8.1基本立体图形【七大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

8.1基本立体图形 【考点梳理】 · 考点一：棱柱的结构特征 · 考点二：棱锥的结构特征 · 考点三：棱台的结构特征 · 考点四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征 · 考点五：球的结构特征 · 考点六：简单组合体问题 · 考点七：基本立体图形的综合性问题 【知识梳理】 知识一：多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识二：　棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 知识三　棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 知识四：棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 知识五：圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 知识六：圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 知识七：圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识八：球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O 相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识九：简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 【题型归纳】 题型一：棱柱的结构特征 1．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 2．下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 3．(23-24高二上·北京房山区·期中)长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：棱锥的结构特征 4．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 5．下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 6．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（    ） A．1 B． C． D． 题型三：棱台的结构特征 7．(22-23高一下·安徽皖北县中联盟·)下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 8．(23-24高一下·广东潮州·期末)正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高一下·四川峨眉第二中学校·期末)如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 题型四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征 10．(23-24高一下·天津部分区·期末)下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 11．(23-24高一下·天津南开区·)给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 12．(23-24高一下·广西钦州·期末)下列说法正确的是（    ） A．有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台 题型五：球的结构特征 13．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．(23-24高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 15．(22-23高一下·福建连城县第二中学等校·期中)现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 题型六：简单组合体问题 16．(23-24高一下·广东佛山七校·)下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 17．(22-23高一下·广东深圳建文外国语学校·期中)如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 18．(22-23高一下·辽宁部分学校·期末)若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 题型七：基本立体图形的综合性问题 19．指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 20．请描述如图所示的几何体是如何形成的． 21．(23-24高一下·安徽A10联盟·期中)（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【双基达标】 一、单选题 1．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 2．有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 3．下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 4．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 5．(23-24高一下·浙江金兰教育合作组织·期中)下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 二、多选题 6．下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 7．下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 8．(23-24高一下·浙江钱塘联盟·期中)下列四个结论正确的有（   ） A．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； B．斜棱柱的侧面可能有矩形； C．正棱锥的底面是正多边形； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 9．(22-23高一下·山西晋中平遥县第二中学校·期中)下列命题不正确的是（    ）. A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 10．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 三、填空题 11．棱柱、棱锥、棱台 多面体 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱柱 有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 可记作：棱柱 底面（底）：两个互相 的面； 侧面： ； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：侧面与底面的 按底面形状： （1）棱柱的底面是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱柱分别叫做 、 、 … （2）底面是平行四边形的四棱柱也叫做 ． 按侧棱与底面的关系： （1）把侧棱 底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫 ． （2）底面是正多边形的直棱柱叫做 棱锥 有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 可记作：棱锥 底面（底）： ； 侧面：有公共顶点的各个 ； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：各侧面的 按底面形状： （1）棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做 、 …其中三棱锥又叫 ． （2）底面是 ，并且顶点与底面中心的连线 底面的棱锥叫做正棱锥 棱台 用一个 的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 可记作：棱台 上底面：原棱锥的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 按棱锥的名称： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台… 12． 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆锥 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆台 用平行于 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 球 半圆以它的 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 ，球面所围成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 13．(23-24高一·浙江杭甬名校·)如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是 . 14．下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是 . 四、解答题 15．如图所示的三棱台，如何把它分成：    (1)一个三棱柱和另一个多面体； (2)三个三棱锥，并用字母表示． 16．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 17．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积. 18．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24. （1）求圆台的母线长l. （2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1基本立体图形 【考点梳理】 · 考点一：棱柱的结构特征 · 考点二：棱锥的结构特征 · 考点三：棱台的结构特征 · 考点四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征 · 考点五：球的结构特征 · 考点六：简单组合体问题 · 考点七：基本立体图形的综合性问题 【知识梳理】 知识一：多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识二：　棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 知识三　棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 知识四：棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 知识五：圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 知识六：圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 知识七：圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识八：球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O 相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识九：简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 【题型归纳】 题型一：棱柱的结构特征 1．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【来源】8.1基本立体图形【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【来源】8.1基本立体图形【第二课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确. 【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱； B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同； C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行； D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱． 故选：B. 3．(23-24高二上·北京房山区·期中)长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【来源】北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】连接，设，表示出，，，利用勾股定理计算可得. 【详解】如图连接，设，则， ，， 因为，所以，即，解得（负值舍去）. 故选：A 题型二：棱锥的结构特征 4．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【来源】【典例题】4.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台 课堂例题-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 5．下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】D 【来源】8.1基本立体图形【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 6．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥一六八中学2022届高三下学期5月最后一卷文科数学试题 【分析】根据题意画出图形，则可得，再由结合已知可求得答案 【详解】如图，正四棱锥，为底面中心，则平面， 设为的中点，连接，令， 则由题意可得， 且，解得. 故选：C. 题型三：棱台的结构特征 7．(22-23高一下·安徽皖北县中联盟·)下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【来源】安徽省皖北县中联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题 【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案. 【详解】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误； 对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 8．(23-24高一下·广东潮州·期末)正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省潮州市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】连接，作平面，平面，侧棱. 【详解】连接，作平面，平面，， 因为为正四棱台，则在上， 因为上底面的边长为2，下底面的边长为4， ， 侧棱. 故选：B 9．(23-24高一下·四川峨眉第二中学校·期末)如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省峨眉第二中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 题型四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征 10．(23-24高一下·天津部分区·期末)下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【来源】天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题 【分析】要理解旋转体，棱柱、圆锥、正棱锥的概念，正棱锥是底面是多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 【详解】解：A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意； B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 故选：D． 11．(23-24高一下·天津南开区·)给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【来源】天津市南开区2023-2024学年高一下学期阶段性质量监测数学试题 【分析】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【详解】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 12．(23-24高一下·广西钦州·期末)下列说法正确的是（    ） A．有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台 【答案】C 【来源】广西钦州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据多面体和旋转体的定义，性质，即可判断选项. 【详解】棱台有两个平面平行，其余各面都是梯形，则A错误； 底面是正六边形，且所有侧棱相等的棱锥是正六棱锥，则B错误； 由棱台的定义可知棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点，则C正确； 绕直角梯形的直角腰所在直线旋转一周得到的几何体是圆台，则D错误. 故选：C 题型五：球的结构特征 13．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【来源】【温故练】第11章 简单几何体 单元测试-沪教版（2020）必修第三册 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 14．(23-24高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【答案】 【来源】河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高一下学期5月阶段测试数学试题（A） 【分析】求出球的半径，再利用球的截面小圆的性质列式计算即得. 【详解】令球半径为，则，解得， 所以截面圆的半径. 故答案为： 15．(22-23高一下·福建连城县第二中学等校·期中)现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【答案】 【来源】福建省连城县第二中学等校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可. 【详解】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧， 即分别在平面､平面､平面上， 以为圆心､3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧， 三条弧所对圆心角都是， 所以所求弧长的和为. 故答案为：    题型六：简单组合体问题 16．(23-24高一下·广东佛山七校·)下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省佛山市七校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义逐项判断即可. 【详解】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 17．(22-23高一下·广东深圳建文外国语学校·期中)如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【来源】广东省深圳市建文外国语学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 18．(22-23高一下·辽宁部分学校·期末)若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【来源】辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【详解】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B 题型七：基本立体图形的综合性问题 19．指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【来源】第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 20．请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【答案】答案见解析 【来源】【典例题】 4.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球 课堂例题-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】根据组合体特征确定是由基本空间几何体拼接，还是挖去得到的几何体. 【详解】图（1）是由两个圆台拼接而成的组合体； 图（2）是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体； 图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体． 21．(23-24高一下·安徽A10联盟·期中)（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【来源】安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 【双基达标】 一、单选题 1．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】【导学案】 4.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球课前预习-湘教版（2019）必修（第二册） 第4章 立体几何初步 【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【详解】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 2．有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【来源】【课后练】 4.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】由长方体的结构特征判断A；由正方体的结构特征判断B；由直平行六面体的结构特征判断C、D. 【详解】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 3．下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【答案】B 【来源】【课后练】 4.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册） 第4章 立体几何初步 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义和结构特征可知，A，B，C三个选项中只有B说法是正确的；当球面上两点是球的一条直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 【详解】在圆柱上下底面各取的点的连线平行于轴是母线，故选项A错误； 由圆锥母线的定义可知选项B正确； 圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的， 根据圆锥母线的定义可知选项C错误； 当球面上两点是球的一条直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：B． 4．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【来源】第二节 组合体问题【同步课时】基础卷 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 5．(23-24高一下·浙江金兰教育合作组织·期中)下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【来源】浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 二、多选题 6．下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【来源】39 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱的概念判断B；根据圆台的概念判断C；根据球的概念判断D. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 7．下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【答案】BD 【来源】【课后练】 4.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册） 第4章 立体几何初步 【分析】借助球、圆锥、圆台等旋转体的定义及性质逐项判断即可得. 【详解】对A：半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面， 球面围成的几何体叫作球，故A错误； 对B：以直角三角形的直角边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确； 对C：当两个平行截面不平行于上、下两个底面时， 两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误； 对D：将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确． 故选：BD． 8．(23-24高一下·浙江钱塘联盟·期中)下列四个结论正确的有（   ） A．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； B．斜棱柱的侧面可能有矩形； C．正棱锥的底面是正多边形； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BCD 【来源】浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 【分析】对A，根据圆台的定义可判断；对B，根据斜棱柱的结构特征，举例说明；对C，根据正棱锥的定义可判断；对D，根据球的定义判断. 【详解】对于A，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故A错误； 对于B，斜棱柱的侧面是平行四边形，也有可能是矩形， 如图三棱柱，满足，则侧面为矩形，故B正确；    对于C，根据正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，故C正确； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BCD. 9．(22-23高一下·山西晋中平遥县第二中学校·期中)下列命题不正确的是（    ）. A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 【答案】BCD 【来源】山西省晋中市平遥县第二中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 【分析】直接根据棱台、棱柱、棱锥和圆锥的定义判断各选项即可. 【详解】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A正确； 对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误； 对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误； 对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，若直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥的组合体，故D错误； 故选：BCD 10．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】ABC 【来源】江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果. 【详解】如图， 连接，则平面可截得三棱锥，故A正确； 如图，过E作，过F作， 则过的平面可截得直三棱柱，故B正确 如图，延长至P，连接，分别与交于两点， 则可得平面截得三棱台，故C正确； 将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱. 故选：ABC. 三、填空题 11．棱柱、棱锥、棱台 多面体 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱柱 有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 可记作：棱柱 底面（底）：两个互相 的面； 侧面： ； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：侧面与底面的 按底面形状： （1）棱柱的底面是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱柱分别叫做 、 、 … （2）底面是平行四边形的四棱柱也叫做 ． 按侧棱与底面的关系： （1）把侧棱 底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫 ． （2）底面是正多边形的直棱柱叫做 棱锥 有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 可记作：棱锥 底面（底）： ； 侧面：有公共顶点的各个 ； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：各侧面的 按底面形状： （1）棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做 、 …其中三棱锥又叫 ． （2）底面是 ，并且顶点与底面中心的连线 底面的棱锥叫做正棱锥 棱台 用一个 的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 可记作：棱台 上底面：原棱锥的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 按棱锥的名称： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台… 【答案】 平行 四边形 平行 平行 其余各面 公共边 公共顶点 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六面体 垂直于 斜棱柱 正棱柱 多边形 三角形 多边形面 三角形面 公共边 公共顶点 三棱锥 四棱锥 四面体 正多边形 垂直于 平行于棱锥底面 截面 底面 【来源】第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形 第1课时 棱柱、棱锥、棱台 【分析】略. 【详解】①平行；②四边形；③平行；④平行；⑤其余各面；⑥公共边；⑦公共顶点；⑧三棱柱；⑨四棱柱；⑩五棱柱；（11）六面体；（12）垂直于；（13）斜棱柱；（14）正棱柱；（15）多边形；（16）三角形；（17）多边形面；（18）三角形面；（19）公共边；（20）公共顶点；（21）三棱锥；（22）四棱锥；（23）四面体；（24）正多边形；（25）垂直于；（26）平行于棱锥底面；（27）截面；（28）底面. 12． 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆锥 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆台 用平行于 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 球 半圆以它的 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 ，球面所围成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 【答案】 矩形的一边所在直线 垂直 平行 圆柱 直角三角形的一条直角边 圆锥SO 圆锥底面 圆台 直径 球面 球体 球心 球O 【来源】第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 【分析】略 【详解】略 13．(23-24高一·浙江杭甬名校·)如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是 . 【答案】 【来源】浙江省杭甬名校2023-2024学年高一7月分班考试数学试卷 【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离． 【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则. 因为为圆锥底面圆的周长，即， 由弧长公式得，. 所以， 故答案为：． 14．下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是 . 【答案】①② 【来源】第21讲 棱柱、棱锥、棱台（学生版）1 【分析】根据棱台的特征可判断①；根据四面体的定义可判断②；找反例可判断③. 【详解】对于①：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故①正确； 对于②：由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥，故②正确； 对于③：如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故③错误． 故答案为：①②. 四、解答题 15．如图所示的三棱台，如何把它分成：    (1)一个三棱柱和另一个多面体； (2)三个三棱锥，并用字母表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【来源】【课后练】 4.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】（1）可以根据三棱柱的特点，先将三棱台中截去一个三棱柱，剩下的几何体就是题中需要的多面体； （2）根据棱台的几何特征和棱锥的几何特征，先将棱台分成一个三棱锥和四棱锥，再把四棱锥沿对角面切开，可得答案． 【详解】（1）如图①所示，三棱柱是棱柱，另一个多面体是． （2）如图②所示，三个三棱锥分别是，，．    16．画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）． 【答案】平面展开图见解析 【来源】【典例题】4.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台 课堂例题-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】图①沿着棱，，展开即可，图②沿着棱展开即可． 【详解】图①沿着棱，，展开，得平面展开图如图所示． 图②沿着棱展开，得平面展开图如图所示． 17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1 【来源】第21讲 棱柱、棱锥、棱台（学生版）1 【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答. 【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． （2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 18．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积. 【答案】 【来源】北师大版 必修2 过关斩将 第一章 立体几何初步 �1 简单几何体 1.1 简单旋转体 【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解. 【详解】如图所示作出轴截面， 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径， 设圆锥的截面圆的半径为x. 因为，所以是等腰直角三角形. 又，所以，故. 所以截面积. 19．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24. （1）求圆台的母线长l. （2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长. 【答案】（1）；（2）. 【来源】山东省日照天立高中2020—2021学年高一5月月考数学试题 【分析】（1）由已知可得，结合题干数据和勾股定理可求解，即得解； （2）设正方体的棱长为x，利用相似三角形的比例关系列出等量关系，可得解. 【详解】(1)由已知，又 所以， 所以，圆台的母线 （2） 如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x， 则 解得 故正方体的棱长为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$