8.2 一元线性回归模型及其应用（第1课时）教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2《一元线性回归模型及其应用》教学设计第1课时 一、教学目标 （一）新课标要求 1. 理解一元线性回归模型的概念，了解建立模型的背景和意义。 1. 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会求经验回归方程。 1. 能够运用经验回归方程进行预测，了解残差分析在模型评估中的作用。 （二）核心素养 1. 数学建模：通过建立一元线性回归模型，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，体会数学在实际生活中的应用。 1. 数据分析：让学生学会处理成对样本数据，通过分析数据建立模型并进行预测，提升学生对数据的分析和处理能力。 1. 逻辑推理：在推导最小二乘估计公式以及理解模型的过程中，培养学生的逻辑思维和推理能力。 二、教学重难点 （一）教学重点 一元线性回归模型的建立及理解，最小二乘法，利用经验回归方程进行预测和残差分析。 （二）教学难点 对一元线性回归模型中随机误差的理解。最小二乘估计方法的原理及推导。 三、教学方法 讲授法、讨论法、案例分析法 四、教学过程 （一）导入（5 分钟） 根据教材表8.2-1（父子身高数据） 引导学生观察散点图（教材图8.2-1）的 分布特点. 提问学生：从图中可以看出儿子身高和 父亲身高之间存在怎样的关系？ 之前学过的知识能让我们推断出什么？ 引导学生回顾通过散点图和样本相关系数判断 变量相关性的知识，得出儿子身高和父亲身高线性相关且正相关的结论. 进而引出本节课主题：如何更精确地刻画这两个变量之间的关系，即建立一元线性回归模型及其应用. （二）新课讲授（20 分钟） 1. 一元线性回归模型 结合教材表 8.2 - 1（父子身高数据），指出存在父亲身高相同但儿子身高不同的情况，说明儿子身高和父亲身高不是函数关系. 例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172 cm，而对应的儿子身高分别为176 cm和174 cm；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170 cm，而父亲身高分别为173 cm和169 cm． 解释由于散点大致分布在直线附近，有较强线性相关关系，所以可以用一次函数刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型其中，随机误差是一个随机变量． 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差．假定随机误差的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 (1) 我们称（1）式为关于的一元线性回归模型，其中，称为因变量或响应变量， 称为自变量或解释变量；和 为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差，模型中的也是随机变量，其值虽然不能由变量的值确定，但是却能表示为与的和，前一部分由所确定，后一部分是随机的．如果=0，那么与之间的关系就可用一元线性函数模型来描述． 针对教材中的思考问题“为什么假设，而不假设其为某个不为0的常数？”组织学生讨论，引导学生理解假设是为了方便研究，使模型更简洁、合理. 再结合思考问题“你能结合具体实例解释产生模型中随机误差项的原因吗？”，让学生自主发言，从母亲身高、生活环境、测量误差等方面分析随机误差产生的原因. 1. 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 提出问题：在一元线性回归模型中，参数和未知，如何根据样本数据进行估计？引导学生思考寻找一条直线使散点在整体上与之最接近的方法. 有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条 直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个 使距离的和最小的位置， 测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如右图所示 或者在散点图中选两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．如下图.2-3所示 还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图8.2-4所示． 展示教材图 8.2 - 2、图 8.2 - 3、图 8.2 - 4 中几种确定直线的方法，让学生讨论这些方法的可行性和局限性. 在实际应用中，绝对值计算不方便，通常用各散点到直线的竖直距离的平方和来刻画“整体接近程度”. Q是由和的函数，要使Q达到最小来确定和的值. 设，，则，经过推导，得 是关于的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当和的取值为 （2） 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计. 以教材表8.2-1中的数据为例，利用公式(2)可以计算出，，得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，相应的经验回归直线如图8.2-6所示． （三）例题讲解（10 分钟） 补充例题：已知某公司的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）数据如下表所示： 广告费用 2 4 5 6 8 销售额 30 40 60 50 70 （1）求销售额关于广告费用的经验回归方程. （2）若该公司广告费用投入为10万元，预测销售额. 解答步骤： 　=5，计算=5 ，=50.代入公式得 　=，=． 　所以经验回归方程为． 　当= 10时， 82.5（万元），即当广告费用投入为10万元时，预测销售额为82.5万 　元． 教师指出： 观测值减去预测值所得的差称为残差. （四）课堂练习（10 分钟） 　让学生完成教材 107 页的练习： 　 1．说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子． （学生回答后教师总结：函数模型描述的是确定性关系，如（为常数）表示匀速直 　线运动中路程与时间的关系；（）表示二次函数关系．回归模型描述 　的是随机变量间的相关关系，如根据居民收入与消费支出数据建立回归模型预测消费支出；根据农作物施肥量和产量数据建立回归模型预测产量等 ） 　２．在一元线性回归模型（1）中，参数的含义是什么？（表示自变量每增加一个单 　位，因变量的平均变化量 ） 3． 将图 8.2 - 1 中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线 　图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？（不能，因为折线图不能很好 　地体现变量间的线性相关关系，而经验回归直线能从整体上反映两个变量的线性关系 ） （五）课堂小结（3 分钟） 　与学生一起回顾一元线性回归模型的建立过程、模型表达式及各参数含义． 　强调最小二乘估计方法求经验回归方程的原理和步骤． 　说明经验回归方程的应用，包括预测和残差分析的作用． （六）作业布置（2 分钟） 　教材课后相关习题，如进一步计算残差并分析模型等题目． 　让学生收集一组生活中的两个相关变量的数据，建立一元线性回归模型并进行预测． 五、教学板书设计 　标题：8.2 一元线性回归模型及其应用 　　一元线性回归模型 　　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 　　例题解答过程（简要板书关键步骤 ） 学科网（北京）股份有限公司 $$