第2部分 第2节 用一次函数解决问题-2024-2025学年初中数学计算能力强化训练八年级全册

null解决问题时,需要分析变量之间的关系,根据已知条件寻求可以反映实际问题的函数． １３　 第２节　用一次函数解决问题 ◎练习１ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．小明和父母一起开车到距家２００km处的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油４５L,当行 驶１５０km时,发现油箱余油量为３０L．(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的) (１)求该车平均每千米的耗油量,并写出剩余油量Q(L)与行驶路程x(km)之间的函数 表达式; (２)当x＝２８０时,求剩余油量Q 的值; (３)当油箱中剩余油量低于３L时,汽车将自动报警．如果往返途中不加油,他们能否在 汽车报警前回家? 请说明理由． ２．已知A、B 两地相距８０km,甲、乙两人沿同一公路从A 地出发到B 地,甲骑摩托车,乙骑 电动车,图中线段DE、OC分别表示甲、乙离开A 地的路程s(km)与时间t(h)的函数关 系的图像．根据图像解答下列问题: (１)甲比乙晚出发几个小时? 乙的速度是多少? (２)乙到达终点B 地用了多长时间? (３)在乙出发后几小时,两人相遇? ３．某日通过高速公路收费站的汽车中,共有３０００辆次缴了通行费,其中大车每辆次缴费 ２０元,小车每辆次缴费１０元．设这一天小车缴通行费的辆次为x,总的通行费收入为y元． (１)试写出y关于x的函数表达式,y是x的正比例函数吗? 是一次函数吗? (２)若小车缴通行费的辆次为１０００,这天的通行费收入是多少元? １４　 解决实际问题时,自变量的取值范围受实际条件的制约． ◎练习２ 难度:􀳫 容易 　 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某中学召开运动会,需要购买奖品,学校工作人员到商场购买了甲种商品２５件,乙种商品 ２６件,共花费了２８００元;回学校后发现少买了２件甲种商品和１件乙种商品,于是马上到该 商场花了１７０元把少买的商品买回来． (１)分别求出甲、乙两种商品的标价; (２)若该校准备为全校教职工购买甲、乙两种商品作为纪念品,需购买甲、乙两种商品共 ２００件,请求出总费用w(元)与甲种商品数量a(件)之间的函数表达式．(不需要求出 自变量的取值范围) ２．某手机专卖店销售１部A 型手机的利润为１００元,销售１部B 型手机的利润为１５０元． 该商店计划一次购进两种型号的手机共１００部,设购进A 型手机x 部,这１００部手机的 销售总利润为y元． (１)求y与x 之间的函数表达式; (２)若B 型手机的进货量不超过A 型手机的２倍,该商店购进A 型、B 型手机各多少部 才能使销售总利润最大? ３．某校准备到体育用品店购买甲、乙两种乒乓球若干个,已知购买３个甲种乒乓球和５个乙 种乒乓球共需５０元,购买２个甲种乒乓球和３个乙种乒乓球共需３１元． (１)１个甲种乒乓球和１个乙种乒乓球的售价各是多少元? (２)学校准备买这两种型号的乒乓球共２００个,要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球 的数量的３倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由． 根据一次函数的增减性质可以解决一些实际问题． １５　 ◎练习３ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．端午节放假期间,某校计划租用６辆客车送２４０名师生参加研学活动,现有甲、乙两种客 车,他们的载客量和租金如下表,设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元． 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) ４５ ３０ 租金/(元/辆) ２８０ ２００ (１)求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式; (２)求出自变量的取值范围; (３)选择怎样的租车方案所需的费用最低? 最低费用是多少元? ２．某厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售,其进价与售价如下表: 进价/(元/台) 售价/(元/台) 电饭煲 ２００ ２５０ 电压锅 １６０ ２００ (１)第一季度,厨具店购进两种电器共３０台,用去了５６００元,并且全部售完,那么厨具 店在该买卖中赚了多少钱? (２)为了满足市场需求,第二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共５０台,且电饭煲的数 量不大于电压锅的３ ５ ,请你通过计算判断,如何采购才能使该厨具店盈利最多? 最大 利润是多少? １６　 对于不同的自变量的取值情况,有时候需要分类进行讨论． ◎练习４ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某工厂计划生产甲、乙两种产品共２５００吨,每生产１吨甲产品可获得利润０．３万元,每 生产１吨乙产品可获得利润０．４万元．设该工厂生产了甲产品x(吨),生产甲、乙两种产 品获得的总利润为y(万元)． (１)求y与x 之间的函数表达式; (２)若每生产１吨甲产品需要A 原料０．２５吨,每生产１吨乙产品需要A 原料０．５吨．受 市场影响,该厂能获得的A 原料至多为１０００吨,其他原料充足．求出该工厂生产甲、 乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润． ２．一个水果商在批发市场按每千克１．５元批发了若干千克西瓜进城出售,为了方便,他带 了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后,剩余的西瓜降价出售,售出西瓜千克数x与 他手中持有的钱数y 元(含备用零钱)的关系如图所示,结合图像回答下列问题: (１)这个水果商自带的钱是多少? (２)降价前他每千克西瓜的出售价格是多少? (３)随后他按每千克下降０．５元将剩余的西瓜售完,这时他手中的钱(含备用的钱)是 ４００元,他一共批发了多少千克的西瓜? (４)这个水果商一共赚了多少钱? ３．某工厂有２０名工人,每人每天加工甲种零件５个或乙种零件４个．在这２０名工人中,派 x人加工甲种零件,其余的加工乙种零件,已知每加工一个甲种零件获利１６元,每加工 一个乙种零件获利２４元． (１)写出此工厂每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数表达式;(只写出表达式) (２)若要使工厂每天获利不低于１８００元,至少要派多少人加工乙种零件? 根据函数图像,理解x、y变化过程的实际意义． １７　 ◎练习５ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某镇组织１０辆汽车装运A、B、C三种不同品质的水果共１００吨到外地销售,按计划１０辆 汽车都要装满,且每辆汽车只能装同一种水果．根据下表提供的信息,解答以下问题． 水果品种 A B C 每辆汽车运载量/吨 １２ １０ ８ 每吨水果获利/万元 ３ ４ ２ (１)设装运A 种水果的车辆数为x,装运B 种水果的车辆数为y,求y与x 之间的函数表 达式; (２)如果装运每种水果的车辆数都不少于２辆,要使此次销售获利最大,应采用哪种安排 方案? 并求出最大利润． ２．为更新果树品种,某果园计划新购进A、B 两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两 种果树苗共４５棵,其中A 种苗的单价为７元/棵,购买B 种苗所需费用y(元)与购买数 量x(棵)之间存在如图所示的函数关系． (１)求y与x 的函数表达式; (２)若在购买计划中,B 种苗的数量不超过３５棵,但不少于A 种苗的数量,请设计购买方 案,使总费用最低,并求出最低费用． １８　 题目涉及两个一次函数时,可以分别求出函数表达式,再进行比较． ◎练习６ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某公司要印制宣传材料,现有甲、乙两个印刷厂．甲印刷厂提出:每份材料收１元印制费, 另收１５００元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收２．５元印制费,不收制版费．设印制数量 为x(份),甲、乙两印刷厂的收费分别为y１(元)和y２(元)． (１)请写出y１＝　　　　;y２＝　　　　． (２)印制８００份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算? 并说明理由． (３)该公司拟拿出３０００元用于印制上述宣传材料,找哪家印刷厂印制这种宣传材料印 制的份数能多一些? ２．某通信公司手机费用有A、B 两种计费标准,如下表: 月租费/(元/月) 通信费/(元/分钟) 备注 A 种收费标准 ５０ ０．４ B 种收费标准 ０ ０．６ 通话时间不足１分钟 按１分钟计算 设某用户一个月内手机通话时间为x(分钟),请根据上表解答下列问题: (１)分别写出 A 类、B 类收费标准中,该用户应缴纳手机费用与通话时间x 的函数 表达式; (２)如果该用户每月通话时间为３００分钟,应选择哪种收费方式? 说说你的理由; (３)如果该用户每月手机费用不超过９０元,应选择哪种收费方式? 说说你的理由． 分析函数图像时,通常需要我们明确图像的端点、交点、折点等表示的不同含义． １９　 ◎练习７ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．随着信息技术的快速发展,“互联网＋”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习 交流不再是梦,现在某教学网站策划了A、B 两种上网学习的月收费方式: 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A ７ ２５ ０．０１ B m n ０．０１ 设每月上网学习时间为x(h),方案A、B 的收费金额分别为yA、yB． (１)如图是yB 与x 之间函数关系的图像,请根据图像填空:m＝　　　　,n＝　　　　; (２)写出yA 与x 之间的函数表达式; (３)选择哪种方式上网学习合算,为什么? ２．某公司计划组织员工外出,甲、乙旅行社的服务质量相同,且对外报价都是３００元/人,该 公司联系时,甲旅行社表示可以给每个人八折优惠;乙旅行社表示可免去一人的费用,其 余人九折优惠． (１)根据题意,填写下表: 外出人数/人 １０ １１ 甲旅行社收费/元 ２６４０ 乙旅行社收费/元 ２４３０ (２)设该公司此次外出有x 人,选择甲旅行社的费用为y１ 元,选择乙旅行社的费用为 y２ 元,分别写出y１、y２ 关于x的函数表达式; (３)该公司外出人数在什么范围内,选甲旅行社更划算? ２０　 利用一次函数求最值时,关键是运用一次函数的性质,再结合自变量的取值范围确定最值． ◎练习８ 难度:　 容易 　 中等 􀳫 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．某单位准备印一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部 分,乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y(千元)与证书数量x(千 个)的函数关系图像分别如图中甲、乙所示． (１)甲厂的制版费是　　　　千元,当x≤２时,乙厂证书的印刷单价是　　　　 元/个; (２)求出甲厂的印刷费y甲 与证书数量x的函数表达式; (３)当印制证书８千个时,应选择哪个印刷厂更节省费用,节省费用多少元． ２．用 A４纸复印文件,在甲复印店不管一次复印多少页,每页收费０．１元．在乙复印店复印 同样的文件,一次复印页数不超过２０时,每页收费０．１２元;一次复印页数超过２０时,超 过部分每页收费０．０９元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)． (１)根据题意,填写下表: 一次复印页数/页 ５ １０ ２０ ３０ 􀆺 甲复印店收费/元 ０．５ ２ ３ 􀆺 乙复印店收费/元 ０．６ １．２ ２．４ 􀆺 (２)设在甲复印店复印收费y１ 元,在乙复印店复印收费y２ 元,分别写出y１、y２ 关于x的 函数表达式; (３)顾客如何选择复印店复印花费少? 请说明理由． 用一次函数解决实际问题,巧设自变量和因变量,建立一次函数数学模型很关键． ２１　 ◎练习９ 难度:　 容易 􀳫 中等 　 难 建议时间:１５分钟 完成时间:　　　　 １．为了庆祝商场正式营业,商场推出了两种购物方案．方案一:非会员购物所有商品价格可获得 九五折优惠;方案二:如缴纳３００元会费成为该商场会员,则所有商品价格可获得九折优惠． (１)设商品价格为x(元),两种方案的支出金额分别为y１、y２,写出y１、y２ 与x的函数表达式; (２)某人计划在商场购买价格为５８８０元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱? (３)哪种情况下,两种方案的支出金额相同? ２．某快餐连锁店招聘外卖骑手,并提供了如下两种日工资方案． 方案一:每日底薪６０元,每完成一单外卖业务再获得提成３元; 方案二:每日底薪１００元,外卖业务的前四十单没有提成,从第４１单开始,每完成一单业 务再获得提成５元． 设骑手每日完成的快递业务量是n(n为正整数,单位:单),方案一、二中骑手的日工资分 别为y１、y２(元)． (１)分别写出y１、y２ 关于n的函数表达式; (２)据统计,新聘的骑手小文上班第一周每日完成的业务量平均数约为６０单,若仅从日 工资收入的角度考虑,他应该选择哪种日工资方案? 请说明理由． ３．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示． 乙公司方案:绿化面积不超过１０００平方米时,每月收取费用５５００元;绿化面积超过 １０００平方米时,每月在收取５５００元的基础上,超过部分每平方米收取４元． (１)求如图所示的y与x 的函数表达式;(不要求写出x的取值范围) (２)如果某学校目前的绿化面积是１２００平方米,试通过计算说明,选择哪家公司的服 务,每月的绿化养护费用较少．