精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段练习数学试卷

北京市第一六一中学2024——2025学年第二学期3月阶段练习 高二数学 2025.3 班级______ 学号______ 姓名______ 本试卷共2页，共120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 3. 已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，求出，再求解. 【详解】已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1， 所以， 所以， 所以， 所以a1+a3＝7. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的前n项和与项的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ） A. 密码被成功破译的概率为 B. 密码被成功破译的概率为 C. 两人都成功破译的概率为 D. 两人都成功破译的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】对于AB，利用对立事件和独立事件的概率公式可求出密码被成功破译的概率，对于CD，利用独立事件的概率公式可求出两人都成功破译的概率. 【详解】对于AB，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，， 所以密码被成功破译的概率为，所以A错误，B正确； 对于CD，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，， 所以两人都成功破译的概率为，所以CD错误. 故选：B 5. 某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出同时爱好羽毛球和乒乓球的概率，求出该同学爱好羽毛球的概率和该同学爱好乒乓球的概率即可求解. 【详解】有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球， 则同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为， 设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件， 则， 所以． 故选：B. 6. 将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出，然后利用均值的计算公式求解即可． 【详解】由题意可知，， 所以． 故选：C 7. 若随机变量，则（ ） A 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 9.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的方差计算公式得到，再离散型随机变量的方差的性质计算求解. 【详解】因为，所以，， 所以， 故选：D. 8. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解. 【详解】根据题意，， 对于二次函数，，其开口向下，对称轴为， 则当时，取得最大值， 所以当时，有最大值为16，所以有最大项. 又由可解得， 则当时，，当时，，当时，， 所以当或8时，最大， 则有最大项，有最大项. 故选：A. 10. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的递推式和首项依次求出，可得数列是以4为周期的周期数列，从而可求出. 【详解】因为，， 所以， ， ， ， 所以数列是以4为周期周期数列， 所以. 故选：C 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 11. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 【答案】0.86## 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”， 事件为“购买的灯泡是合格品”， 则，， ，， 所以. 故答案为：0.86. 12. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由，，， 则， . 故答案为：；. 13. 设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差__________. -1 0 1 【答案】 【解析】 【分析】由分布列的性质以及等差中项，结合均值的计算即可求解，由方差公式即可求解. 【详解】成等差数列，,由变量的分布列， 知：，解得， . 故答案为： 14. 某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．则使用4年该车的总费用（包括购车费用）为______；这种新能源汽车使用______年报废最合算（即该车使用的年平均费用最少）？ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第的总费用为，根据题意，得到，令时，求得的值，再设该车的年平均费用为万元，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设第的总费用为， 由题意，可得 ， 当时，可得（万元）； 设该车的年平均费用为万元， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为（万元）， 所以这种新能源汽车试验年报废最合理，年平均费用的最小值为万元. 故答案为：；. 15. 无穷等差数列的各项均为整数，首项为，公差为，3，21，15是其中的三项，给出下列命题： ①满足条件的有8个不同的取值； ②对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项； ③对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项； ④存在满足条件的数列，使得对任意的，成立． 其中正确命题为______．（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，可推理出公差可能的取值，据此可判断命题①②③；利用等差数列前项和公式，计算化简，可得出结论判断命题④. 【详解】由题意，3，15，21是等差数列的三项，若数列是递增数列，则，且因为，所以都是公差的倍数，且是整数，所以可能取值是. 同理，若数列是递减数列，则，可能取值是. 所以，满足条件的有8个不同的取值，故①正确； 因为是6的倍数，所以是公差的倍数，即，所以存在，使得99一定是数列中的一项，故②正确； 因为不是6的倍数，若公差，则30不是数列中的一项，故③错误； 若，则，化简得， 所以，只要，对任意的，成立.故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题：本大题共4道小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和 （3）求数列的前16项的和. 【答案】（1） （2） （3）160 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式， （2）把（1）的结论代入等差数列的求和公式求解即可； （3）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 【小问3详解】 由， 所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 17. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， （1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.4 （2） 【解析】 【分析】（1）由在3小时内完成各科作业的人数为40，利用古典概型的概率求解； （2）由X的可能取值为0，1，2，3，利用超几何发布，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【小问1详解】 在3小时内完成各科作业的人数为40， 所以在3小时内完成各科作业的概率为； 【小问2详解】 完成各科作业的总时长在2.5小时内共有7人， 其中完成各科作业的总时长在2小时内有3人， 若从这7人中随机取3人， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 18. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）与相互独立 【解析】 【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值； （2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值； （3）利用两个事件相互独立的定义判断即可. 【小问1详解】 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为． 估计为； 估计为； 估计为； 估计为． 估计的数学期望． 【小问3详解】 估计为； 估计为； 估计为， ，所以与相互独立． 19. 已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦距和半长轴长都为2，以及椭圆的性质即可求解； （2）设出直线l的方程以及P（，），Q，），联立 求出韦达定理，令求出 M（4，），N（4，），由即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 解得 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 F（1，0），A（-2，0）， 设直线l的方程为， 由得 直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交. 设P（，），Q，）， 则. 直线AP的方程为， 令，得，即M（4，）， 同理，N（4，）， 所以， 所以 ， 所以以MN为直径的圆恒过点F. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第一六一中学2024——2025学年第二学期3月阶段练习 高二数学 2025.3 班级______ 学号______ 姓名______ 本试卷共2页，共120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ） A. 密码被成功破译的概率为 B. 密码被成功破译的概率为 C. 两人都成功破译的概率为 D. 两人都成功破译的概率为 5. 某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若随机变量，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 9.6 8. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 10. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 11. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 12. 已知A，B是一个随机试验中两个事件，且，，，则______；______． 13. 设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差__________. -1 0 1 14. 某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．则使用4年该车的总费用（包括购车费用）为______；这种新能源汽车使用______年报废最合算（即该车使用的年平均费用最少）？ 15. 无穷等差数列的各项均为整数，首项为，公差为，3，21，15是其中的三项，给出下列命题： ①满足条件的有8个不同的取值； ②对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项； ③对任意满足条件，存在，使得30一定是数列中的一项； ④存在满足条件的数列，使得对任意的，成立． 其中正确命题为______．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共4道小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 （3）求数列的前16项的和. 17. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， （1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 18. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$