清明节期间三角形的证明特优培训针对训练2024-2025学年北师大版八年级数学下册

三角形的证明特优培训针对训练 一、单选题 1．如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，直角三角形中所对的边等于斜边的一半等知识点，将的最大值转化成最小是解此题的关键．过点作于，连接，设，则，结合含角的直角三角形的性质可得关于的不等式，计算可求解的最小值，进而可求得的最大值． 【详解】解：过点作于，连接，如图， ∵， ∴； 设，则， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， 解得， ∴最小值为的最大值为． 故选：C． 3．如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作，，连接，证明，可得，结合点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，可得当取最小值时，刚好是2个，共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作，，连接， ∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个， ∴当取最小值时，刚好是2个， ∴共线时， 最小， ∵为的三等分点， ∴设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质．过点作，，根据等腰三角形的性质可得，，又因为，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，从而可证，可得，根据全等三角形的面积相等可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可知是的平分线，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 和均为等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ，，， 又 ， ， ， ， ， 是的平分线， ． 故选：A ． 5．如图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是边上的动点，与相交于点F且．则下列5个结论： （1）；（2）是等腰直角三角形； （3）；（4）四边形的面积会发生改变； （5）．其中正确的结论有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理和全等三角形的判定定理等知识点，根据等腰直角三角形的性质求出，，，求出，根据全等三角形的判定定理推出，再逐个判断即可．能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：，，是边上的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即，故（1）正确； 是等腰直角三角形，故（2）正确； ，故（3）正确； 四边形的面积为，故不会发生改变，故（4）错误； ， ，， ，故（5）正确； 故正确的有4个， 故选：C． 二、填空题 6．已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出、两点的坐标，进而求出的面积，再根据和的面积相等分情况列出等式解答即可． 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 7．如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形、勾股定理．作于点，于点，交的延长线于点，则，先由两条平行线之间的距离处处相等得到，再证明得到，然后在中由求出，，，，再利用得到，接着利用勾股定理依次求出，，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，， ， ， 即取得最小值时，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，转化线段是解题的关键． 9．如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，由等腰三角形的性质得，进而由勾股定理得，由折叠的性质得，可得，设，在中，由勾股定理得，得到，再利用等腰三角形的性质和勾股定理可得，最后利用三角形面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵ ，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题 11．（1）如图1，在中，，点D在上，，则 ； （2）如图2，在中，，点D在上，，，求的度数； （3）如图3，在四边形中，，，，求的度数． 【答案】（1）（2）30度；（3）80度 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，易得；根据三角形外角的性质，易得；设，进而得到，结合三角形内角和定理列方程求解，即可解题； （2）如图2，在上取一点E，使，证明，结合全等三角形性质，即可解题； （3）先根据三角形的内角和定理得，由等腰三角形的性质得，延长至点G，使，连接，作，交于F，交于点P，连接，设与交于点E，证明和，即可解题． 【详解】解：（1）设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，在上取一点E，使， ， ， ， ， 即， ，， ，， ， ，， ， ； （3），， ， ， ， ， ， 如图，延长至点G，使，连接，作，交于F，交于点P，连接，设与交于点E， ，， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，三角形内角和为，三角形全等的性质和判定等知识点，正确作辅助线构建等边三角形和全等三角形是解本题的关键． 12．如图，在中，，，点为线段上的点，连接，在右侧作等边，连接． (1)当时，求证：； (2)当平分时，求的值； (3)当点在线段上运动时，试探究线段，，的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明即可求解； （2）取边中点，连接，过点作于点，证明为等边三角形得，由，得，设，则，，，，证明得，再根据即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，；当时． 【详解】（1）证明： ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：取边中点，连接，过点作于点， 在中，，，点为边中点， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 为等边三角形， ， 由此得出结论：所对的直角边等于斜边的一半， ，， ，， 设，则，， 平分， ， 又， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）解： 当时，易证：， ， ，， ， 当时，易证：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 13．已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②或，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）①如图，连接，由（1）得，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； ②分两种情况讨论：当点在点左侧时，，延长到，使得，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图所示，当点在点右侧时，，同理可证．于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 平分； （2）①证明：如图，连接，， 由（1）得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线； ②或． 理由：分两种情况讨论： Ⅰ如图所示，当点在点左侧时，， 延长到，使得，连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； Ⅱ如备用图2所示，当点在点右侧时，， 同理可证． 综上所述，，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 15．综合与实践 【积累经验】 （1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可； 【类比应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形． ①如图3，当时，求点的坐标； ②直接写出其他符合条件的点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）①；②，， 【分析】（1）因为于，，所以，因为，即可通过证明． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可证． （3）①过点作轴，过点作的延长线，易得，，，通过证明，再设点的坐标为，，根据，，进行列式作答即可； ②分类讨论，当时，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【详解】解：（1）于，， ，， ， 即， ， ， ， ； 故答案为：，；         （2）如图2，过点作轴于点． 点，， ，．             由（1）可知， ，， ，         点的坐标为．         （3）①如图3，过点作轴，过点A作，交的延长线于点． ，， ，，， ．         轴， ． ， ， ，．         点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，． ，，点， ，，         解得，， 故点的坐标为         ②，，过点作轴，过点作射线轴，且过点作，如图： ， ∴， ∴， 因为， ， 过点作轴，过点作， ， ， ，， 点在第一象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 此时无解， 当，，过点作直线轴，与轴交于点，过点作于点，如图： ，， ， 即， ， ， ，， 点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 解得，， 故点的坐标为； 当，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于，如图： ，， ， 即， ， ， ，， 点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 解得，， 故点的坐标为； 当时，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，如图： ，， ，即， ， ， ，， 点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 解得，， 故点的坐标为； 综上，其他符合条件的点的坐标为，，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键． 16．【问题情景】 如图1，和有一条公共边，且，． 【猜想证明】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图2，若将条件“”变成“”，其他条件不变，（1）中的数量关系是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由含度角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，，将两者相加即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，作于点，则，，由含度角的直角三角形的性质可得，，进而可得，由勾股定理可得，，由，可得，利用可证得，于是可得，则，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ； （2）成立，证明如下： 证明：如图，过点作交的延长线于点，作于点， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 17．截长补短法是一种在几何证明中常用的方法，它通常通过构造辅助线，将一条线段截短或补长，使其与另一条线段相等或具有某种特定关系，从而简化证明过程． (1)例如，如图1，在中，，，，求．此题就可以利用截长补短法．如图2，延长至点，使得，即可求出______． (2)如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； (3)如图，为等腰直角三角形，，点为外一点，连接，，，其中交于点．且，则，，的数量关系为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）求得证明，即可解答； （2）在上取一点，使得，证明，即可解答； （3）在上取一点，使得，证明，即可解答； 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，在上取一点，使得， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，即， ， ， ； （3）解：如图，在上取一点，使得， ，， 为等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 18．若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或 【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答； （2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中 ，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答． 【详解】． 解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中 ， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中， ， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19．如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)，45 (2)①15，60；②，理由见解析；③或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及分类等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据勾股定理求得，根据“等角对等边”得出的值； （2）①根据，，得出，进一步得出结果； ②可证得，从而得出； ③分三种情形讨论：当时，可推出，从而得出，，进一步得出结果；当时，可得出，进一步得出结果；当时，点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，45； （2）解：①∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：15，60； ②，理由如下： 由①知，， ∵，， ∴， ∴； ③分以下三种情况： 如图， 当时， 由②知，，， ∴， ∴，， ∴； 如图， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴，， ∴点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在， 综上所述：或3． 20．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） ；；（2）；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的证明特优培训针对训练 一、单选题 1．如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 2．如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 4．如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是边上的动点，与相交于点F且．则下列5个结论： （1）；（2）是等腰直角三角形； （3）；（4）四边形的面积会发生改变； （5）．其中正确的结论有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 7．如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为 ． 8．如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 9．如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 10．如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 三、解答题 11．（1）如图1，在中，，点D在上，，则 ； （2）如图2，在中，，点D在上，，，求的度数； （3）如图3，在四边形中，，，，求的度数． 12．如图，在中，，，点为线段上的点，连接，在右侧作等边，连接． (1)当时，求证：； (2)当平分时，求的值； (3)当点在线段上运动时，试探究线段，，的数量关系． 13．已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 14．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 15．综合与实践 【积累经验】 （1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可； 【类比应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形． ①如图3，当时，求点的坐标； ②直接写出其他符合条件的点的坐标． 16．【问题情景】 如图1，和有一条公共边，且，． 【猜想证明】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图2，若将条件“”变成“”，其他条件不变，（1）中的数量关系是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 17．截长补短法是一种在几何证明中常用的方法，它通常通过构造辅助线，将一条线段截短或补长，使其与另一条线段相等或具有某种特定关系，从而简化证明过程． (1)例如，如图1，在中，，，，求．此题就可以利用截长补短法．如图2，延长至点，使得，即可求出______． (2)如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； (3)如图，为等腰直角三角形，，点为外一点，连接，，，其中交于点．且，则，，的数量关系为______． 18．若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 19．如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 20．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$