精品解析：广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题

2024—2025学年度第二学期第一次段考 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 3. 在中，角的对边分别为，若，则 A. B. C. D. 或 4. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 向量，为第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知．若与的夹角为钝角，的取值花围是 D. 与夹角的余弦值为 11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）. 13. 如图所示，已知船在灯塔北偏东方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为______km. 14. 已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求值． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求长． 17. 设向量，，． （1）求单调递减区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 18. 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． （1）已知，，求； （2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第一次段考 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，一个单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的计算公式求得复数，然后求得 【详解】因， 所以， 所以. 故选：A. 3. 在中，角的对边分别为，若，则 A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果. 【详解】由正弦定理可得： 且 或 本题正确结果： 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 4. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 5. 若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可. 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 6. 向量，为第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示得，结合平方关系及角所在象限得，最后应用诱导公式化简求值. 【详解】由题设，且，为第三象限角，可得， 所以. 故选：B 7. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积的运算律求解即得. 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 8. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，， 即，得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去），则， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以， 由对勾函数在上单调递减， 可得：在单调递减； ，， 所以． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都实数，因此，D正确. 故选：BD 10. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知．若与的夹角为钝角，的取值花围是 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出即可判断A选项；求出即可判断B选项；根据与的夹角为钝角即可判断C选项，利用公式即可判断D选项. 【详解】因为， 所以和不垂直，故A错误； ， 所以，故B正确； 因为与的夹角为钝角， 所以， 因为与不共线，所以不存在使得， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式即可求解. 【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为： 13. 如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为______km. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知数据应用余弦定理计算求解即可. 【详解】由题意可知，，， 在中，由余弦定理可得， ，解得（舍）或. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析的位置关系，明确点轨迹，化简，利用三角函数求其取值范围. 【详解】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上， 又，所以，所以为圆的直径. 所以. 又，则点在以为圆心，2为半径的圆上.所以. 因为 设，则 . 因为，所以. 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 ，， ，，即，得， 若向量与互相垂直，则， 即得， ，解得或. 【小问2详解】 由，所以，所以不共线， 由向量与互相平行， 可知存在实数，使得， ，解得， 当时，；当时，. 或. 16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得； (2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】(1)由AB∥CD可得，则， 即，而，即有， 在中，， 所以； (2)由(1)知，， 中，由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即，解得或(舍去)， 所以的长为. 17. 设向量，，． （1）求的单调递减区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间； （2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 18. 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则， 因为，所以 即， 因为，所以 从而， 联立方程组解得 因此 【小问2详解】 因为是线段上一点，，所以， 又因为，所以，因此， 又,即, 由第一问知， 所以 令 因此 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． （1）已知，，求； （2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ①因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $