校本作业24立体图形的直观图-福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2024级厦外高一（下）数学校本作业24——立体图形的直观图 作业目标： 1.了解平行投影的意义，掌握斜二测画法；2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图. 基础巩固： 1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的三角形的直观图是三角形 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的(　　) A B C D 3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图是一个边长为2 cm的正方形,则原图的周长为(　　) A.12 cm B.16 cm C.4(1+)cm D.4(1+cm 4.如图,△A'B'C'表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=2,则△ABC的边AB上的高为 (　　) A. B.2 C.4 D.4 5.如图为一个水平放置的平面图形的直观图,它是底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则原平面图形为 (　　) A.下底长为1+的等腰梯形 B.下底长为1+2的等腰梯形 C.下底长为1+的直角梯形 D.下底长为1+2的直角梯形 6.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原三角形ABC是一个 (　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边互不相等的三角形 D.钝角三角形 7.已知的平面直观图（斜二测作法）是斜边长为的等腰直角三角形，那么原的面积为（     ） A． B． C． D． 8.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（       ） A． B． C． D． 二、多选题： 9.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,D'为B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么在原平面图形△ABC中 (　　) A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 10.等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（       ） A B C D 【答题卡】 班级： 姓名： 座号： 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 三、填空题： 11.在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M',则点M'到x'轴的距离为　　　　.  12.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的几何图形. (1)∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°,这种说法 是　　　的.(填“正确”或“错误”)  (2)∠A1C1D的真实度数是　　　　.  13.如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则在直观图中,梯形O'A'B'C'的高为　　　　.  14.如图，矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为__________cm； 1 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题： 15.如图,在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',其中对角线A'C'是水平方向.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的实际图形,并求出其面积. 16.如图所示,在平面直角坐标系中,各点坐标分别为O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5),试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图. 17.泉州是一个历史文化名城,它的一些老建筑是中西建筑文化的融合,它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合,具有独特的建筑风格与空间特征.为延续泉州的建筑风格,在旧城改造中,计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”,并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋,该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体,请用斜二测画法画出其直观图(尺寸自定). 五、思维探索： 18.近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为. (1)求四棱锥的总曲率； (2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数 19.如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向 km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距10 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站. (1)若CP=4 km，求此时在P处观察全岛所张视角∠APB的正切值； (2)若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？ 作业24参考答案： 1.B　[解析] 对于A,用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形,故A中说法正确;对于B,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半,平行于z轴的线段的平行性和长度都不变,故几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例不相同,故B中说法错误;对于C,水平放置的矩形的直观图是平行四边形,故C中说法正确;对于D,水平放置的三角形的直观图是三角形,故D中说法正确.故选B. 2.C　[解析] 在x轴上或与x轴平行的线段在直观图中的长度不变,在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中的长度变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C. 3.B　[解析] 原图为平行四边形,边长分别为2 cm和=6(cm),故原图的周长为(2+6)×2=16(cm),故选B. 4.D　[解析] 过C'做x'轴的平行线,交y'轴与点D',作D'E⊥x'轴,垂足为E,如图所示, 则D'E=B'C'=2,O'D'=D'E=2,由斜二测画法知D'对应的点D在y轴上,且OD=4,故△ABC的边AB上的高为4.故选D. 5.C　[解析] ∵∠A'B'C'=45°,A'B'=1,∴B'C'=2A'B'cos 45°+A'D'=1+,∴原平面图形为下底长为1+的直角梯形,故选C. 6.A　[解析] 由题中图形知,在三角形ABC中,O为BC的中点,AO⊥BC.∵A'O'=,∴AO=,∵B'O'=C'O'=1,∴BO=OC=1,∴BC=2,易知AB=AC=2,∴三角形ABC为等边三角形.故选A. 7.【答案】B 【详解】如图：是斜边长为的等腰直角三角形，过作的平行线交轴于， ，， 所以在原图中，， 的面积为. 故选：B 8.【答案】A 【详解】，则是等腰直角三角形， ∴， 又，，∴， 在直角坐标系中作出原图形为： 梯形，，，高， ∴其面积为．故选：A 9.AC　[解析] 把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图, 在原图形中,AD⊥BC,D为BC的中点,则AB与AC相等,故A正确;AB=AC>AD,故B错误,C正确;BC与AD的大小不确定,故D错误.故选AC. 10.【答案】CD 【详解】由题意及直观图的画法可知当时，等腰三角形的直观图是④； 当时，等腰三角形的直观图是③， 综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选CD. 11.　[解析] 过点M'作平行于y'轴的直线,交x'轴于点A'(图略),易知A'M'=2,∠M'A'x'=45°,故点M'到x'轴的距离为2×sin 45°=. 12.(1)正确　(2)60°　[解析] (1)四边形D1C1CD是正方形,∴∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°,故填正确. (2)连接A1D,易知△A1C1D是正三角形,∴∠A1C1D=60°,∴∠A1C1D的真实度数是60°. 13.　[解析] 作CD⊥OA,BE⊥OA,垂足分别为D,E(图略),则OD=EA==2,∴OD=CD=2,∴在直观图中C'D'=×2=1,又∠C'D'A'=45°,∴所求梯形的高为. 14.【答案】20 【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变； 与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变. 还原出原图形如上图所示，其中cm，cm cm, 所以原图形的周长为cm 15.解:四边形ABCD的真实图形如图所示.∵A'C'在水平位置,四边形A'B'C'D'是正方形,∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,∴在原四边形ABCD中,AD⊥AC,AC⊥BC,∵AD=2A'D'=2,AC=A'C'=,∴S四边形ABCD=AC·AD=2. 16.解:如图①所示,分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,G,H,F,在图②中画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°. 在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取E'A'=EA,确定点A'.同理确定点B',C',D',其中B'G'=BG,C'H'=CH,D'F'=DF. 顺次连接A',B',C',D',去掉辅助线,得到四边形ABCD的直观图,如图③所示. 17.解:画法:(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD,如图①; ① (2)以直棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画三棱柱的直观图ADE-BCF. 可得组合体的直观图如图②. ② 18.(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）四棱锥有个顶点,个三角形面,个凸四边形面,故其总曲率为 （2）设多面体有个面,给组成多面体的多边形编号,分别为号. 设第 号 多边形有 条边. 则多面体共有条棱. 由题意，多面体共有个顶点. 号多边形的内角之和为,故所有多边形的内角之和为 故多面体的总曲率为 所以满足题目要求的多面体的总曲率为. 19.【答案】(1)；(2)点P应选址在点C正东方向处 (1)设，由题意知，，，，所以，即，，,在中，， 由正弦定理得，，即， 化简得，即， 所以此时在P处观察全岛所张视角的正切值为. (2)过点B作BD⊥CP于点D，设， 由（1）得，当时，点P在点D的右侧，，则， 当时，点P在点D的左侧，，则. 又，则当，且时， 有. 当时，点P与点D重合，，满足上式， 所以. 令，则， 因为，则，当且仅当， 即，时取等号，此时取最大值. 因为为锐角，所以当时取最大值. 答：点P应选址在点C正东方向处 $