第2部分 第4节 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式-2024-2025学年初中数学计算能力强化训练八年级全册

２６　 在一次函数中,已知某一确定的y值,求自变量x的值通常是解一元一次方程． 第４节　一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 ◎练习１ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．已知一次函数y１＝kx＋２(k为常数,k≠０)和y２＝x－３． (１)当k＝－２时,若y１＞y２,求x的取值范围; (２)当x＜１时,y１＞y２．结合图像,直接写出k的取值范围． ２．如图,一次函数y１＝－x－２与y２＝x－４的图像相交于点A． (１)求点A 的坐标; (２)若一次函数y１＝－x－２与y２＝x－４的图像与x轴分别相交于点B、C,求△ABC的 面积; (３)结合图像,直接写出y１≥y２ 时x的取值范围． ax＋b＞０的解就是求y＝ax＋b中y＞０时,x的取值范围． ２７　 ◎练习２ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．已知函数y１＝kx＋５和y２＝２x＋b相交于点(２,３)． (１)求k、b的值,并在同一平面直角坐标系中画出这两个函数图像; (２)根据图像回答下列问题: ①当x取何值时,分别有:y１＜y２,y１＝y２,y１＞y２; ②当x取何值时,分别有:y１＞０且y２＞０,y１＜０且y２＞０． ２．如图,函数y１＝kx＋b的图像与y２＝mx的图像交于点P(２,１),P 是线段AB 的中点,与 x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B． (１)点A 的坐标是　　　　,b＝　　　　; (２)根据图像解答: ①解方程组 y１＝kx＋b, y２＝mx;{ ②解不等式组 kx＋b－mx＜０, kx＋b＞０．{ ２８　 ax＋b＞０的解就是求y＝ax＋b图像位于x 轴上方部分对应的横坐标的值． ◎练习３ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程,开始时风速平均每小时增加 ２km/h,４h后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加４km/h,一段时间后, 风速保持不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少１km/h,最终停止． 结合风速与时间的图像,回答下列问题: (１)在y轴括号内填入相应的数值; (２)沙尘暴从发生到结束,共经过多少小时? (３)求出当x≥２５时,风速y(km/h)与时间x(h)之间的函数表达式; (４)若风速达到或超过２０km/h,称为强沙尘暴,则强沙尘暴持续了多长时间? ２．某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药 后２小时时血液中含药量最高,达每毫升８μg(１０００μg＝１mg),接着逐步衰减,１０小时 时血液中含药量为每毫升４μg,每毫升血液中含药量y(μg),随时间x(h)的变化如图 所示． (１)求y与x 之间的函数表达式; (２)如果每毫升血液中含药量不低于３μg或３μg以上时,在治疗疾病时是有效的,那么 这个有效时间是多少小时? 三者有着紧密的联系,可以通过数形结合进行解题． ２９　 ◎练习４ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．快车甲和慢车乙分别从A、B 两站同时出发,相向而行．快车到达B 站后,停留１h,然后 原路原速返回A 站,慢车到达A 站即停运休息．下图表示的是两车之间的距离y(km)与 行驶时间x(h)的函数图像．请结合图像信息,解答下列问题: (１)直接写出快、慢两车的速度及A、B 两站之间的距离; (２)求快车从B 站返回A 站时,y与x 之间的函数表达式; (３)出发几小时时,两车相距２００km? 请直接写出答案． ２．甲、乙两辆货车分别从 M、N 两地出发,沿同一条公路相向而行,当到达对方的出发地后 立即装卸货物,５min后再按原路以原速度返回各自的出发地,已知 M、N 两地相距 １００km,甲车比乙车早５min出发,甲车出发１０min时两车都行驶了１０km,甲、乙两车 离各自出发地的路程y(km)与甲车出发时间x(min)的函数图像如图所示． (１)甲车从 M 地出发后,经过多长时间甲、乙两车第一次相遇? (２)乙车从 M 地出发后,又经过多长时间甲、乙两车与各自出发地的距离相等? 初中数学计算能力强化训练八年级 练习2 没运同时，令60=160，解刊=号当乙车已返同时，令 1.1)/=2, (2)三条直线经过同一个点，理由如下：直线 Ly=1. 420一0=1060解得上号当上为号安号时.车与 y=一1与直线y=一立+2相交于点A(21.把 A地的距离恰好相同。 2.(1D由题意，得小丽骑车的速度为36÷2.25=16(km/h), ”代人y=子十号中，等式成立三条直线的过 =2, 小明骑车的速度为36÷1一16=20(km/h).答：小丽骑车 的速度是16km/h,小明骑车的速度是20km/h,(2)由 同一个点 图像可得，点E的实际意义是小明到了甲地，小丽还没到 2.a)将A0,3》.B(3,0)代人y=r+6.得3= 解得 10=3k+b, 乙地。点E的横坐标为36本20=号，点E的纵坐标为 (k=一1. k=一1,6=3.(2)由(1)知一次函数的表达 号×16=“点E的坐标是（号号） b=3, 式为y=一x十3，与正比例函数表达式联立，得 练习4 (=一x十3 解得1， 1.(1)63020(2)11:x=-301+60.l经：s=20-10.相 点P的坐标为(1,2). y=2.x y=2, 遇前：（一304+60）一(201-10)=5,4=1.3.相遇后： 又D由题意，得k+=0 解得1， (201-10)-(-30t十60)=5,1=1.5.放甲出发1.3h或 .直线AB的的 1k+h=4, 1b=5, 1.5h时两人恰好相距5km 数表达式是y-工十6.2由题意，科十5”解 2.(1)ya=90r-90(2)yA=60.r,当r=5时，yA=300,当 y=2x-4, zx=6时，m=450.450一300=150(kg..B种机器人比 得3. A种机器人多搬运了150kg =2.2点C的坐标为3,2. 3.(1)1015200(2)ye=200,x-1500,m-120x.由 4.1在y=3-2中，令y=0.即3x-2=0,解得x=号。 200r-1300=120,得E=75,这时y=2250,3000 “点D的坐标为（号，0）：点C(m,3)在直线y=3江一2 2250=750(m).(3)200x-1500=t,.x= 80215<<2.5100<<138分 上3m-2=3.m= 5 点C的坐标是（停3 第4节一次函数、一元一次方程和 (2)设直线的函数表达式为y=kx十(k≠0)，由题意， 一元一次不等式 得停+6=3 k=一 6 练习1 解得 的雨数表达式为y 6 1.(1)当表=一2时.y=一2x十2.由题意，得一2x十2>x 4k+b=1, 7 (3)由图可知，二元一次方程组 3.解得<多 (2)当x=1时，为=一2.当x=0时， =2.设A(1,一2)，B(0,2),一次函数当的图像任过点 y=3r-2. x= 的解为 3 B.经过A,B两点的直线的表达式为y=一4x十2.由图像 6.x+7y=31 y=3. 可知：满足条件的k的取值范围是一4≤k≤1.且k≠0. 练习3 1.(1)由题意，得甲车到达B地休息了7一2一2=3()，故答 案为3.(2)设甲车返回A地途中y与x之间的函数表 y5k十b=160, 达式为y=kx十b, 40， 56x 7k+b=320,1b=-240, A(1.-2） 7),即甲车返回A地途中y与x之间的函数表达式为y 80x-240(5≤x≤7).(3)甲车的速度为160÷2= 80(km/h),乙车的速度为420÷7=60(km/h),当乙车还 ,/ 2.1)解方程组=一一2 y=-3, 点A的坐标为 86 参考答案 (1,-3).(2)当y=0时，-x-2=0x=-2,则点B的 为y=4z-8(4≤x≤10).当y■20时，x■7.线段CD的 坐标为（一2.0）；当=0时，x一4=0，x=4,则点C的坐 函数表达式为y=一x十57(25≤x57),当y=20时， 标为4.0).则BC=4-(一2)=6△ABC的面积=号× x=37,∴持续时间为37-7=30(h). 2.(1)当r<2时，设y=kx,把(2,8)代人，得k=4,.x<2 6×3=9.(3)由图像可知，y≥为时x的取值范用是 时，y=4x:当x>2时，设y=x+b,把(2,8)、(10,4)代人 x≤1 2k十b=8. k= 练习2 上式，得 解得 2· ,x>2时.y= 110k+b=4. 1.1)把2,3)分别代人=+5 (3=2k+5.. k=-1, b=9, x=2r+b. 13=4+b. 1b=-1. 之+9，(2)把y=3代人=红，可得r=,把y 此时两条直线为=一x十5，为=2x一1.图像如图. 3代人y=- 1V4 豆工十9，可得x=12,“这个有效时间是 -2-1 2,3) 12-是=1.25h. 练习4 1.(1)由图像可知，当两车出发10h时，快车到达B站，之后 1h,快车休息，只有慢车在走，故慢车的速度为(880 (2)①由图可知当x=2时，”=为：当x>2时，<2：当 800)÷(11一10)=80(km/h).又由图像知，慢车用6h走 x<2时，y>.②求出y与x轴的交点(5.0)，业与x 的距离，快车用10一6=4(h)走完，.快车的速度为6× 轴的交点(20）“要使>0且>0，即x<5且之 80÷(10一6)=120(km/h),A、B两站相距(120+80)× 名当安<<5时，>0且g>0.:要使别<0且 6=1200(km.(2)设直线PQ的表达式为y=x+, 1 把Q15.720).P(1,880)f代人，得1k+6=880, 为>0，即x>5且x>2心当x>5时9<0且4>0. 115k+b=720, 2.(I)过点P作PC⊥x轴于点C,:x轴⊥y轴，∴PC∥ ,∴.直线PQ的表达式为y=一40x+1320. 1b=1320. y轴.P为AB的中点，P(2,1D.∴C为O1的中点，∴OB= 设直线QH的表达式为y=mx+m,将点Q(15,720)、 2PC=2×1=2,0A=2C=2×2=4,.点A的坐标是 (4,0),点B的坐标是(0,2)，.b=2.故答案为(4,0)，2. 1(21,0)代人，得15m+w=720 解得/0=-120. 21m十n=0, 1n=2520. ∴直线QH的表达式为y=一120x+2520.∴快车从B 4=x 站返回A站时，y与x的函数关系式为y一 (2,1) -40x+1320(11≤x≤15)， 10 A (3)在快车和慢车相遇 ykx+h -120.x+2520(15<x≤2. (2)①：函数y=kx十b的图像与y:=mx的图像交于点 前，两车相距200km时间是(1200-200)÷(120+80)= P(2.1)方程组=x+b 5(h》.在快车和慢车相遇后，快车到达B站前两车相距 ②函 (3为=mx 的解是2， (y=1, 200km的时间是(1200+200)÷(120+80)=7(h).在慢 数y=kx十b的图像与y:=mx的图像交于点P(2,1), 车到达A站后，快车在返回A站前相距200km的时间是 y=r十b与x轴的交点A的坐标是(4,0)，.不等式组 11+(1200-200)÷120=5(h).综上，出发5h或7h或 3 (kr十b一mr<0, 的解集是2<x<4. kx+b>0 警h时，丙车相距20km 练习3 2.(1)设线段AB的表达式为y=k1x十b,将(5,0)和 25k+6=32, 1.(1)832(2)57h(3)设y=x十b,则 10,10代人得k十6=0，解得=2. 110k+6=10, ·AB段 157k+h=0. 6=-10. /-1. 的函数表达式为y=2x一10，设线段OE的表达式为y■ y=一x+57,(4)线段AB的函数表达式 1b=57. k:x,将(10,10)代入得10k=10,.k:=1,即OE段的表 87 初中数学计算能力强化训练八年级 达式为y=x.当两车第一次相遇时，(2x-10)+x■100， 练习3 ∴=巴，答：甲车从M地指发后，径过少m,甲，乙两车 3 ①原式=++= x一1 .(2)原式 第一次相遇.(2)由题意，得100=2一10，.=55. 2u-(a+3》=1 ∴=m+5=60,由题意可知，m一=u一5，即m=110. a+3)a-3u十3《3)原式-址二+1+2a-1 a-1 设D段的函数表达式为y=6r+6一06，十6=10， 4如-4如+1+2a+a-64- a-1 a-1 (4)原式 a2-1 110k+b=0. 2a a+56 a-56 .CD段的函数表达式为y=一2x十220. 2(a+5b)(a-5b2(a+5b)(u-5b)-2(a+5b)(a-5h 1h=220. 220 如十《6)原式=之十号当 3 y=-2x+220. 220 -60-答：乙车 0原式=二3出-名 2-1 (7)原 3 2x 4x2 从M地出发后，又经过智m,甲，乙两车与各自出发地 的距离相等。 (8)原式=2a-4十4=4-4=1 a-16a-16a-16a+ ,(9)原式= 第三部分分式 a2+4a+1_a2+a-2+a2-1a2+3a+5 &+4a+0+ia+7+a+a+a+4a+ (10)原 第1节分式的加减 练习1 1)原式=串1、2)原式-名-1 练习4 (3)原式 1.原式=g-2g=-2w=-4,当4=-2时， 3士=3.4)原式==2a=》-1 +3 4+1 a+1 (5)原式 原式一一4. (6)原式-二}-+1.()原式-m9 =m十3 x-1 m-3 2.3+A B Ar+A B.x一B +中1=3+r+iD+x+-D (8)原式=a-)牛a+)=g2十 2ab (9)原式= 3+A中B±AB=3,由题意，和A+B=-7: (x+1)(x-1) 3m-#十4-(m十2r)=2m-2鞋 十 (10)原式=-+4 {A-B-3=2. 十 r-2 1A=-1, 故4A-2B=-4+12=8. x-2. B=-6. 练习2 3.A+B=0.理由：x≠士2，x十2≠0，x一2≠0,2-x≠ (1)原式-u+2)2-(a一2y28a 1=4+x-2-(x十22 (a-2)(d+2)a-4 (2)原式-吕十 0心A+B= ++2十2是 3(x十1=4 r-1x3-1 (8)原式=片-号 +20(r-2万=0. (4)原式=2-8=aa+2=a+2g-里=a-4. 4+是2A+A- r-3 u+2 a+2 (2+1)(x一1) (5)原式=-2x十1+x-1 x(x-1) ∴.(A+B).x+B-A=x-3,即A十B=1,B-A=-3,解 x2-1 x+1)x-1)=+ 得A-2,B=-1. (6)原式=十3+1-(x-3_6 3-x 2-9 2(2-9) 2-96+27 (7)原式 练习5 =(a+2)(a-2) -4-2=a-2-a-2=-4. 1,原式=上一上 1 (8)原式= a+2 4-市+a+-+2+…+ 4+2019 a+1 (9)原式=2x+2)-12牛D(x+2= 1 2020 2(x2-4) 027o20 2x+4-12++x-2 x2+3x-10(x+5)(x-2) 2(r-4) 2(.x+2)(x-2)2(.x+2)(x-2) 2原式=有+点+…+中2丽 x十5 (10)原式=2一4-x+6 x+2 1 1 1 1 2020 2r+ x2-4 +2-r2 x+202r+1x+202(r+1)(x+2021) 88