第4章 因式分解 知识归纳与题型训练（6类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第4章 《因式分解》知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、因式分解的意义 1.因式分解的定义：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解；因式分解的过程也叫分解因式． 要点诠释： （1）因式分解的结果是单项式与多项式的乘积或者多项式与多项式乘积的形式； （2）因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性； 二、提取公因式法 1.公因式的定义：一般地，一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式； 提取公因式法的定义：如果把一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。 2.提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式。 （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。 3.添括号法则： 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号。 要点诠释： （1）公因式是多项式各项系数的最大公因数（当系数时整数时）与各项都含有的形同字母的最低次幂的积； （2） 公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式； （3） 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式； 三、用乘法公式分解因式 1.乘法公式回顾： ①平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积； ②完全平方公式：两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方； 2.利用公式法因式分解法：一般地，利用乘法公式把一个多项式分解因式的方法，叫作公式法 要点诠释： （1）分解因式时，如果多项式是两项则想平方差公式，多项式是三项则想完全平方公式； （2） 分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底！！！ （3）因式分解的其他方法拓展： ①分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。先分组，分别因式分解，再利用“一提”、“二套”的步骤组合在一起； ②十字相乘法：应用公式→直接因式分解； ③添项、拆项法：当以上因式分解的方法都不足以解决问题时，有时我们需要将某一项拆开使用，或者添加上某一项，再减去。但需要注意的是：每一步的变形都必须是恒等变形。 题型一　因式分解的意义 例题： 1．（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．（2025•杭州开学）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．6a2b2＝3ab•2ab B．aaya（1﹣y） C．2x2+8﹣1＝2x（x+4）﹣1 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 3．（2024春•西湖区校级期中）下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解且因式分解正确的是（　　） A．a（a+3）＝a2+3a B．a2+4a﹣5＝a（a+4）﹣5 C．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） D．a2+6a+9＝（a+3）2 4．（2024春•镇海区校级期中）若多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，则ab的值为 　 　 ． 巩固训练 5．（2024春•镇海区校级期中）下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A．3a2b2＝3ab•ab B．x2+x﹣3＝x（x+1）﹣3 C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．2a2+4a＝2a（a+2） 6．（2024•浙江模拟）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x） C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 7．（2024春•定海区期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　 ． 题型二　公因式与提取公因式法 例题： 1．（2024春•海曙区期中）多项式3m2+6mn的公因式是（　　） A．3 B．m C．3m D．3n 2．（2025春•萧山区月考）将ma+mb+mc因式分解的结果是（　　） A．mabc B．m（a+b+c） C．m（a+b）+mc D．abc 3．（2024•瑞安市校级开学）分解因式：a2﹣2024a＝　 　 ． 4．（2024春•江干区校级期末）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab＝　 　 ． 巩固训练 5．（2024春•上城区校级期中）8a3b2﹣12a2b3c中的公因式是 　 　 ． 6．（2024春•北湖区校级期中）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 7．（2025春•东阳市月考）分解因式：6m﹣9m2＝ 　 　 ． 8．（2024春•义乌市期中）因式分解：x2y﹣xy2＝　 　 ． 题型三　利用乘法公式法因式分解 例题： 1．（2025•杭州开学）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+2a﹣1 C．x3+x2+x D．a2﹣6a+9 2．（2024•浙江模拟）下列多项式中，属于4x2﹣1的一个因式的是（　　） A．4x﹣1 B．4x+1 C．2x﹣1 D．4x2 3．（2025•乐清市校级模拟）因式分解：a2﹣4b2＝　 　 ． 4．（2024春•拱墅区校级期中）因式分解： （1）4a2﹣1； （2）16m4﹣8m2n2+n4． 巩固训练 5．（2024春•奉化区校级期中）对下列多项式分解因式正确的是（　　） A．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2y2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2 6．（2024•宁波模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 7．（2024春•东阳市期末）因式分解：9a2﹣1＝　 　 ． 8．（2024•鹿城区校级三模）分解因式：a2﹣6a+9＝　 　 ． 9．（2024春•上城区校级月考）因式分解：9x2﹣4y2＝　 　 ． 题型四　提取公因式法与公式法因式分解的综合 例题： 1．（2024春•西湖区校级期中）下列由左到右边的变形中，因式分解正确的是（　　） A．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 B． C．y4﹣2y2﹣8＝（y2+2）（y2﹣4） D．4m3﹣9m＝m（2m+3）（2m﹣3） 2．（2024春•浙江期中）给出下面四个多项式：①x2﹣xy；②x2﹣y2；③x2﹣2xy+y2；④x2+y2，其中含因式（x﹣y）的多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•西湖区校级月考）分解因式：2x2﹣8＝　 　 ． 4．（2024春•下城区校级月考）分解因式x3+6x2+9x＝　 　 ． 5．（2024春•义乌市校级月考）因式分解： （1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2． （2）（a+1）2+2a（a+1）． 6．（2024春•镇海区校级期中）分解因式： （1）16ab2﹣12a2b； （2）﹣4x2y+4xy2﹣y3． 7．（2025•杭州开学）分解因式： （1）a2﹣6ab+9b2； （2）a2b﹣16b； （3）x2y﹣2xy2+y3． 巩固训练 8．（2024•越城区校级开学）分解因式8x3y﹣18xy＝ 　 　 ． 9．（2024春•海曙区期末）从m2、2mn、n2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式 　 　 ． 10．（2024春•镇海区校级期中）把下列多项式分解因式： （1）x3﹣9x； （2）（2a﹣b）2﹣2a+b． 11．（2024春•柯桥区期末）因式分解： （1）am2﹣4am+4a； （2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）． 12．（2024春•海曙区期末）分解因式： （1）a3﹣2a2． （2）m2（n﹣3）+4（3﹣n）． 13．（2024春•西湖区校级期中）因式分解 （1）﹣3x3y+6x2y2﹣3xy3； （2）（a﹣2b）2﹣4a2； （3）（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24； （4）a2+4ab+4b2﹣ac﹣2bc． 题型五　分组分解因式与十字相乘法因式分解 例题： 1．（2024春•开化县月考）把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8） C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8） 2．（2024春•柯桥区期中）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么c﹣5b的值为（　　） A．15 B．﹣15 C．25 D．﹣25 3．（2024春•嵊州市期末）对于二次三项式x2+mx+n，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即ab＝n，a+b＝m，就能将x2+mx+n分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图）再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式x2﹣2x﹣15因式分解的结果为 　 　 . 4．（2023•永嘉县校级模拟）分解因式：a3﹣a2b﹣a+b＝　 　 ． 5．（2024春•浦江县校级期中）因式分解 （1）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （2）x4﹣2x2﹣8． 巩固训练 6．（2024春•鄞州区期末）若等式x2+mx﹣8＝（x+2）（x﹣n）对任意实数x都成立，那么m，n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝4 B．m＝﹣2，n＝4 C．m＝2，n＝﹣4 D．m＝﹣2，n＝﹣4 7．（2024春•西湖区校级期中）若x2+px﹣6＝（x+a）（x+b），其中a，b，p均为整数，则p的值不可能为（　　） A．﹣5 B．6 C．5 D．1 8．（2024•绥化三模）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　 　 ． 9．（2022春•慈溪市期中）因式分解： （1）4x2﹣4． （2）x2﹣xy+4x﹣4y． 10．（2024春•平湖市期末）分解因式： （1）（2x﹣y）2+（2x﹣y）﹣6； （2）x3﹣2x2﹣x+2． 题型六　因式分解的简单应用 例题： 1．（2024春•滨江区校级期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（　　） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 2．（2024春•西湖区校级期中）对于算式20243﹣2024，下列说法错误的是（　　） A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 3．（2024春•江干区校级期末）若2m﹣n＝2，2m+n＝3，则4m2+n2+4mn的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 4．（2024春•鄞州区校级期末）对正整数n，规定n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）．…×2×1，记S＝1！×2！×…×24！，若正整数k（k≤100）使得S×k！为完全平方数，请写出一个符合条件的k的值：　 　 ． 5．（2024春•滨江区校级期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：a3﹣2a2+6a﹣12； （2）已知m﹣n＝5，mn＝1，求m2n﹣mn2﹣2m+2n的值； （3）△ABC的三边a，b，c满足a2+c2＝2ac﹣ab+bc，判断△ABC的形状并说明理由． 巩固训练 6．（2024春•镇海区校级期中）已知m2+n2＝10，mn＝3，则m3n﹣mn3的值为（　　） A．24 B．12 C．±24 D．±12 7．（2024秋•浙江期中）已知M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数N，若M﹣N恰好是某个整数的平方，则这样的数M共有（　　） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 8．（2024春•镇海区校级期中）已知a＝m+2022，b＝m+2023，c＝m+2024，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2024春•拱墅区校级期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2，可得等式 　 　 ； （2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值． （3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《因式分解》知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、因式分解的意义 1.因式分解的定义：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解；因式分解的过程也叫分解因式． 要点诠释： （1）因式分解的结果是单项式与多项式的乘积或者多项式与多项式乘积的形式； （2）因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性； 二、提取公因式法 1.公因式的定义：一般地，一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式； 提取公因式法的定义：如果把一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。 2.提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式。 （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。 3.添括号法则： 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号。 要点诠释： （1）公因式是多项式各项系数的最大公因数（当系数时整数时）与各项都含有的形同字母的最低次幂的积； （2） 公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式； （3） 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式； 三、用乘法公式分解因式 1.乘法公式回顾： ①平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积； ②完全平方公式：两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方； 2.利用公式法因式分解法：一般地，利用乘法公式把一个多项式分解因式的方法，叫作公式法 要点诠释： （1）分解因式时，如果多项式是两项则想平方差公式，多项式是三项则想完全平方公式； （2） 分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底！！！ （3）因式分解的其他方法拓展： ①分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。先分组，分别因式分解，再利用“一提”、“二套”的步骤组合在一起； ②十字相乘法：应用公式→直接因式分解； ③添项、拆项法：当以上因式分解的方法都不足以解决问题时，有时我们需要将某一项拆开使用，或者添加上某一项，再减去。但需要注意的是：每一步的变形都必须是恒等变形。 题型一　因式分解的意义 例题： 1．（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【解答】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误； D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2．（2025•杭州开学）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．6a2b2＝3ab•2ab B．aaya（1﹣y） C．2x2+8﹣1＝2x（x+4）﹣1 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解；分析等式左边是否为多项式，等式右边是否为几个整式的积的形式，对各选项进行判断． 【解答】解：A．左边已经是乘积的形式，不符合因式分解的定义； B．符合因式分解的定义； C．右边不是乘积的形式，不符合因式分解的定义； D．右边不是乘积的形式，不符合因式分解的定义． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断． 3．（2024春•西湖区校级期中）下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解且因式分解正确的是（　　） A．a（a+3）＝a2+3a B．a2+4a﹣5＝a（a+4）﹣5 C．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） D．a2+6a+9＝（a+3）2 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4．（2024春•镇海区校级期中）若多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2，则ab的值为 　　 ． 【分析】设第三个因式为2x+c，根据多项式乘多项式法则和合并同类项法则求出（2x+c）（x﹣1）（x+2）＝2x3+（2+c）x2+（﹣4+c）x﹣2c，根据多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2求出﹣2c＝﹣6，﹣4+c＝b，2+c＝a，求出a、b，再代入求出答案即可． 【解答】解：设第三个因式为2x+c， （2x+c）（x﹣1）（x+2） ＝（2x+c）（x2+x﹣2） ＝2x3+2x2﹣4x+cx2+cx﹣2c ＝2x3+（2+c）x2+（﹣4+c）x﹣2c， ∵多项式2x3+ax2+bx﹣6有两个因式x﹣1和x+2， ∴﹣2c＝﹣6，﹣4+c＝b，2+c＝a， ∴c＝3，b＝﹣1，a＝5， ∴ab＝5﹣1． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，负整数指数幂，因式分解的方法，整式的混合运算等知识点，能求出a、b的值是解此题的关键． 巩固训练 5．（2024春•镇海区校级期中）下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A．3a2b2＝3ab•ab B．x2+x﹣3＝x（x+1）﹣3 C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．2a2+4a＝2a（a+2） 【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解逐个判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 3a2b2＝3ab•ab，不是因式分解，故A不符合题意， x2+x﹣3＝x（x+1）﹣3，不是因式分解，故B不符合题意， （a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，不是因式分解，故C不符合题意， 2a2+4a＝2a（a+2），是因式分解，故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解的意义，关键是因式分解定义的熟练掌握． 6．（2024•浙江模拟）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x） C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可． 【解答】解：A，D选项没有写成积的形式，故A，D不符合题意； B选项，不是整式，故B选项不符合题意； C选项，4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故C选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 7．（2024春•定海区期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 【点评】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 题型二　公因式与提取公因式法 例题： 1．（2024春•海曙区期中）多项式3m2+6mn的公因式是（　　） A．3 B．m C．3m D．3n 【分析】找出多项式的公因式即可． 【解答】解：多项式3m2+6mn的公因式是3m， 故选：C． 【点评】此题主要考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式． 2．（2025春•萧山区月考）将ma+mb+mc因式分解的结果是（　　） A．mabc B．m（a+b+c） C．m（a+b）+mc D．abc 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝m（a+b+c）， 故选：B． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 3．（2024•瑞安市校级开学）分解因式：a2﹣2024a＝　a（a﹣2024）　 ． 【分析】原式提取公因式即可． 【解答】解：原式＝a（a﹣2024）． 故答案为：a（a﹣2024）． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键． 4．（2024春•江干区校级期末）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab＝　2a（a2﹣4ab+4b）　 ． 【分析】利用提公因式法进行分解，即可解答． 【解答】解：2a3﹣8a2b+8ab＝2a（a2﹣4ab+4b）， 故答案为：2a（a2﹣4ab+4b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 巩固训练 5．（2024春•上城区校级期中）8a3b2﹣12a2b3c中的公因式是 　4a2b2　 ． 【分析】根据确定公因式的方法可得答案． 【解答】解：8a3b2﹣12a2b3c中的公因式4a2b2． 故答案为：4a2b2． 【点评】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键． 6．（2024春•北湖区校级期中）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可． 【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3）， ＝b（x﹣3）（b+1）． 故选：B． 【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1． 7．（2025春•东阳市月考）分解因式：6m﹣9m2＝ 　3m（2﹣3m）　 ． 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝3m（2﹣3m）， 故答案为：3m（2﹣3m）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．（2024春•义乌市期中）因式分解：x2y﹣xy2＝　xy（x﹣y）　 ． 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝xy（x﹣y）， 故答案为：xy（x﹣y）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 题型三　利用乘法公式法因式分解 例题： 1．（2025•杭州开学）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+2a﹣1 C．x3+x2+x D．a2﹣6a+9 【分析】利用完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2逐项判断即可解答． 【解答】解：利用完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2逐项判断如下： A、x2﹣1，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B、a2+2a﹣1，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； C、x3+x2+x，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； D、a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，能用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 2．（2024•浙江模拟）下列多项式中，属于4x2﹣1的一个因式的是（　　） A．4x﹣1 B．4x+1 C．2x﹣1 D．4x2 【分析】先根据平方差公式分解因式，再找出选项即可． 【解答】解：4x2﹣1 ＝（2x）2﹣12 ＝（2x+1）（2x﹣1）， 所以4x2﹣1的因式是2x﹣1或2x+1． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，能正确根据平方差公式分解因式是解此题的关键． 3．（2025•乐清市校级模拟）因式分解：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　 ． 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为：（a+2b）（a﹣2b）． 【点评】本题考查了运用公式法因式分解，解题的关键是能够灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 4．（2024春•拱墅区校级期中）因式分解： （1）4a2﹣1； （2）16m4﹣8m2n2+n4． 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可作答； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（2a+1）（2a﹣1）； （2）原式＝（4m2）2﹣2×4m2×n2+（n2）2 ＝（4m2﹣n2）2 ＝（2m+n）2（2m﹣n）2． 【点评】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 巩固训练 5．（2024春•奉化区校级期中）对下列多项式分解因式正确的是（　　） A．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2y2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2 【分析】根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为x2﹣4y2＝x2﹣（2y）2＝（x+2y）（x﹣2y），故本选项错误． B、应为4a2﹣4a+1＝（2a）2﹣4a+1＝（2a﹣1）2，故本选项错误． C、x2y2﹣1＝（xy）2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1），正确． D、∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2≠（a+b）2，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了用公式法正确进行因式分解的能力，熟记平方差公式和完全平方公式结构是解题的关键． 6．（2024•宁波模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式； D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键． 7．（2024春•东阳市期末）因式分解：9a2﹣1＝　（3a+1）（3a﹣1）　 ． 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【解答】解：9a2﹣1＝（3a）2﹣12＝（3a+1）（3a﹣1） 故答案为：（3a+1）（3a﹣1）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 8．（2024•鹿城区校级三模）分解因式：a2﹣6a+9＝　（a﹣3）2　 ． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝（a﹣3）2． 故答案为：（a﹣3）2． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 9．（2024春•上城区校级月考）因式分解：9x2﹣4y2＝　（3x+2y）（3x﹣2y）　 ． 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝（3x+2y）（3x﹣2y）， 故答案为：（3x+2y）（3x﹣2y）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型四　提取公因式法与公式法因式分解的综合 例题： 1．（2024春•西湖区校级期中）下列由左到右边的变形中，因式分解正确的是（　　） A．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 B． C．y4﹣2y2﹣8＝（y2+2）（y2﹣4） D．4m3﹣9m＝m（2m+3）（2m﹣3） 【分析】A、根据完全平方公式因式分解； B、根据平方差公式因式分解； C、根据十字相乘法和平方差公式因式分解； D、先提取公因式，再根据平方差公式因式分解． 【解答】解：A、4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2，不符合题意； B、a2﹣1＝（a﹣1）（a+1），不符合题意； C、y4﹣2y2﹣8＝（y2+2）（y2﹣4）＝（y2+2）（y﹣2）（y+2），不符合题意； D、4m3﹣9m＝m（4m2﹣9）＝m（2m+3）（2m﹣3），符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 2．（2024春•浙江期中）给出下面四个多项式：①x2﹣xy；②x2﹣y2；③x2﹣2xy+y2；④x2+y2，其中含因式（x﹣y）的多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答． 【解答】解：①x2﹣xy＝x（x﹣y）； ②x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）； ③x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2； ④x2+y2； 上面四个多项式，其中含因式（x﹣y）的多项式是①②③，共有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 3．（2024春•西湖区校级月考）分解因式：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）； 故答案为：2（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键． 4．（2024春•下城区校级月考）分解因式x3+6x2+9x＝　x（x+3）2　 ． 【分析】原式先提公因式x，再运用完全平方公式进行分解即可． 【解答】解：x3+6x2+9x ＝x（x2+6x+9） ＝x（x+3）2． 故答案为：x（x+3）2． 【点评】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，掌握完全平方公式是解决本题的关键． 5．（2024春•义乌市校级月考）因式分解： （1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2． （2）（a+1）2+2a（a+1）． 【分析】（1）利用平方差公式分解，再提公因式即可； （2）利用提公因式法分解即可． 【解答】解：（1）原式＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2 ＝（5m+5n）2﹣（3m﹣3n）2 ＝[（5m+5n）﹣（3m﹣3n）][（5m+5n）+（3m﹣3n）] ＝（2m+8n）（8m+2n） ＝4（m+4n）（4m+n）； （2）原式＝（a+1）[（a+1）+2a] ＝（a+1）（3a+1）． 【点评】此题考查的是因式分解，掌握平方差公式、提取公因式法分解是解决此题的关键． 6．（2024春•镇海区校级期中）分解因式： （1）16ab2﹣12a2b； （2）﹣4x2y+4xy2﹣y3． 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）16ab2﹣12a2b＝4ab（4b﹣3a）； （2）﹣4x2y+4xy2﹣y3 ＝﹣y（4x2﹣4xy+y2） ＝﹣y（2x﹣y）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．（2025•杭州开学）分解因式： （1）a2﹣6ab+9b2； （2）a2b﹣16b； （3）x2y﹣2xy2+y3． 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（a﹣3b）2； （2）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）； （3）原式＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 巩固训练 8．（2024•越城区校级开学）分解因式8x3y﹣18xy＝ 　2xy（2x+3）（2x﹣3）　 ． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝2xy（4x2﹣9） ＝2xy（2x+3）（2x﹣3）． 故答案为：2xy（2x+3）（2x﹣3）． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9．（2024春•海曙区期末）从m2、2mn、n2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式 　m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2（答案不唯一）　 ． 【分析】利用提公因式法，运用公式法进行分解，即可解答． 【解答】解：m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2， 故答案为：m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 10．（2024春•镇海区校级期中）把下列多项式分解因式： （1）x3﹣9x； （2）（2a﹣b）2﹣2a+b． 【分析】（1）综合运用提公因式以及公式法分解因式即可．先提公因式x，再利用平方差公式计算即可． （2）用提公因式法分解因式即可，先把原式变形，再提公因式即可． 【解答】解：（1）x3﹣9x ＝x（x2﹣9） ＝x（x﹣3）（x+3）； （2）（2a﹣b）2﹣2a+b ＝（2a﹣b）2﹣（2a﹣b） ＝（2a﹣b）（2a﹣b﹣1）． 【点评】本题主要考查了分解因式．熟练掌握该知识点是关键． 11．（2024春•柯桥区期末）因式分解： （1）am2﹣4am+4a； （2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）am2﹣4am+4a ＝a（m2﹣4m+4） ＝a（m﹣2）2； （2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x） ＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣b2） ＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 12．（2024春•海曙区期末）分解因式： （1）a3﹣2a2． （2）m2（n﹣3）+4（3﹣n）． 【分析】（1）提取公因式即可得出答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝a2（a﹣2）； （2）原式＝（n﹣3）（m2﹣4） ＝（n﹣3）（m﹣2）（m+2）． 【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13．（2024春•西湖区校级期中）因式分解 （1）﹣3x3y+6x2y2﹣3xy3； （2）（a﹣2b）2﹣4a2； （3）（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24； （4）a2+4ab+4b2﹣ac﹣2bc． 【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【解答】解：（1）﹣3x3y+6x2y2﹣3xy3 ＝﹣3xy（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3xy（x﹣y）2； （2）（a﹣2b）2﹣4a2 ＝（a﹣2b+2a）（a﹣2b﹣2a） ＝（3a﹣2b）（﹣a﹣2b） ＝﹣（3a﹣2b）（a+2b）； （3）（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24 ＝（x2+2x﹣3）（x2+2x﹣8） ＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）（x+4）； （4）a2+4ab+4b2﹣ac﹣2bc ＝（a+2b）2﹣c（a+2b） ＝（a+2b）（a+2b﹣c）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 题型五　分组分解因式与十字相乘法因式分解 例题： 1．（2024春•开化县月考）把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8） C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8） 【分析】先把多项式中的前三项分成一组，用完全平方公式分解因式，第四和第五项分成一组，提取公因式2，最后用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8 ＝（x2﹣2xy+y2）+2（x﹣y）﹣8 ＝（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣8 ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法． 2．（2024春•柯桥区期中）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么c﹣5b的值为（　　） A．15 B．﹣15 C．25 D．﹣25 【分析】根据甲看错了b的值推导出c值，乙看错了c的值推导出b值，最后代入c﹣5b计算即可． 【解答】解：（x﹣4）（x+5）＝x2+x﹣20，（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12， ∵甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5）， ∴c＝﹣20， ∵乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4）， ∴b＝﹣1， ∴c﹣5b＝﹣20﹣5×（﹣1）＝﹣15． 故选：B． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，确定bc的值是解答本题的关键． 3．（2024春•嵊州市期末）对于二次三项式x2+mx+n，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即ab＝n，a+b＝m，就能将x2+mx+n分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图）再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式x2﹣2x﹣15因式分解的结果为 　（x+3）（x﹣5）　 . 【分析】根据﹣15＝3×（﹣5），﹣2＝3+（﹣5），进行分解即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）． 故答案为：（x+3）（x﹣5）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式是关键． 4．（2023•永嘉县校级模拟）分解因式：a3﹣a2b﹣a+b＝　（a﹣b）（a﹣1）（a+1）　 ． 【分析】前两项作为一组，提取公因式a2，后两项作为一组，提取“﹣”号，然后再进一步分解即可． 【解答】解：原式＝a2（a﹣b）﹣（a﹣b） ＝（a﹣b）（a2﹣1） ＝（a﹣b）（a﹣1）（a+1）． 故答案为：（a﹣b）（a﹣1）（a+1）． 【点评】本题考查了分组分解法，正确分组是解答本题的关键，因式分解中，一定要分解到各个因式不能再分解为止． 5．（2024春•浦江县校级期中）因式分解 （1）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （2）x4﹣2x2﹣8． 【分析】（1）利用完全平方公式进行分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）（x+y）2﹣10（x+y）+25 ＝（x+y﹣5）2； （2）x4﹣2x2﹣8 ＝（x2﹣4）（x2+2） ＝（x+2）（x﹣2）（x2+2）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法和十字相乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的特征是解题的关键． 巩固训练 6．（2024春•鄞州区期末）若等式x2+mx﹣8＝（x+2）（x﹣n）对任意实数x都成立，那么m，n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝4 B．m＝﹣2，n＝4 C．m＝2，n＝﹣4 D．m＝﹣2，n＝﹣4 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出m，n的值． 【解答】解：∵x2+mx﹣8＝（x+2）（x﹣n）＝x2+（2﹣n）x﹣2n， ∴m＝2﹣n，﹣2n＝﹣8 ∴n＝4，m＝﹣2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确合并同类项是解题关键． 7．（2024春•西湖区校级期中）若x2+px﹣6＝（x+a）（x+b），其中a，b，p均为整数，则p的值不可能为（　　） A．﹣5 B．6 C．5 D．1 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，得到a+b＝p，ab＝﹣6．再根据a和b为整数，进而分类讨论，从而解决此题． 【解答】解：∵x2+px﹣6＝（x+a）（x+b）， x2+（a+b）x+ab＝x2+px﹣6， ∴a+b＝p，ab＝﹣6， ∵a，b，p为整数， ∴当a的值是1、﹣1、2、﹣2、3、﹣3、6、﹣6时， b的值是﹣6、6、﹣3、3、﹣2、2、﹣1、1， 则p的值是﹣5、5、﹣1、1． 所以p的值有4个． ∴p的值不可能为6． 故选：B． 【点评】本题主要考查十字相乘法因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的乘方法则、分类讨论的思想是解决本题的关键． 8．（2024•绥化三模）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）　 ． 【分析】先分组得到m2﹣2m+1﹣n2，再把第1组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解． 【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2 ＝（m﹣1）2﹣n2 ＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 【点评】本题考查了分组分解法：分组分解一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 9．（2022春•慈溪市期中）因式分解： （1）4x2﹣4． （2）x2﹣xy+4x﹣4y． 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）“二二”分组，然后利用提取公因式法进行因式分解． 【解答】解：（1）4x2﹣4 ＝4（x2﹣1） ＝4（x+1）（x﹣1）； （2）x2﹣xy+4x﹣4y ＝x（x﹣y）+4（x﹣y） ＝（x+4）（x﹣y）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组． 10．（2024春•平湖市期末）分解因式： （1）（2x﹣y）2+（2x﹣y）﹣6； （2）x3﹣2x2﹣x+2． 【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可； （2）先分组，再提公因式和平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝[（2x﹣y）﹣2][（2x﹣y）+3] ＝（2x﹣y﹣2）（2x﹣y+3）； （2）原式＝（x3﹣2x2）﹣（x﹣2） ＝x2（x﹣2）﹣（x﹣2） ＝（x2﹣1）（x﹣2） ＝（x+1）（x﹣1）（x﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法和分组分解法是解题的关键． 题型六　因式分解的简单应用 例题： 1．（2024春•滨江区校级期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（　　） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【分析】根据“完全数”的概念求解即可． 【解答】解：设两个自然数分别为a，b， 由题意可得，a2+b2+2ab＝（a+b）2， ∴小于180且不重复的“完全数”有：0＝（0+0）2，1＝（0+1）2，4＝（1+1）2，9＝（1+2）2，16＝（2+2）2，25＝（2+3）2，36＝（3+3）2，49＝（3+4）2，64＝（3+5）2，81＝（3+6）2，100＝（3+7）2，121＝（3+8）2，144＝（3+9）2，169＝（3+10）2， 综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有14个． 故选：C． 【点评】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键． 2．（2024春•西湖区校级期中）对于算式20243﹣2024，下列说法错误的是（　　） A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 【分析】此题可根据有理数的乘法分配律进行求解即可． 【解答】解：原式＝2024×（20242﹣1）＝2024×（2024﹣1）×（2024+1）＝2024×2023×2025， 所以结果是能被2024、2023、2025整除； 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 3．（2024春•江干区校级期末）若2m﹣n＝2，2m+n＝3，则4m2+n2+4mn的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【分析】通过运用完全平方公式法进行因式分解进行求解． 【解答】解：∵2m+n＝3， ∴4m2+n2+4mn ＝（2m+n）2 ＝32 ＝9， 故选：C． 【点评】此题考查了运用因式分解求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式进行因式分解． 4．（2024春•鄞州区校级期末）对正整数n，规定n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）．…×2×1，记S＝1！×2！×…×24！，若正整数k（k≤100）使得S×k！为完全平方数，请写出一个符合条件的k的值：　12（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意把S分解成[11×3!×...×23]2×212×12 的形式，再根据完全平方数的定义即可解答． 【解答】解：∵n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）， ∴×2×1， ∴n!×（n﹣1）!＝n×（n﹣1）!×（n﹣1）!＝n[（n﹣1）!]2， S＝1!×2!×...×24!＝2×[1]2×4×[3！]2×...×24×[23！]2， ∴S＝1!×2!×…×24!＝2×4×6×…×22×24×[1!×3!×…×23!]2， ∵2×4×6×⋯×22×24＝（2×1）×（2×2）×（2×3）×⋯×（2×12）＝212×（1×2×3×⋯×11×12）＝212×12!， ∴S＝[11×3!×...×23]2×212×12!， ∴[11×3!×...×23]2，212 都为完全平方数， ∵S×k!为完全平方数， ∴k的值可以是12， 故答案为：12（答案不唯一）． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握相关知识的运算． 5．（2024春•滨江区校级期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：a3﹣2a2+6a﹣12； （2）已知m﹣n＝5，mn＝1，求m2n﹣mn2﹣2m+2n的值； （3）△ABC的三边a，b，c满足a2+c2＝2ac﹣ab+bc，判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）利用分组分解法解答即可求解； （2）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解； （3）先对a2+c2＝2ac﹣ab+bc移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到（a﹣c）（a+b﹣c）＝0，由三角形三边性质可得a+b﹣c＞0，即得a﹣c＝0，据此即可求解． 【解答】解：（1）原式＝（a3﹣2a2）+（6a﹣12） ＝a2（a﹣2）+6（a﹣2）， ＝（a﹣2）（a2+6）； （2）m2n﹣mn2﹣2m+2n＝（m2n﹣mn2）﹣（2m﹣2n） ＝mn（m﹣n）﹣2（m﹣n）， ＝（m﹣n）（mn﹣2）， ＝5×（1﹣2） ＝﹣5； （3）△ABC为等腰三角形，理由如下： ∵a2+c2＝2ac﹣ab+bc， ∴a2+c2﹣2ac+ab﹣bc＝0， ∴（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a+b﹣c＞0， ∴a﹣c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC为等腰三角形． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 巩固训练 6．（2024春•镇海区校级期中）已知m2+n2＝10，mn＝3，则m3n﹣mn3的值为（　　） A．24 B．12 C．±24 D．±12 【分析】根据m2+n2＝10，mn＝3，求得m+n＝±4，m﹣n＝±2，再将原式变形为mn（m+n）（m﹣n），代入计算即可． 【解答】解：∵m2+n2＝10，mn＝3， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝10+6＝16， （m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝10﹣6＝4， ∴m+n＝±4，m﹣n＝±2， ∴原式＝mn（m2﹣n2） ＝mn（m+n）（m﹣n） ＝3×（±4）×（±2） ＝±24， 故选：C． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．（2024秋•浙江期中）已知M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数N，若M﹣N恰好是某个整数的平方，则这样的数M共有（　　） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 【分析】设两位数M＝10a+b，则N＝10b+a，则a，b都为正整数，1≤a≤9，1≤b≤9，那么得到M﹣N＝（10a+b）﹣（10b+a）＝9（a﹣b）＝c2，因为c是某整数，而且c2是9的倍数，进一步得到a﹣b＝1或a﹣b＝4或a﹣b＝9，然后再分类讨论，列式计算，即可作答． 【解答】解：依题意，可设原来的两位数为M＝10a+b， 则新的数N＝10b+a， 则M﹣N＝（10a+b）﹣（10b+a）＝9（a﹣b）＝c2＞0， ∵c是某整数， ∴c2是9的倍数，可以为：9，36，81， ∵a﹣b是正整数， ∴a﹣b＝1或a﹣b＝4或a﹣b＝9， 当a﹣b＝1时， 则a＝2，b＝1；a＝3，b＝2；a＝4，b＝3；a＝5，b＝4；a＝6，b＝5；a＝7，b＝6；a＝8，b＝7；a＝9，b＝8； 此时对应的两位数M分别为：21，32，43，54，65，76，87，98，一共8个； 当a﹣b＝4时，则a＝5，b＝1；a＝6，b＝2；a＝7，b＝3；a＝8，b＝4；a＝9，b＝5； 此时对应的两位数M分别为：51，62，73，84，95，一共5个； 当a﹣b＝9时，结合1≤a≤9，1≤b≤9， 则a，b无解， ∴8+5＝13（个）， 综上这样的数M共有13个， 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的加减应用，列代数式，有理数的混合运算，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题． 8．（2024春•镇海区校级期中）已知a＝m+2022，b＝m+2023，c＝m+2024，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】利用配方法将2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac配方成（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，再求出a﹣b、a﹣c和b﹣c即可． 【解答】解：2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2 ＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2， ∵a＝m+2022，b＝m+2023，c＝m+2024， ∴a﹣b＝m+2022﹣m﹣2023＝﹣1，a﹣c＝m+2022﹣m﹣2024＝﹣2，b﹣c＝m+2023﹣m﹣2024＝﹣1， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 9．（2024春•拱墅区校级期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2，可得等式 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　 ； （2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值． （3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积． 【分析】（1）分别当作整体求面积和当作个体的面积之和列出等式即可． （2）将（1）中得到的代数式整理后代入即可． （3）根据图形由a、b表示出阴影的面积，再代入已知条件即可． 【解答】解：（1）看成一个整体面积为：（a+b+c）2， 看成9个小长方形的和则为：a2+ab+ab+b2+bc+bc+c2+ac+ac， 即：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． （2）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． 得，a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）． ∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝112﹣2×38＝45． （3）S阴影 ， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴原式10220＝20． ∴阴影部分的面积为20． 【点评】本题考查了因式分解、多项式乘多项式等相关知识的应用，观察图形即准确的代入是解题关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$