第3部分 第3节 分式方程-2024-2025学年初中数学计算能力强化训练八年级全册

解分式方程,先两边同乘最简公分母,把分式方程化为一元一次方程再解． ３９　 第３节　分式方程 ◎练习１ 难度:􀳫 容易 　 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 解下列方程． (１)１２x＝ ３ x＋５ ; (２)２x＝ ３ x＋１ ; (３)１２３x＝ １２ x－ １ ３ ; (４) x３x－１＝２－ １ １－３x ; (５)３xx－２＋３＝ x－１ x－２ ; (６)xx－１－ ２ x２－１＝１ ; (７)x＋１x－２＝ ２x x＋３－１ ; (８)１＋x２－x－３＝ １ x－２ ; (９) ４２x－１－ x １－２x＝５ ; (１０)２xx－１＝ １ x－１＋３． ４０　 解分式方程时,解出方程的解要代入分式方程检验,判断是否是分式方程的增根． ◎练习２ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 解下列方程． (１)３x＋２＋ １ x＝ ４ x２＋２x ; (２)xx－２－ ２ x２－４＝１ ; (３)x＋１x ＋ １ x－２＝１ ; (４)x－１x＋４＝ x＋１ x＋５ ; (５)x－１x－２＋２＝ ３ x－２ ; (６)x＋５x－６－ １ ６－x＝５ ; (７)１＋x５＋x＝ １ ２ ; (８)x＋３x－３－ ２ x＋３＝１ ; (９)１x－２－ ２ x－３＝ ３ ２x－４ ; (１０)１x＋ １ x＋１＝ ５ ２x＋２． 根代入分式方程使分式的分母值为０,那么这个根就是方程的增根． ４１　 ◎练习３ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 解下列方程． (１)２x－１＋ ２x x－１＝１ ; (２)１＋ ３xx－２＝ ６ x－２ ; (３)x－３x－２＋ １ ２－x＝３ ; (４)１２x２－９－ ２ x－３＝ １ x＋３ ; (５)１x－１－ ２ x＋１＝ ４ x２－１ ; (６)x－４x－５－３＝ １ x－５ ; (７)５x－４２x－４＝ ２x＋５ ３x－６－ １ ２ ; (８) ２３x－１－１＝ ３ ６x－２ ; (９)xx－２－１＝ ８ x２－４ ; (１０)１０x２－１＋ ２ １－x＝ ３ x－１． ４２　 将整式方程的解代入最简公分母,若值不为０,则整式方程的解是原分式方程的解． ◎练习４ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．已知分式方程２x＋ax－１＝１ 的解为非负数,求a的取值范围． ２．若分式方程x－３x－１＝ m x－１ 有增根,求m 的值． ３．若分式方程 ２x＋１＋ ５ １－x＝ m x２－１ 有增根,求m 的值． ４．关于x的方程:ax＋１x－１＝ ２ １－x＋１ ,若这个方程无解且a≠１,求a的值． ５．已知关于x的分式方程 ２x－１＋ mx (x－１)(x＋２)＝ １ x＋２． (１)若方程的增根为x＝１,求m 的值; (２)若方程有增根,求m 的值; (３)若方程无解,求m 的值． 用分式方程解决实际问题,要恰当地设未知数． ４３　 ◎练习５ 难度:􀳫 容易 　 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．甲、乙两人每小时共做３０个零件,甲做１８０个零件所用的时间与乙做１２０个零件所用的时 间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件? ２．刘阿姨到超市购买大米,第一次按原价购买,用了１０５元．几天后,遇上这种大米８折出 售,她用１４０元又买了一些,两次一共购买了４０kg．这种大米的原价是每千克多少元? ３．甲、乙两名学生练习打字,甲打１３５个字所用时间与乙打１８０个字所用时间相同．已知甲 平均每分钟比乙少打２０个字,求甲平均每分钟打字的个数． ４．某企业的产品对部分地区实行优惠,决定在原定价基础上每件降价４０元,这样按原定价 需花费５０００元购买的产品,现在只花费了４０００元．每件产品的实际定价是多少元? ４４　 列分式方程解决实际问题,首先要找出题中的等量关系． ◎练习６ 难度:􀳫 容易 　 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．一项工程,甲、乙两公司合做,１２天可以完成．如果甲、乙两公司单独完成此项工程,那么 乙公司所用时间是甲公司的１．５倍．甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天? ２．甲、乙两个工程队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道１５００m,且甲工 程队整治３６００m河道用的时间与乙工程队整治２４００m 所用的时间相等．甲工程队每 天整治河道多少米? ３．为了传承优秀传统文化,某校购进名著«西游记»和«三国演义»若干套,其中每套«西游 记»的价格比每套«三国演义»的价格多４０元,用３２００元购买«三国演义»的套数是用 ２４００元购买«西游记»套数的２倍．求每套«三国演义»的价格． ４．为了改善生态环境,某乡村计划植树４０００棵．由于志愿者的支援,实际工作效率提高了 ２０％,结果比原计划提前３天完成,并且多植树８０棵．原计划植树多少天? 对求出的解,要判断是否有意义． ４５　 ◎练习７ 难度:􀳫 容易 　 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．甲、乙两辆车同时从 A 地出发开往距A 地２４０km 的B 地,结果甲车比乙车早到了 ６０min．第二次乙车提速３０km/h,结果比甲车早到２０min．求第一次甲、乙两车的速度． ２．为了推进平安校园建设,甲、乙两所学校组织部分师生各乘一辆大巴车从各自学校同时 出发,前往距离学校分别为２４０km 和２７６km 的“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活 动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车平均速度的１．５倍,甲 校师生比乙校师生晚１h到达目的地．分别求出甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均 速度． ３．某广告公司招标了一批灯箱加工工程,需要在规定时间内加工１４００个灯箱,该公司按 一定速度加工５天后发现,按此速度加工下去会延期１０天完成,这时抽调了一批工人投 入灯箱加工,使工作效率提高了５０％,结果如期完成工作,按规定时间是多少天完成? ４．某公司为增加员工收入,提高效益,今年提出如下目标,和去年相比,在产品的出厂价增 加１０％的前提下,将产品成本降低２０％,使产品的利润率较去年翻一番．求今年该公司 产品的利润率．(利润率＝ 利润 成本×１００％) ４６　 若方程的解没有实际意义,这个实际问题就无解． ◎练习８ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．利民工程队承担了朝阳小区９００m长的污水管道改造任务．工程队在改造完３６０m管道 后引进了新设备,每天的工作效率比原来提高了２０％,结果共用２７天完成了任务．引进 新设备前工程队每天改造管道多少米? ２．李老师家距学校１９００m,某天他步行去学校,走到路程的一半时发现忘带手机,此时离 上班时间还有２３min,于是他立刻步行回家取手机,随后骑电瓶车返回学校．已知李老师 骑电瓶车到学校比他步行到学校少用２０min,且骑电瓶车的平均速度是步行的平均速度 的５倍,李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用４min． (１)求李老师步行的平均速度; (２)请你判断李老师能否按时到校,并说明理由． ３．甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的１．５倍,两人各加工 ６００个这种零件,甲比乙少用５天． (１)甲、乙两人每天各加工多少个这种零件? (２)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是１５０元和１２０元,现有３０００个这 种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成．如果 总加工费不超过７８００元,那么甲至少加工了多少天? 列分式方程解决工程问题时,工作量有时可看作“１”． ４７　 ◎练习９ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某商场销售 A、B 两种自行车,A 种自行车售价为２１００元/辆,B 种自行车售价为 １７５０元/辆,每辆A种自行车的进价比每辆B种自行车的进价多４００元,商城用８００００元 购进A 种自行车的数量与用６４０００元购进B 种自行车的数量相等． (１)求每辆A、B 两种自行车的进价; (２)求这批自行车的销售总利润． ２．为了提高学生的阅读兴趣,某学校建立了共享书架,并购买了一批书籍．其中购买A 种图 书花费了３０００元,购买 B 种图书花费了１６００元,A 种图书的单价是B 种图书的 １．５倍,购买A 种图书的数量比B 种图书多２０本． (１)求A 和B 两种图书的单价; (２)书店在“世界读书日”进行打折促销活动,所有图书都按八折销售．学校当天购买了 A 种图书２０本和B 种图书２５本,共花费多少元? ３．某公司购买了一批A、B 型芯片,其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少９元,已知该 公司用３１２０元购买A 型芯片的个数与用４２００元购买B 型芯片的个数相等． (１)该公司购买的A、B 型芯片的单价各是多少元? (２)若两种芯片共购买了２００个,且购买的总费用为６２８０元,则购买了多少个 A 型 芯片? ４８　 有时根据题目特点设间接未知数,可使解题过程变得便捷． ◎练习１０ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某玩具厂接到６００件玩具的订单后,决定由甲、乙两车间共同完成生产任务,已知甲车间 工作效率是乙车间的２倍,乙车间单独完成此项生产任务比甲车间单独完成多用１０天． (１)甲、乙两车间平均每天各能制作多少件玩具? (２)两车间同时开工３天后,临时又增加了９０件的玩具生产任务．为了使完成任务的总 时间不超过７天,两车间从第４天起各自提高工作效率,提高工作效率后甲车间工作 效率仍是乙车间的２倍．求乙车间提高工作效率后每天至少生产多少件玩具． ２．某市２０１８年平均每天的垃圾处理量为４０万吨/天,２０１９年平均每天的垃圾排放量比 ２０１８年平均每天的垃圾排放量多１００万吨,２０１９年平均每天的垃圾处理量是２０１８年平 均每天的垃圾处理的２．５倍．若２０１９年平均每天的垃圾处理率是２０１８年平均每天的垃 圾处理率的１．２５倍．(注:垃圾处理率＝ 垃圾处理量 垃圾排放量 ) (１)求该市２０１８年平均每天的垃圾排放量; (２)预计该市２０２０年平均每天的垃圾排放量比２０１９年平均每天的垃圾排放量增加 １０％．如果按照创卫要求,城市平均每天的垃圾处理率不低于９０％,那么该市２０２０年 平均每天的垃圾处理量在２０１９年平均每天的垃圾处理量的基础上,至少还需要增加 多少万吨才能使该市２０２０年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求? 在数据较多时,可以通过表格进行相关变量和等量关系的整理． ４９　 ◎练习１１ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某公司开发的９６０件新产品必须加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这 批产品,已知甲工厂单独加工４８件产品的时间与乙工厂单独加工７２件产品的时间相 等,而且乙工厂每天比甲工厂多加工８件产品,在加工过程中,公司需每天支付５０元劳 务费请工程师到厂进行技术指导． (１)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品? (２)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品,乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费 用为每天８００元,请问:乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时,有望加工这 批产品? ２．自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场,某车行经营 的A 型车去年２月份销售总额为３．２万元,今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比 去年增加４００元,若今年２月份与去年２月份卖出的A 型车数量相同,则今年２月份 A 型车销售总额将比去年２月份销售总额增加２５％． (１)今年２月份A 型车每辆销售价多少元? (２)该车行计划今年３月份新进一批A 型车和B 型车共５０辆,且B 型车的进货数量不 超过A 型车数量的２倍,A、B 两种型号车的进货和销售价格如表,应如何进货才能 使这批车获利最多? A 型车 B 型车 进货价格/(元/辆) １１００ １４００ 销售价格/(元/辆) 今年的销售价格 ２４００ ８９　 ３．(１)∵ mx－２＋ n x－５＝ (m＋n)x－５m－２n (x－２)(x－５) ,∴ m＋n＝０, －５m－２n＝１,{ 解 得 m＝－１３ , n＝１３． ì î í ï ï ïï 　(２)设分式 ４x－３(２x＋１)(x－２)＝ m ２x＋１＋ n x－２ ,将 等式的右边通分得m(x－２)＋n(２x＋１)(２x＋１)(x－２) ＝ (m＋２n)x－２m＋n (２x＋１)(x－２) , 由 ４x－３(２x＋１)(x－２)＝ (m＋２n)x－２m＋n (２x＋１)(x－２) ,得 m＋２n＝４, －２m＋n＝－３,{ 解 得 m＝２, n＝１,{ ∴ ４x－３ (２x＋１)(x－２)＝ ２ ２x＋１＋ １ x－２． 第２节　分式的乘除 练习１ (１)原式＝a＋２a－２ 􀅰 １ a(a＋２)＝ １ a(a－２)．　 (２)原式＝(a＋２)(a－２)× a a＋２＝a (a－２)．　(３)原式＝x－２x＋３ 􀅰(x＋３)(x－３)(x－２)２ ＝ x－３ x－２． (４)原 式 ＝ (x＋１)(x－１) (x－１)２ 􀅰 x－１ x(x＋１)＝ １ x．　 (５)原 式 ＝ y (x－３)(x＋３) 􀅰 x＋３ y(y－１)＝ １ (x－３)(y－１)．　 (６)原 式 ＝ (x＋y)２ x(x＋y) 􀅰x＝x＋y．　(７)原式＝２ (x＋y) ５a２b 􀅰 １０ab ２ (x＋y)(x－y)＝ ４b a(x－y)．　 (８)原式＝－８ab ２ ３５m２ 􀅰１５m ３ ４a２b２ ＝－ ６m ７a．　 (９)原式＝ x＋２ x 􀅰 x－２ x(x＋２) 􀅰 １ x－２＝ １ x２．　 (１０)原式＝(２x＋y)(２x－ y)􀅰 ２x－y(２x－y)２ ＝２x＋y． 练习２ (１)原式＝ x ２ (x＋２)(x－２) 􀅰x＋２ x ＝ x x－２．　 (２)原式＝a＋２－ a２ a＋１ 􀅰 a＋５ a＋２ ＝ a３＋５a２＋８a＋４ (a＋１)(a＋２) － a３＋５a２ (a＋１)(a＋２) ＝ ８a＋４ (a＋１)(a＋２)．　 (３)原式＝ ３x－２－ １ x＋２( ) 􀅰x􀅰 x２－４ x ＝ ３x＋６－x＋２ x２－４ 􀅰(x２ －４)＝２x＋８．　 (４)原 式 ＝a ２－１ a 􀅰 a a２＋a－２＝ (a＋１)(a－１) a 􀅰 a(a－１)(a＋２)＝ a＋１ a＋２．　 (５)原 式＝ (９＋a)(９－a) (a＋３)２ 􀅰２(a＋３) a－９ 􀅰a＋３ a＋９＝ －２．　 (６)原式 ＝ x(x＋y) x(x－y) 􀅰 １ x＋y 􀅰 y(y－x) xy ＝ － １ x．　 (７)原 式 ＝ (６＋a)(６－a) (a＋５)２ 􀅰２(a＋５) ６－a 􀅰 a＋５ a(a＋６)＝ ２ a．　 (８)原式＝１－ １ a－３ 􀅰(a－３) ２ a＋３ ＝１－ a－３ a＋３＝ ６ a＋３． 练习３ (１)原式＝a２b６􀅰 －b ３ a６( ) 􀅰 a４ b４ ＝－b ５．　(２)原式＝２x ２ ３y２ 􀅰 ５y ６x 􀅰９x ２ １０y＝ x３ ２y２ ．　　(３)原式＝４ (a＋b) ５ab 􀅰 １５a ２b (a＋b)(a－b)＝ １２a a－b．　 (４)原式＝－ba 􀅰４a ３b 􀅰２a ３b＝－ ８a ９b．　 (５)原式＝ y ２ ３６x４ 􀅰 １６x２ y４ ＝ ４９x２y２ ．　(６)原式＝ (a＋２)(a＋５) a２－a＋１ 􀅰 a ３＋１ (a＋２)２ 􀅰a＋２ a＋１＝ (a＋５)(a３＋１) (a２－a＋１)(a＋１)＝ (a＋５)(a＋１)(a２－a＋１) (a２－a＋１)(a＋１) ＝a＋５．　 (７)原式＝２x ２ ３y２ 􀅰５y ６x 􀅰２１x ２ １０y ＝ ７x３ ６y２ ．　(８)原式＝ (２x－y)２ ２x－y 􀅰 １ (２x＋y)(２x－y)＝ １ ２x＋y．　 (９)原式＝ x＋３(x－１)２ 􀅰 (x－１) ２ x(x＋３)＝ １ x．　 (１０)原式＝ (a－３)２ (２＋b)(２－b) 􀅰２＋b ３－a 􀅰 a ２ ３(a－３)＝－ a２ ３(２－b)＝ a２ ３b－６． 练习４ １．原式＝ (m－２)２ m－１ 􀅰 m－１ ３－m２＋１＝ (２－m)２ (２＋m)(２－m)＝ ２－m ２＋m ,代 入m＝６,原式＝２－６２＋６＝－ １ ２． ２．原 式 ＝ aa＋１ 􀅰 (a＋１)(a－１)(a－１)２ ＝ a a－１ ,代 入 a＝５, 原式＝５４． ３．原 式 ＝a ２－４ a－１ 􀅰２(a－１) a＋２ ＝２ (a－２),代 入 a＝ －１, 原式＝－６． ４．原式＝４a－１－a ２＋１ a＋１ 􀅰 a＋１(a－４)２ ＝ －a(a－４) (a－４)２ ＝－ a a－４． 代入a＝ －１２( ) －１ ＝－２,原式＝－１３． ５．原式＝x－２x－１ 􀅰(x＋１)(x－１)(x－２)２ ＝ x＋１ x－２ ,代入x＝３,原式＝４． 第３节　分式方程 练习１ (１)x＝１　(２)x＝２　(３)x＝２４　(４)x＝ １５ 　 (５)x＝１　 (６)去分母,得x２＋x－２＝x２－１,解得x＝１,经检验,x＝１ 不是方程 的 解,原 方 程 无 解．　 (７)x＝ １３ 　 (８)x＝１　 (９)x＝１　(１０)x＝２ 练习２ (１)x＝１２　 (２)x＝－１　(３)x＝１　(４)x＝－９　(５)x＝８３ (６)x＝９　(７)x＝３　(８)x＝－６　(９)x＝１１５　 (１０)x＝２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９０　 练习３ (１)去分母,得２＋２x＝x－１,解得x＝－３,经检验,x＝－３ 是原方程的解． (２)去分母,得x－２＋３x＝６,解得x＝２,经检验,x＝２不是 原方程的解,原方程无解． (３)去分母,得x－４＝３x－６,解得x＝１,经检验,x＝１是原 方程的解． (４)去分母,得１２－２(x＋３)＝x－３,解得x＝３,经检验,x＝３ 不是原方程的解,原方程无解． (５)去分母,得x＋１－２(x－１)＝４,解得x＝－１,经检验,x＝ －１不是原方程的解,原方程无解． (６)去分母,得x－４－３x＋１５＝１,解得x＝５,经检验,x＝５ 不是原方程的解,原方程无解． (７)去分母,得１５x－１２＝４x＋１０－３x＋６,解得x＝２,经检 验,x＝２不是原方程的解,原方程无解． (８)去分母,得４－６x＋２＝３,解得x＝ １２ ,经检验,x＝ １２ 是 原方程的解． (９)去分母,得x２＋２x－x２＋４＝８,解得x＝２,经检验,x＝２ 不是原方程的解,原方程无解． (１０)去分母,得１０－２x－２＝３x＋３,解得x＝１,经检验,x＝１ 不是原方程的解,原方程无解． 练习４ １．将分式方程２x＋ax－１＝１ 化为整式方程,得２x＋a＝x－１,解 得x＝－１－a．∵方程的解为非负数,∴x＝－１－a≥０,解 得a≤－１．∵x≠１,∴－１－a≠１,即a≠－２．∴a的取值 范围为a≤－１且a≠－２． ２．去分母,整理得x＝m＋３．∵方程有增根,∴m＋３＝１,解 得m＝－２． ３．去分母,得２(x－１)－５(x＋１)＝m,－３x＝m＋７,x＝ －m＋７３ ．∵ 方程有增根,∴－m＋７３ ＝±１ ,解得 m＝－４ 或－１０． ４．去分母,得ax＋１＝x－１－２,又a≠１,解得x＝－ ４a－１． ∵方程有增根,∴－ ４a－１＝１ ,解得a＝－３． ５．方程两边同时乘(x＋２)(x－１),去分母并整理,得(m＋１)􀅰 x＝－５．(１)∵x＝１是分式方程的增根,∴１＋m＝－５,解 得m＝－６．　(２)∵原分式方程有增根,∴(x＋２)(x－１)＝ ０,解得x＝－２或x＝１．当x＝－２时,m＝１．５;当x＝１ 时,m＝－６．　(３)当m＋１＝０时,该方程无解,此时m＝ －１;当m＋１≠０时,要使原方程无解,由(２)得,m＝－６ 或m＝１．５．综上所述,m 的值为－１或－６或１．５． 练习５ １．设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(３０－x)个零件, 根据题意,得１８０ x ＝ １２０ ３０－x ,解得x＝１８,经检验x＝１８是 原方程的解,所以３０－x＝３０－１８＝１２(个)．答:甲每小时 做１８个零件,乙每小时做１２个零件． ２．设大米的原价是每千克x元．根据题意,得１０５x ＋ １４０ ０．８x＝ ４０,解得x＝７,经检验,x＝７是原方程的解．答:这种大米 的原价是每千克７元． ３．设甲平均每分钟打x个字,则乙平均每分钟打(x＋２０)个 字,根据题意,得１３５ x ＝ １８０ x＋２０ ,解得x＝６０,经检验,x＝６０ 是原分式方程的解．答:甲平均每分钟打字６０个． ４．设每件产品的实际定价是x元,则原定价为(x＋４０)元,由 题意,得５０００ x＋４０＝ ４０００ x ,解得x＝１６０,经检验,x＝１６０是原 方程的解．答:每件产品的实际定价是１６０元． 练习６ １．设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙公司单独完成 此项工程需１．５x天,根据题意,得 １x ＋ １ １．５x＝ １ １２ ,解得 x＝２０,经检验,x＝２０是方程的解且符合题意,１．５x＝３０． 答:甲、乙两公司单独完成此工程分别需要２０天、３０天． ２．设甲工程队每天整治河道xm,则乙工程队每天整治河道 (１５００－x)m．根据题意,得３６００x ＝ ２４００ １５００－x ,解得x＝ ９００,经检验,x＝９００是原方程的解．答:甲工程队每天整 治河道９００m． ３．设每套«三国演义»的价格为x元,则每套«西游记»的价 格为(x＋４０)元．根据题意,得３２００x ＝２ 􀅰２４００ x＋４０ ,方程两 边同乘x(x＋４０),得３２００(x＋４０)＝４８００x,解得x＝ ８０,经检验,x＝８０是原方程的解且符合题意．答:每套«三 国演义»的价格为８０元． ４．设原计划每天种x棵树,则实际每天种(１＋２０％)x棵,根 据题意,得４０００ x － ４０００＋８０ (１＋２０％)x＝３ ,解得x＝２００,经检验 x＝２００ 是 原 方 程 的 解,∴４０００２００ ＝２０． 答:原 计 划 植 树 ２０天． 练习７ １．设第一次甲车的速度是xkm/h,乙车的速度是ykm/h, 根据题意,得 ２４０ x ＝ ２４０ y －１ , ２４０ x ＝ ２４０ y＋３０＋ １ ３ , ì î í ï ï ïï 解得 x＝－７２０１１ , y＝－９０, { (舍去) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１　 或 x＝８０, y＝６０．{ 答:甲车的速度为 ８０km/h,乙车的速 度 为 ６０km/h． ２．设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h,则乙校师 生所乘大巴车的平均速度为１．５xkm/h,由题意,得２４０x － ２７０ １．５x＝１ ,解得x＝６０,经检验,x＝６０是所列方程的解,则 １．５x＝９０．答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速 度分别为６０km/h、９０km/h． ３．设该工厂前５天每天生产x个这种零件,１４００x －１０＝５＋ １４００－５x x(１＋５０％) ,解得x＝４０,经检验,x＝４０是原分式方程的 解,１４００ ４０ －１０＝２５． 答:规定的时间是２５天完成． ４．设去年产品出厂价为a,去年产品成本为b,根据题意,得 (１＋１０％)a－(１－２０％)b (１－２０％)b ×１００％＝ a－b b ×２×１００％ ,整 理得１．１a－０．８b ０．８ ＝２a－２b ,解得a＝ ８５b ,把a＝ ８５b 代入 上式右边,得a－b b ×２×１００％ ＝ ８ ５b－b b ×２×１００％ ＝ １２０％．答:今年该公司产品利润率为１２０％． 练习８ １．设引进新设备前工程队每天改造管道xm,由题意,得３６０x ＋ ９００－３６０ (１＋２０％)x＝２７ ,解得x＝３０,经检验,x＝３０是原分式方 程的解．答:引进新设备前工程队每天改造管道３０m． ２．(１)设李老师步行的平均速度为xm/min,骑电瓶车的平 均速度为５xm/min,由题意,得１９００x － １９００ ５x ＝２０ ,解得 x＝７６,经检验,x＝７６是原分式方程的解,且符合题意,则 ５x＝７６×５＝３８０．答:李老师步行的平均速度为７６m/min． (２)由 (１),得 李 老 师 走 回 家 需 要 的 时 间 为１９００２×７６＝ １２．５(min),骑车到学校的时间为１９００３８０ ＝５ (min),则李老 师到学校所用的时间为１２．５＋５＋４＝２１．５(min),２１．５＜ ２３,故能按时到校．答:李老师能按时到校． ３．(１)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工１．５x个零件, 根据题意列方程,得６００ x － ６００ １．５x＝５ ,解得x＝４０,经检验, x＝４０是原分式方程的解,１．５×４０＝６０(个)．答:甲每天 加工６０个零件,乙每天加工４０个零件．　(２)设甲至少加 工了y天,根据题意,得１５０y＋１２０×３０００－６０y４０ ≤７８００ , 解得y≥４０．答:甲至少加工了４０天． 练习９ １．设B种自行车的进价为x元,A种自行车进价为(x＋４００)元, 由题意,得８００００ x＋４００＝ ６４０００ x ,解得x＝１６００,经检验,x＝ １６００是原方程的解,１６００＋４００＝２０００(元)．答:B 型自 行车进价为 １６００元,A 型自行车进价为 ２０００元．　 (２) ８００００１６００＋４００＝４０ (辆),(２１００－２０００)×４０＋(１７５０－ １６００)×４０＝１００００(元)．答:这批自行车的销售总利润 为１００００元． ２．(１)设B 种图书的单价为x 元,则 A 种图书的单价为 １􀆰５x元,由题意,得３０００１．５x－ １６００ x ＝２０ ,解得x＝２０,经检 验,x＝２０是所列分式方程的解,且符合题意,∴１．５x＝ ３０．答:A 种 图 书 的 单 价 为 ３０ 元,B 种 图 书 的 单 价 为 ２０元．　(２)３０×０．８×２０＋２０×０．８×２５＝８８０(元)．答: 共花费８８０元． ３．(１)设B型芯片的单价为x 元/个,则A 型芯片的单价为 (x－９)元/个,由题意,得３１２０x－９＝ ４２００ x ,解得x＝３５,经检 验,x＝３５是原方程的解,∴３５－９＝２６(元/个)．答:A 型 芯片的单价为２６元/个,B型芯片的单价为３５元/个． (２)设购买a个A 型芯片,则购买(２００－a)个B 型芯片, 由题意,得２６a＋３５(２００－a)＝６２８０,解得a＝８０．答:购 买了８０个A 型芯片． 练习１０ １．(１)设乙车间平均每天制作x件玩具,则甲车间平均每天 制作２x件玩具,由题意,得６００x － ６００ ２x＝１０ ,解得x＝３０, 经检验x＝３０是原分式方程的解．答:甲车间平均每天制 作６０件玩具,乙车间平均每天制作３０件玩具．　(２)设乙 车间提高效率后每天生产y 件玩具,由题意,得６００＋ ９０－(３０＋６０)×３≤(７－３)×(y＋２y),解得y≥３５．答:乙 车间提高效率后每天至少生产３５件玩具． ２．(１)该市２０１８年平均每天的垃圾排放量为x万吨,则该市 ２０１９年平均每天的垃圾排放量为(x＋１００)万吨,由题意, 得４０×２．５ x＋１００＝１．２５× ４０ x ,整理,得 ２ x＋１００＝ １ x ,解得x＝ １００,经检验x＝１００是原方程的解．答:该市２０１８年平均 每天的垃圾排放量为１００万吨．　(２)设还需要增加y万 吨才能使该市２０２０年平均每天的垃圾处理率符合创卫的 要求,由(１)得该市 ２０１９ 年平均每天的垃圾排放量为 ２００万吨,则 ４０×２．５＋y２００×(１＋１０％)≥９０％ ,解得y≥９８．答:至 少还需要增加９８万吨才能使该市２０２０年平均每天的垃 圾处理率符合创卫的要求． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２　 练习１１ １．(１)设甲工厂每天加x件产品,则乙工厂每天加工(x＋８) 件产品,由题意,得４８ x ＝ ７２ x＋８ ,解得x＝１６,经检验x＝１６ 是原方程的解,∴x＋８＝１６＋８＝２４．答:甲工厂每天加工 １６件产品,乙工厂每天加工２４件产品．　(２)设乙工厂向 公司报加工费用每天为y元时有望加工这批产品,由题 意,得９６０ ２４×y＋５０× ９６０ ２４≤８００× ９６０ １６＋５０× ９６０ １６ ,解得y≤ １２２５．答:乙工厂向公司报加工费用每天最多为１２２５元 时,有望加工这批产品． ２．(１)设去年２月份A型车每辆的售价为x元,则今年２月份 A 型车每辆的售价为(x＋４００)元,由题意,得３２０００x ＝ ３２０００×(１＋２５％) x＋４００ ,解得x＝１６００,经检验x＝１６００是原 方程的解,则x＋４００＝２０００．答:今年２月份A 型车每辆 销售价为２０００元．　(２)设购进A 型车m 辆,获得的总 利润为w 元,则购进B 型车(５０－m)辆,由题意,得 w＝ (２０００－１１００)m＋(２４００－１４００)(５０－m)＝－１００m＋ ５００００．又∵５０－m≤２m,∴m≥１６ ２３．∵k＝－１００＜０ , ∴当m＝１７时,w 取最大值,５０－１７＝３３(辆)．答:购进A 型车１７辆,B型车３３辆,获利最多． 第四部分　反比例函数 第１节　反比例函数 练习１ １．(１)由题意,得８a４＝４a＋２ ,解得a＝－１,则y＝－ ８x ,y＝ －x＋２．　(２)令－ ８x ＝－x＋２ ,解得x＝４或x＝－２, x＝－２时,y＝４,故另一交点的坐标为(－２,４)． ２．∵y１ 与x成正比例,y２ 与x成反比例,∴设y１ 与x的函 数表达式为y１＝k１x,设y２ 与x 的函数表达式为y２＝ k２ x ,则y与x 的函数表达式为y＝k１x＋k２x． 把x＝２,y＝ －４和x＝－１,y＝５代入y＝k１x＋k２x ,得k１＝－１,k２＝ －４,∴y与x 的函数表达式为y＝－x－４x． ３．(１)已知反比例函数y＝mx 的图像经过A(－２,１),则m＝ －２,所以反比例函数的表达式为y＝－ ２x． 又点B(１,n) 在反比例函数y＝－ ２x 的图像上,所以n＝ －２,而一次 函数y＝kx＋b的图像经过点A(－２,１)、B(１,－２),则 －２k＋b＝１, k＋b＝－２,{ 解得 k＝１, b＝ －１．{ 所以一次函数的表达式为 y＝－x－１．　(２)由图像得,x＜－２或０＜x＜１． ４．(１)把A(２,１)分别代入直线y＝x＋m 与双曲线y＝kx 的 表达式得m＝－１,k＝２．　(２)点B 的坐标(－１,－２)．　 (３)当x＝－１,m＝－１代入y＝－２x＋４m,得y＝－２× (－１)＋４× (－１)＝２－４＝ －２,所 以 直 线 经 过 点 B(－１,－２)． 练习２ １．∵y与－３x成反比例,∴设y＝－k１３x ,可得x＝ k１－３y． 又 ∵x与４z 成正比例,∴设x＝k２ ４z．∴ k１ －３y＝k２ 􀅰 ４ z ,则 y＝－ k１１２k２z． ２．(１)∵ 直线y１ ＝ －２x 经过点P(－２,a),∴a＝ －２× (－２)＝４,∴点P(－２,４)．∵点P关于y轴的对称点为P′, ∴P′(２,４)．　(２)∵P′(２,４)在反比例函数y２＝kx (k≠０) 的图像上,∴k＝２×４＝８,∴反比例函数的表达式为y２＝ ８ x． 在每个象限内,y随着x 的增大而减小． ３．(１)过点A作AH⊥x轴于点H,∵∠AOC＝４５°,∴∠AOH＝ ４５°,∴OH＝AH．∵OA＝２ ２,∴在 Rt△AHO 中,AH２＋ OH２＝OA２,∴OH＝AH＝２,即点 A 的坐标为(２,２)． 又∵点(２,２)在y＝kx 的图像上,∴k＝２×２＝４．　(２)设 点C的坐标为(０,a),则OC＝a,∵四边形OABC 是平行 四边形,∴OC∥AB,OC＝AB,∴点B 的坐标为(２,a＋ ２)．∵D 是BC 的中点,∴点 D 的坐标为(１,a＋１)．又 ∵D(１,a＋１)在y＝４x 的图像上,∴a＋１＝４,解得a＝３, ∴点D 的坐标为(１,４)． ４．∵四边形OAPB是正方形,∴点P 的横纵坐标相等,因而 设坐标是(a,a),代入函数表达式得到a＝１,即OA＝１,点 P 的坐标是(１,１)．设点P１ 的横坐标n,纵坐标为n＋１, ∴点P１的坐标是(n,n＋１),把点P１ 的坐标代入函数y＝ １ x ,得到n(n＋１)＝１,∵点P′在第一象限,∴n＞０,解得 n＝ ５－１２ ,∴点P１ 的坐标是 ５－１２ ,５＋１ ２ æ è ç ö ø ÷． 练习３ １．(１)∵一次函数的图像过点 A(a,４),∴a＋３＝４,a＝１． ∵反比例函数y＝ kx 的图像过点A(１,４),∴k＝４．　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋