8.2 立体图形的直观图【六大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

8.2　立体图形的直观图 【考点梳理】 · 考点一：斜二测画法辨析 · 考点二：平面图形的直观图的画法 · 考点三：空间几何体的直观图 · 考点四：直观图的还原与计算 · 考点五：斜二测画法的综合计算 【知识梳理】 知识一　水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识二　空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 【题型归纳】 题型一：斜二测画法辨析 1．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 2．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 3．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 题型二：平面图形的直观图的画法 4．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 5．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    6．(22-23高一下·安徽芜湖第十二中学·期中)（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    题型三：空间几何体的直观图 7．已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    8．泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 9．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．    题型四：直观图的还原与计算 10．(24-25高一下·广西“贵百河”·月考)如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 11．将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 12．如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 题型五：斜二测画法的相关计算 13．如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ） A． B．1 C． D． 14．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·浙东北联盟（ZDB）·期中)用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 题型六：直观图的综合问题 16．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 17．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 18．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【双基达标】 一、单选题 1．(23-24高一下·湖南岳阳县第一中学、汨罗第一中学·)如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．(23-24高一下·浙江台州六校联盟·期中)如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 3．(23-24高一下·浙江S9联盟·期中)水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 4．(23-24高一下·河南郑州中牟县第一高级中学·月考)如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 5．(23-24高一下·贵州六盘水·期中)用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 6．(23-24高一下·浙江金兰教育合作组织·期中)已知平面直角坐标系下，的三个顶点坐标为：，，，若斜二侧画法下的直观图是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·天津河北区·期中)如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高一下·四川巴中恩阳区恩阳中学·月考)若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ）    A． B． C． D． 9．(23-24高一下·山东泰安肥城·期中)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 10．(23-24高一下·四川遂宁安居育才中学校（卓同教育集团）·期中)如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．(23-24高一下·湖北荆州公安县第三中学·月考)如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 12．(23-24高一下·江苏扬州扬州中学教育集团树人学校·)如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（    ） A．32 B．16 C．8 D．不同于ABC的答案 二、多选题 13．下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 14．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 16．(23-24高一下·河北NT20名校·期中)如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 17．(23-24高一下·陕西安康·期中)关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 18．(23-24高一下·河南驻马店青桐鸣·期末)如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 三、填空题 19．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 20．(24-25高二上·上海浦东区·期中)如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 21．(24-25高一上·上海闵行区六校联考·期中)的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    22．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 . 23．(23-24高一下·江苏淮安淮安区·期中)如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为 .    24．(23-24高一下·海南观澜湖双优实验中学·期中)按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是 ． 四、解答题 25．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积. 26．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 27．(21-22高一下·福建宁德同心顺联盟·期中)如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； (2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2　立体图形的直观图 【考点梳理】 · 考点一：斜二测画法辨析 · 考点二：平面图形的直观图的画法 · 考点三：空间几何体的直观图 · 考点四：直观图的还原与计算 · 考点五：斜二测画法的综合计算 【知识梳理】 知识一　水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识二　空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 【题型归纳】 题型一：斜二测画法辨析 1．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【来源】【课后练】 4.1.2 空间几何体的直观图 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】由斜二测画法得到的直观图，如正方形的直观图是平行四边形，据此可以判断选项正误. 【详解】如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，D正确． 故选：D. 2．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【答案】B 【来源】专题14 立体图形的直观图-《重难点题型�高分突破》（人教A版2019必修第二册） 【分析】根据斜二测画法的性质判断BC的正误，根据特例可判断AD的正误. 【详解】对于B，由于直角在直观图中有的成为，有的成为, 但直观图的平行关系依然保留，故B正确. 对于C，梯形的直观图一定是梯形，故C错误. 对于D，如图等边三角形中，为的中点，设， 则，则在直观图中，，， 故，， 故三角形不为等腰三角形，故AD错误. 故选：B. 3．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【来源】8.2立体图形的直观图【第二练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据正方体的直观图可判断；利用矩形邻边满足的直观图可判断,易知正确. 【详解】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确. 项，如图，矩形的邻边满足, 其直观图的邻边是相等的，故错误. 故选：D. 题型二：平面图形的直观图的画法 4．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【来源】【课后练】 4.1.2 空间几何体的直观图 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 5．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【来源】第十三章　立体几何初步（知识归纳 题型突破）（1）-单元速记�巧练（苏教版2019必修第二册） 【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解. 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    6．(22-23高一下·安徽芜湖第十二中学·期中)（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【答案】（1）图形见解析；（2）原图的面积，直观图的面积； 【来源】安徽省芜湖市第十二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）确定各点对应点的位置，即可得到直观图； （2）根据面积公式计算可得. 【详解】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示：    （2）原图的面积， 直观图的面积. 题型三：空间几何体的直观图 7．已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【答案】作图见解析 【来源】苏教版（2019） 必修第二册 必杀技 第13章 立体几何初步 13.1 基本立体图形 13.1.3 直观图的斜二测画法 【分析】根据斜二测画法的原则，可画出直观图. 【详解】如图所示．    8．泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析 【来源】【课后练】 4.1.2 空间几何体的直观图 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图，以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图. 【详解】先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图； 以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图． 直观图如图所示． 9．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．    【答案】作图见解析 【来源】湘教版（2019）必修第二册课本例题4.1.2 空间几何体的直观图 【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个球，且圆柱横截面的直径与球的直径相同．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的球． 【详解】画法  （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，． （2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与． （3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆． （4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．    题型四：直观图的还原与计算 10．(24-25高一下·广西“贵百河”·月考)如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【来源】广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故选：C 11．将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【来源】【课后练】 4.1.2 空间几何体的直观图 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 【详解】因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形. 故选：B． 12．如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【来源】【巩固卷】章末检测试卷（四）单元测试A-湘教版（2019）必修（第二册） 【分析】画出原图可得答案. 【详解】 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 题型五：斜二测画法的相关计算 13．如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【来源】【巩固卷】综合检测试卷（二）单元测试A-湘教版（2019）必修（第二册） 【分析】利用斜二测画法还原图形可得答案. 【详解】∵，，，∴， 由此可知平面图形是如图所示的， 其中，，， ∴． 故选：D. 14．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】第7章 立体几何 易错小练-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019） 【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 15．(24-25高一上·浙东北联盟（ZDB）·期中)用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙东北联盟（ZDB）2024-2025学年高一上学期期中联考（AP班）数学试题 【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果. 【详解】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为. 故选：D 题型六：直观图的综合问题 16．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【来源】6.2直观图-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 17．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）3 【来源】6.2直观图-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册） 【分析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可； （2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积. 【详解】（1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 18．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【答案】（1）（2）能（3）10 【来源】8.2立体图形的直观图【第二练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解. 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 【双基达标】 一、单选题 1．(23-24高一下·湖南岳阳县第一中学、汨罗第一中学·)如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【来源】湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期五月联考数学试题 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 2．(23-24高一下·浙江台州六校联盟·期中)如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【来源】浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 3．(23-24高一下·浙江S9联盟·期中)水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【来源】浙江省S9联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 4．(23-24高一下·河南郑州中牟县第一高级中学·月考)如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【来源】河南省郑州市中牟县第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（4月）数学试题 【分析】由直观图知原几何图形是直角梯形再结合勾股定理求出对角线即可. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知 ， ， 所以 ． 故选：A． 5．(23-24高一下·贵州六盘水·期中)用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【来源】贵州省六盘水市2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试题 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 6．(23-24高一下·浙江金兰教育合作组织·期中)已知平面直角坐标系下，的三个顶点坐标为：，，，若斜二侧画法下的直观图是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意，由点、、的坐标可得向量坐标，根据数量积可得垂直关系，进而可得，同时求出、的长，由此可得的面积，结合直观图面积与原图面积的关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，的三个顶点坐标为：，，， 则,则有，所以,即直线与垂直，， 同时，， 故的面积， 则其直观图的面积． 故选：A． 7．(23-24高一下·天津河北区·期中)如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市河北区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【详解】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【点睛】 8．(23-24高一下·四川巴中恩阳区恩阳中学·月考)若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省巴中市恩阳区恩阳中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题 【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则， 由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图.    所以四边形AOBC的面积为. 故选：D. 9．(23-24高一下·山东泰安肥城·期中)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【来源】山东省泰安肥城市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 10．(23-24高一下·四川遂宁安居育才中学校（卓同教育集团）·期中)如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】四川省遂宁市安居育才中学校（卓同教育集团）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 11．(23-24高一下·湖北荆州公安县第三中学·月考)如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】B 【来源】湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高一下学期5月考试数学试卷 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】还原平面图如下图，    对于A，根据斜二测画法可得，故A错误; 对于B，，，B正确; 对于C，过作交于点，则， 由勾股定理得，故四边形的周长为： ，即C错误； 对于D，四边形的面积为：，即D错误. 故选：B. 12．(23-24高一下·江苏扬州扬州中学教育集团树人学校·)如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（    ） A．32 B．16 C．8 D．不同于ABC的答案 【答案】B 【来源】江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一下学期第2次阶段检测（5月）数学试题 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，轴，且， 即的高为，所以. 故选：B 二、多选题 13．下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【来源】【课后练】 4.1.2空间几何体的直观图 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册） 第4章 立体几何初步 【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 14．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【来源】【课后练】 4.1.2 空间几何体的直观图 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 【详解】由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 15．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【来源】陕西省西安中学高2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 16．(23-24高一下·河北NT20名校·期中)如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【来源】河北省NT20名校2023-2024学年高一下学期大比拼考试（5月期中）数学试题 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 17．(23-24高一下·陕西安康·期中)关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【来源】陕西省安康市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    18．(23-24高一下·河南驻马店青桐鸣·期末)如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【来源】河南省驻马店市青桐鸣2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（北师大版） 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】由题意可画出其直观图如下， 其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC. 三、填空题 19．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【来源】江苏省无锡市惠山区锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 20．(24-25高二上·上海浦东区·期中)如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【来源】上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 【分析】根据给定条件，求出直观图的面积，再利用原图形面积是直观图面积的求解即得. 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 21．(24-25高一上·上海闵行区六校联考·期中)的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    【答案】 【来源】上海市闵行区六校联考2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边， 边上的高，所以的面积是. 故答案为：. 22．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 . 【答案】6 【来源】云南省昭通一中教研联盟2022~2023学年高一下学期期末检测数学A 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半， ，所以原高为， 画出原图形如图所示，过点D作于E，而横向长度不变，且梯形ABCD是直角梯形，则. 故答案为：6. 23．(23-24高一下·江苏淮安淮安区·期中)如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为 .    【答案】2 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】设根据直观图得和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上且得、即可由的面积求出，即求出. 【详解】因为、均在坐标轴上，设， 所以由图和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上， 且、， 所以， 所以. 故答案为：2. 24．(23-24高一下·海南观澜湖双优实验中学·期中)按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是 ． 【答案】等边三角形 【来源】海南省观澜湖双优实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】由斜二测画法求解即可． 【详解】如图所示：原图为： ， 由斜二测画法得，， 得， 则， 故为等边三角形， 故答案为：等边三角形 四、解答题 25．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积. 【答案】答案见解析， 【来源】6.2直观图-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册） 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图.进而求得三角形面积. 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示， 则的面积为. 26．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 【答案】812元 【来源】8.2立体图形的直观图【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】在直观图中，过点作，垂足为，先求出直观图的面积，再利用，求出原图形的面积，即可求得答案. 【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图： 则在中，，，所以， 又四边形为矩形，， 所以，则， 由此可得， 又， 所以， 故这块菜地所产生的总经济效益是 (元). 27．(21-22高一下·福建宁德同心顺联盟·期中)如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； (2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)作图见解析，4； (2)，． 【来源】福建省宁德市同心顺联盟2021-2022学年高一下学期期中联合考试数学试题 【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积. （2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解. 【详解】（1）在直观图中，，， 则在平面图形中，，，于是， 所以平面四边形的平面图形如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为． （2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即； 圆锥的高为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$