+3a+3b＝4048﹣9＝4039； 而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2ab＝4039， 因此ab＝﹣2015； 则a3﹣6ab+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣6ab＝（﹣3）×[4039﹣（﹣2015）]﹣6×（﹣2015）＝﹣6072． 故选：D． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，关键在于通过因式分解，分别求得a+b、ab、a2+b2的值，再对式子a3﹣6ab+b3进行整理化简，注意a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）． 9．（3分）（2024春•东阳市期中）若a2﹣2a﹣2＝0，则a3+a2﹣8a+2024的值为（　　） A．2024 B．2030 C．2026 D．2018 【分析】根据a2﹣2a﹣2＝0，可得a2﹣2a＝2，再将原式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣2＝0， ∴a2﹣2a＝2， ∴a3+a2﹣8a+2024 ＝a（a2﹣2a）+3a2﹣8a+2024 ＝2a+3a2﹣8a+2024 ＝3（a2﹣2a）+2024 ＝3×2+2024 ＝2030， 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10．（3分）（2024春•义乌市校级期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　） ①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1； ②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3； ③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个； ④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为； ⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据平方差公式求出结果即可；②先应用同底数幂的除法法则的逆运算，再用幂的乘方法则，最后等量代换；③分三种情况分别计算；④根据完全平方公式变形公式进行求解即可；⑤设两个自然数的平方差＝（m+n）（m﹣n），分析得出m+n与m﹣n同奇或同偶，得出这个数为奇数或4的倍数，得出能够表示成某两个自然数的平方差的个数，从而得出不能表示成某两个自然数的平方差的个数． 【解答】解：①∵M＝20222， N＝2021×2023＝（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣1， ∴N＝M﹣1，故①不符合题意； ②∵x＝22m﹣2，y＝3﹣4m， ∴， ∴4m＝4x， ∴y＝3﹣4m＝3﹣4x，故②符合题意； ③∵（1﹣2x）x+2＝1， ∴当1﹣2x＝1时，x＝0，x+2＝2，则12＝1，符合题意； 当1﹣2x＝﹣1时，x＝1，x+2＝3，则（﹣1）3≠1，不合题意， 当x+2＝0时，x＝﹣2，1﹣2x≠0，则（1﹣2x）0＝1，符合题意． 综上所述：满足条件x的值有2个，故③不符合题意； ④∵a2+b2＝3，a﹣b＝1， ∴， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5， ∴， ∴（2﹣a）（2﹣b） ＝4﹣2a﹣2b+ab ＝4﹣2（a+b）+ab， 当时，； 当时，； ∴（2﹣a）（2﹣b）的值为，故④不符合题意； ⑤设两个自然数的平方差＝（m+n）（m﹣n）， ∵m+n与m﹣n同奇或同偶， ∴这个数是奇数或是4的倍数， 在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个， ∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有58﹣（29+14）＝15（个），故⑤不符合题意； 综上，正确的只有1个； 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•西湖区校级期中）因式分解：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　 ，﹣3a+12a2﹣12a3＝　﹣3a（1﹣2a）2　 ． 【分析】第一个利用平方差公式分解因式即可；第二个先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）， ﹣3a+12a2﹣12a3＝﹣3a（1﹣4a+4a2）＝﹣3a（1﹣2a）2， 故答案为：（a+2b）（a﹣2b），﹣3a（1﹣2a）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 12．（3分）（2024春•镇海区校级期中）x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m＝　﹣2　 ． 【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出m的值即可． 【解答】解：x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n）＝x2+（n+3）x+3n， 可得m＝n+3，﹣15＝3n， 解得：m＝﹣2，n＝﹣5， 故答案为：﹣2 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 13．（3分）（2024•鹿城区校级一模）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 　20　 ． 【分析】根据题意，提公因式，a2b+ab2＝ab（a+b），结合已知条件代入数据即可． 【解答】解：由题意可知，a2b+ab2＝ab（a+b）． ∵a+b＝5，ab＝4， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了因式分解的运用． 14．（3分）（2024•镇海区校级二模）因式分解：x4+2x2﹣3＝　（x2+3）（x﹣1）（x+1）　 ． 【分析】利用十字相乘法分解即可 【解答】解：x4+2x2﹣3 ＝（x2+3）（x2﹣1） ＝（x2+3）（x﹣1）（x+1）． 故答案为：（x2+3）（x﹣1）（x+1）． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 15．（3分）（2024秋•滨江区校级期中）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#，例如：7#＝8#＝4，7△＝7﹣4＝3，则2024△的值为　88　 ． 【分析】由题意，对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，得到2024#＝1936，结合2024△＝2024﹣2024#，计算即可得到结果． 【解答】解：2024#表示不大于2024的最大完全平方数， ∵442＝1936，452＝2025，1936＜2024＜2025， ∴2024#＝1936， ∵nΔ＝n﹣n#， ∴2024△＝2024﹣2024#＝2024﹣1936＝88． 故答案为：88． 【点评】本题考查了新定义的应用，读懂题意，并正确利用新定义解题是关键． 16．（3分）（2024•鄞州区校级自主招生）已知整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，则a、b、c分别等于　a＝3，b＝6，c＝4　 ． 【分析】由已知条件构造完全平方公式，得（a）2+3（3）2+（c﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求解． 【解答】解：由已知得a2+b2+c2+43﹣ab﹣9b﹣8c≤0， 配方得（a）2+3（3）2+（c﹣4）2≤0， 又∵（a）2+3（3）2+（c﹣4）2≥0， ∴（a）2+3（3）2+（c﹣4）2＝0， ∴a0，3＝0，c﹣4＝0， ∴a＝3，b＝6，c＝4． 故答案为：a＝3，b＝6，c＝4． 【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17．（6分）（2024春•奉化区校级期中）因式分解： （1）（a2+b2）2﹣4a2b2； （2）3x3+12x2+12x． 【分析】（1）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab） ＝（a+b）2（a﹣b）2； （2）原式＝3x（x2+4x+4） ＝3x（x+2）2． 【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．（6分）（2024春•镇海区校级期中）分解因式： （1）2ab﹣4a； （2）4x2y﹣4xy+y； （3）a2（x+y）﹣9（x+y）． 【分析】（1）利用提取公因式法，即可解答； （2）先利用提取公因式法，再利用公式法，即可解答； （3）先利用提取公因式法，再利用公式法，即可解答． 【解答】解：（1）2ab﹣4a ＝2a（b﹣2）； （2）4x2y﹣4xy+y ＝y（4x2﹣4x+1） ＝y（2x﹣1）2； （3）a2（x+y）﹣9（x+y） ＝（x+y）（a2﹣9） ＝（a+3）（a﹣3）（x+y）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练运用相关方法是解题的关键． 19．（6分）（2024春•萧山区月考）把下列各式分解因式： （1）16x2﹣1； （2）4a2+12ab+9b2； （3）﹣ab+2a2b﹣a3b； （4）（x2+4）2﹣16x2． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （4）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（4x+1）（4x﹣1）； （2）原式＝（2a+3b）2； （3）原式＝﹣ab（1﹣2a+a2） ＝﹣ab（1﹣a）2； （4）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x） ＝（x+2）2（x﹣2）2． 【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．（6分）（2024秋•鄞州区校级月考）因式分解： （1）2（x2+6x+1）2+5（x2+6x+1）（x2+1）+2（x2+1）2； （2）x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3． 【分析】（1）设x2+6x+1＝m，x2+1＝n，将原式变形后进行因式分解即可； （2）采用试根法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）设x2+6x+1＝m，x2+1＝n， 2（x2+6x+1）2+5（x2+6x+1）（x2+1）+2（x2+1）2 ＝2m2+5mn+2n2 ＝（m+2n）（2m+n） ＝（x2+6x+1+2x2+2）（2x2+12x+2+x2+1） ＝（3x2+6x+3）（3x2+12x+3） ＝3（x2+2x+1）×3（x2+4x+1） ＝9（x+1）2（x2+4x+1）； （2）当x＝y时， x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3＝0， 那么x﹣y是原式的一个公因式； 当y＝z时， x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3＝0， 那么y﹣z是原式的一个公因式； 当x＝z时， x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3＝0， 那么z﹣x是原式的一个公因式； 设原式＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）[A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+2x）] 令x＝﹣1，y＝0，z＝1， 解得：2A﹣B＝﹣1； 令x＝0，y＝1，z＝2， 解得：5A+2B＝2； 解得：A＝0，B＝1， ∴原式＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）（xy+yz+zx）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．（6分）（2024春•莲都区期末）已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数． （1）求5a÷5b的值． （2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除． 【分析】（1）根据a＝4+n，b＝2+n，可以得到a﹣b＝2，然后计算5a÷5b，再将a﹣b＝2整体代入计算即可； （2）将a、b的值代入2a﹣2b，然后计算，观察结果，即可说明结论成立． 【解答】解：（1）∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数， ∴a﹣b＝2， ∴5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25； （2）∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数， ∴2a﹣2b ＝24+n﹣22+n ＝24•2n﹣22•2n ＝16×2n﹣4×2n ＝（16﹣4）×2n ＝12×2n， ∵n为正整数， ∴12×2n一定能被24整除， ∴2a﹣2b能被24整除． 【点评】本题考查因式分解的应用、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22．（6分）（2024春•鄞州区期末）已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2． （1）把这三个多项式因式分解； （2）老师问：“三个等式①+②＝③；①+③＝②；②+③＝①能否同时成立？” 懋懋同学说：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．” 你认为懋懋同学的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你认为正确的条件，并说明理由． 【分析】（1）利用提公因式法，完全平方公式，平方差公式进行分解即可； （2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合三个等式同时成立分情况讨论后进行判断即可． 【解答】解：（1）①x2﹣2xy＝x（x﹣2y）， ②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ③x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2； （2）不正确，理由如下： ∵①+③＝②， ∴x（x﹣2y）+（x﹣2y）2＝（x+2y）（x﹣2y）， 即x（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）＝0， 因式分解得：（x﹣2y）（x﹣4y）＝0， ∵①+②＝③， ∴x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）＝（x﹣2y）2， 即x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2＝0， 因式分解得：（x﹣2y）（x+4y）＝0， ∵②+③＝①， ∴（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2＝x（x﹣2y）， 即（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣x（x﹣2y）＝0， 因式分解得：x（x﹣2y）＝0， ∵上述三个式子同时成立， ∴x﹣2y＝0或x+4y＝x﹣4y＝x， 则x＝2y或x＝y＝0， 故懋懋同学说法不正确． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 23．（8分）（2024春•余姚市校级期中）若两个正整数a，b，满足（a+b）2＝ka+b，k为自然数，则称a为b的“k级”数．例如a＝2，b＝3，（2+3）2＝11×2+3，则2为3的“11级”数． （1）5是6的“　23　 ”级数；正整数n为1的“　n+2　 ”级数（用关于n的代数式表示）； （2）若m为4的“m+10”级数，求m的值； （3）是否存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算或分解因式即可； （2）根据已知条件中新定义列出关于m的方程，解方程求出m的值即可； （3）假设存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数，根据新定义列出算式，进行分解因式，然后再根据a，b为正整数，k为自然数，求出a+b﹣1的取值，从而判断假设是否成立即可． 【解答】解：（1）∵（5+6）2＝23×5+6， ∴5是6的”23级“数， ∵（n+1）2＝n2+2n+1＝n（n+2）+1， ∴正整数n为1的“n+2”级数， 故答案为：23，n+2； （2）由题意可得：（m+4）2＝m（m+10）+4， m2+8m+16＝m2+10m+4， m2﹣m2+8m﹣10m＝4﹣16， ﹣2m＝﹣12， m＝6； （3）假设存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数．，则a为b的“a+b级”数， 则（a+b）2＝a（a+b）+b， a2+2ab+b2＝a2+ab+b， a2﹣a2+2ab﹣ab+b2﹣b＝0， ab+b2﹣b＝0， b（a+b﹣1）＝0， ∵a，b是正整数， ∴a≥1，b≥1， ∴b≠0，a+b﹣1≠0， ∴b（a+b﹣1）≠0， 这与假设产生矛盾， ∴不存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数． 【点评】本题主要考查了因式分解及其运用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 24．（8分）（2024春•西湖区校级期中）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：（2x+y）2+2（2x+y）+1． 解：将“2x+y”看成整体，令2x+y＝A， 则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（2x+y+1）2． 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问 题． （1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（x﹣y+1）2　 ； （2）分解因式：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 【分析】（1）利用“整体思想”进行因式分解； （2）利用“整体思想”进行因式分解； （3）利用“整体思想”进行因式分解． 【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2，将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A， 原式＝1+2A+A2＝（A+1）2， ∴原式＝（x﹣y+1）2； 故答案为：（x﹣y+1）2； （2）（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81， 令 x2﹣6x＝A， ∴原式＝A（A+18）+81 ＝A2+18A+81 ＝（A+9）2， ∴原式＝（x2﹣6x+9）2 ＝[（x﹣3）2]2 ＝（x﹣3）4； （3）证明：∵n为正整数，（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1， ∴令n2+3n＝A，则原式＝A（A+2）+1＝A2+2A+1＝（A+1）2， ∴原式＝（n2+3n+1）2， ∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值是一个整数的平方． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和“整体思想”法． 25．（10分）（2024春•奉化区校级期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到 （a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　 ． （2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值； （3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝10，求图3中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据图2中面积的两种表示方式（大正方形的面积等于九个小正方形或长方形的面积和），可以得到等式． （2）利用（1）中的结论，将（1）中的式子简单变形，利用整体思想可求出a2+b2+c2的值． （3）将图3中的面积转化为用含a﹣b，ab或与它们相关的式子表示，再代入求值． 【解答】解：（1）∵图2中正方形的面积等于九个小正方形或长方形的面积和，大正方形的面积为（a+b+c）2，九个小正方形或长方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 所以结论用等式表示为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）由（1）可知（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）． ∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝102﹣2×38＝24， ∴a2+b2+c2的值为24． （3）阴影部分的面积为S阴影＝ S△BCD﹣S正方形CEFG﹣S△DFG ． ∵a﹣b＝2，ab＝10， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴（a+b）2＝22+4×10＝44， ∴a+b， ∴S阴影． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义及数形结合的相关知识，掌握等面积法、整体思想及等式的变形是解题的关键． 26．（10分）（2024秋•环翠区校级期中）阅读理解并填空： （1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值． 若x＝1，则这个代数式的值为　6　 ， 若x＝2，则这个代数式的值为　11　 ， …可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2，因为（x+1）2是非负数，所以这个代数式的最小值是　2　 ，此时相应的x的值是　﹣1　 ． （3）求代数式x2﹣12x+35的最小值，并写出相应的x的值． （4）求代数式﹣x2﹣6x+12的最大值，并写出相应的x的值． 【分析】（1）把x＝1和x＝2分别代入代数式x2+2x+3中，再进行计算即可得出答案； （2）根据非负数的性质即可得出答案； （3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案； 【解答】解：（1）把x＝1代入x2+2x+3中，得：12+2+3＝6； 若x＝2，则这个代数式的值为22+2×2+3＝11； 故答案为6；11； （2）根据题意可得： x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数， ∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的x的值是﹣1． 故答案为2；﹣1； （3）∵x2﹣12x+35＝（x﹣6）2﹣1， ∴代数式x2﹣12x+35的最小值是﹣1，相应的x的值是6； （4）∵﹣x2﹣6x+12＝﹣（x+3）2+21， ∴﹣x2﹣6x+12的最大值是21，相应的x的值是﹣3． 【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 因式分解（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024•钱塘区一模）下列因式分解正确的是（　　） A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a） C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2 2．（3分）（2024春•杭州月考）多项式：2mx﹣10nx2的公因式是（　　） A．2 B．x C．2x D．2mm 3．（3分）（2024春•鹿城区校级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（3分）（2024秋•象山县校级期中）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数可能是（　　） A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，47 5．（3分）（2024春•浦江县期末）已知x2﹣mx+42＝（x﹣n）（x﹣7），则m、n的值为（　　） A．m＝13，n＝6 B．m＝﹣13，n＝6 C．m＝13，n＝﹣6 D．m＝﹣13，n＝﹣6 6．（3分）（2024春•柯桥区期末）多项式2x2﹣13x+b中，有一个因式为（x﹣5），则b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．15 D．3 7．（3分）（2024春•瓯海区校级期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”，如：因为40＝112﹣92，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 8．（3分）（2024春•慈溪市期末）若a2﹣2024＝3b，b2﹣2024＝3a（a≠b），则a3﹣6ab+b3的值为（　　） A．2024 B．6072 C．﹣2024 D．﹣6072 9．（3分）（2024春•东阳市期中）若a2﹣2a﹣2＝0，则a3+a2﹣8a+2024的值为（　　） A．2024 B．2030 C．2026 D．2018 10．（3分）（2024春•义乌市校级期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　） ①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1； ②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3； ③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个； ④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为； ⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•西湖区校级期中）因式分解：a2﹣4b2＝　 　 ，﹣3a+12a2﹣12a3＝　 　 ． 12．（3分）（2024春•镇海区校级期中）x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m＝　 　 ． 13．（3分）（2024•鹿城区校级一模）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 　 　 ． 14．（3分）（2024•镇海区校级二模）因式分解：x4+2x2﹣3＝　 　 ． 15．（3分）（2024秋•滨江区校级期中）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数，记nΔ＝n﹣n#，例如：7#＝8#＝4，7△＝7﹣4＝3，则2024△的值为　 　 ． 16．（3分）（2024•鄞州区校级自主招生）已知整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，则a、b、c分别等于　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17．（6分）（2024春•奉化区校级期中）因式分解： （1）（a2+b2）2﹣4a2b2； （2）3x3+12x2+12x． 18．（6分）（2024春•镇海区校级期中）分解因式： （1）2ab﹣4a； （2）4x2y﹣4xy+y； （3）a2（x+y）﹣9（x+y）． 19．（6分）（2024春•萧山区月考）把下列各式分解因式： （1）16x2﹣1； （2）4a2+12ab+9b2； （3）﹣ab+2a2b﹣a3b； （4）（x2+4）2﹣16x2． 20．（6分）（2024秋•鄞州区校级月考）因式分解： （1）2（x2+6x+1）2+5（x2+6x+1）（x2+1）+2（x2+1）2； （2）x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3． 21．（6分）（2024春•莲都区期末）已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数． （1）求5a÷5b的值． （2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除． 22．（6分）（2024春•鄞州区期末）已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2． （1）把这三个多项式因式分解； （2）老师问：“三个等式①+②＝③；①+③＝②；②+③＝①能否同时成立？” 懋懋同学说：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．” 你认为懋懋同学的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你认为正确的条件，并说明理由． 23．（8分）（2024春•余姚市校级期中）若两个正整数a，b，满足（a+b）2＝ka+b，k为自然数，则称a为b的“k级”数．例如a＝2，b＝3，（2+3）2＝11×2+3，则2为3的“11级”数． （1）5是6的“　 　 ”级数；正整数n为1的“　 　 ”级数（用关于n的代数式表示）； （2）若m为4的“m+10”级数，求m的值； （3）是否存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 24．（8分）（2024春•西湖区校级期中）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：（2x+y）2+2（2x+y）+1． 解：将“2x+y”看成整体，令2x+y＝A， 则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（2x+y+1）2． 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问 题． （1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　 ； （2）分解因式：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 25．（10分）（2024春•奉化区校级期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到 （a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　 　 ． （2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值； （3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝10，求图3中阴影部分的面积． 26．（10分）（2024秋•环翠区校级期中）阅读理解并填空： （1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值． 若x＝1，则这个代数式的值为　 　 ， 若x＝2，则这个代数式的值为　 　 ， …可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2，因为（x+1）2是非负数，所以这个代数式的最小值是　 　 ，此时相应的x的值是　 　 ． （3）求代数式x2﹣12x+35的最小值，并写出相应的x的值． （4）求代数式﹣x2﹣6x+12的最大值，并写出相应的x的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$