期中重难点真题特训之易错必刷题型（135题40个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（135题40个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、中心对称图形的识别 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是 ，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是 ． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个图案（图①、②、③）． (1)以上三个图中轴对称图形有___________；中心对称图形___________．（写序号） (2)请在图④中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案；在图⑤中画出是轴对称图形又是中心对称的新图案． 易错必刷题二、平面镶嵌 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在某广场整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面．则下列满足要求的地板砖是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 5．（2024八年级下·浙江·专题练习）请写出一种能单独镶嵌平面的正多边形： ． 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计． 易错必刷题三、求二次根式中的参数 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 9．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 易错必刷题四、利用二次根式的性质化简 10．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 12．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 易错必刷题五、同类二次根式 13．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期中）若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 易错必刷题六、已知最简二次根式求参数 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024八年级下·浙江·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则 ． 18．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 易错必刷题七、分母有理化 19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则；③；④已知，则；以上结论正确的有（    ） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 21．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 易错必刷题八、二次根式的混合运算 22．（2024八年级·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 23．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）化简： ． 24．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 易错必刷题九、已知字母的值，化简求值 25．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 26．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则 ； ． 27．（23-24八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值，其中 ，． 易错必刷题十、一元二次方程的解 28．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于x的方程的解是 ． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 易错必刷题十一、解一元二次方程——直接开平方法 31．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 32．（23-24八年级下·浙江金华·期中）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程的解为 ． 33．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请用适当方法给出正确的解答． 易错必刷题十二、解一元二次方程——配方法 34．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）方程配方后写成的形式，则b的值为 ． 36．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 易错必刷题十三、公式法解一元二次方程 37．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得 ． 39．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）解方程： (1)； (2) 易错必刷题十四、因式分解法解一元二次方程 40．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 41．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是 42．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）解方程： (1)； (2) 易错必刷题十五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 43．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ． 45．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 易错必刷题十六、根据一元二次方程根的情况求参数 46．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 47．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 48．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 易错必刷题十七、一元二次方程的根与系数的关系 49．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（   ） A．， B．， C． D． 50．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是 ． 51．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 易错必刷题十八、多边形的周长 52．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 53．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 54．（23-24八年级下·浙江嘉兴·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 易错必刷题十九、多边形内角和问题 55．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 56．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形共有 条对角线． 57．（2024八年级下·全国·专题练习）根据图中的对话回答问题．    (1)王强是在求几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 易错必刷题二十、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 58．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 60．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 易错必刷题二十一、求关于原点对称的点的坐标 61．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 62．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则 ． 63．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点，点A,B的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-1) (1)在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形. (2)写出点C、D的坐标，则C ,D . (3)□ABCD的周长为 . 易错必刷题二十二、已知两点关于原点对称求参数 64．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若点与点关于坐标原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 65．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则 ． 66．（23-24八年级下·浙江金华·期中）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 易错必刷题二十三、反证法证明中的假设 67．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 68．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明：“是无理数”，第一步应假设 ． 69．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ； （2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明． 易错必刷题二十四、配方法的应用 70．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 71．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．    72．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元． (1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少． (2)若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元． (3)要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额． 易错必刷题二十五、二次根式的应用 73．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的周长和是（    ）    A． B． C． D． 74．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 75．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 易错必刷题二十六、添一个条件成为平行四边形 76．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 77．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 78．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形． （2）在图2中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3． 易错必刷题二十七、一元二次方程的应用（传播、增长率、数字）问题 79．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）随着科技水平的提高，电子产品的价格呈下降趋势．某款手机首发日价格为3000元，两个月之后价格为2430元，求这款手机的价格在两个月中平均每月下降的百分率． 80．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 81．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 易错必刷题二十八、一元二次方程的应用（行程、工程、营销）问题 82．（23-24八年级下·全国·期末）某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． (1)如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 83．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 84．（2024·浙江衢州·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 易错必刷题二十九、一元二次方程的应用（与图形有关、动态几何、图表信息）问题 85．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 86．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 87．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 易错必刷题三十、平均数的综合应用 88．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组8名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数） 0 0 (1)这个小组男生的达标率为______%； (2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？ 89．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）： 活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作 得分 85 80 81 (1)求八年级（1）班三项活动成绩的平均数． (2)若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值． 90．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如表： 小组 研究报告（分） 小组展示（分） 答辩（分） 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名选手的排名顺序． (2)该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按，，的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 易错必刷题三十一、中位数和众数的综合应用 91．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表． 身高（cm） 154 158 161 162 165 167 人数 1 2 2 3 1 1 (1)依据样本估计该校八年级女生的平均身高． (2)写出这10名女生身高的中位数和众数． (3)请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）． 92．（2024八年级·浙江绍兴·模拟预测）某区为调查学生安全知识水平，对某一所学校选取了20人进行了测试．成绩分别为图表所示． 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 3 2 1 3 2 1 (1)已知统计图属于______图，易于显示______的差别． (2)表格中的值为______，若设测评成绩及其中位数为，．若为成绩合格，为成绩良好，为成绩优秀．请求出图中，以及的值． 93．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； b．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； (2)表中m的值为______； (3)在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前； 易错必刷题三十二、方差和标准差的综合应用 94．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差． 五次测试成绩得分表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 95．（2024八年级下·浙江·专题练习）（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 96．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知2014年3月份在某医院出生的20名新生婴儿的体重如下(单位：) 4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5 3.6 4.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7 (1)求这组数据的最大值与最小值的差； (2)若以为组距，对这组数据进行分组，制作了如下的“某医院2014年3月份20名新生婴儿体重的频数分布表”（表格不完整），请在频数分布表的空格中填写相关的量． 频数分布表 组别(kg) 划记 频数 3.55~3.95 正一 6 合计 20 (3)经检测，这20名婴儿的血型的扇形统计图如图所示（不完整），求： ①这20名婴儿中是A型血的人数； ②表示O型血的扇形的圆心角度数． 易错必刷题三十三、多边形外角和的实际应用 97．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 98．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，则等于 ． 99．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 易错必刷题三十四、中心对称图形规律问题 100．（23-24八年级下·浙江丽水·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 101．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标是，若点A与点B关于中心对称，则 ． 102．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 易错必刷题三十五、证明四边形是平行四边形 103．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（    ）    A． B． C． D． 104．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 105．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 易错必刷题三十六、平行四边形性质和判定的应用 106．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 107．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 108．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 易错必刷题三十七、利用平行四边形的判定与性质求解 109．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在四边形中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 110．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）如图，在中，点E，点F分别是，的中点，连结，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 111．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中，作以为一边的平行四边形，满足平行四边形的面积为11． 易错必刷题三十八、利用平行四边形性质和判定证明 112．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 113．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．    114．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）点E、F分别是的边、上的点，，求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题三十九、三角形中位线与三角形面积问题 115．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 116．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为 ． 117．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．    (1)求证：． (2)已知，若，求的度数． 易错必刷题四十、三角形中位线的实际应用 118．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 119．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图小芳为测湖宽，取边的中点D，E，连结，并测得米，则 米． 120．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AFBE； 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．根据表中数据，应该选择（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 5．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形．现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（    ） 甲方案：只需要满足； 乙方案：只需要满足． A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确 C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为 ． 8．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某品牌汽车公司销售部为了制定下个月的销售计划，对20位销售人员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的扇形统计图，则这20位销售人员本月销售量的众数是 台． 9．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知是的边上的中线，若的周长比的周长多，则 ． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 11．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）解方程： (1) (2) 12．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，的平分线交边于点M，的平分线交于点N． (1)求证：． (2)求证：． 14．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9    乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： (1)_____；_____；_____； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ (3)若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（135题40个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、中心对称图形的识别 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是 ，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是 ． 【答案】② 既是轴对称图形，又是中心对称图形 【分析】我最为欣赏的图标是②，根据中心对称与轴对称图形的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：我最为欣赏的图标是②，选择理由是②既是轴对称图形，又是中心对称图形， ①是轴对称图形，③既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，④是轴对称图形． 故答案为：②；既是轴对称图形，又是中心对称图形．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个图案（图①、②、③）． (1)以上三个图中轴对称图形有___________；中心对称图形___________．（写序号） (2)请在图④中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案；在图⑤中画出是轴对称图形又是中心对称的新图案． 【答案】(1)图1、图2、图3；图1、图3 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解； （2）由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形，要在图4中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案，只需在圆内画出一个是轴对称图形但不是中心对称图形的图案即可，要在图5中画出是轴对称图形又是中心对称图形的新图案，只需在圆内画出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的图案即可． 【详解】（1）解：图1、2、3是轴对称图形，图1、3是中心对称图形； （2）如图所示． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念及其应用． 易错必刷题二、平面镶嵌 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在某广场整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面．则下列满足要求的地板砖是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴用同一种正多边形铺满地面，则可供选择的正多边形是正六边形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 5．（2024八年级下·浙江·专题练习）请写出一种能单独镶嵌平面的正多边形： ． 【答案】正三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面镶嵌的密铺问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．在平面镶嵌时必须满足密铺，即几个内角合起来必须为，而正多边形的每个内角相等，所以必须满足正多边形的一个内角能整除． 【详解】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， 一种能单独镶嵌平面的正多边形只有正三角形，正四边形，正六边形． 故答案为：正三角形（答案不唯一） 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计． 【答案】见解析 【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成． 【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，， ∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面． 如图： 【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 易错必刷题三、求二次根式中的参数 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 9．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 易错必刷题四、利用二次根式的性质化简 10．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，掌握是解题的关键． 先将化为，再根据化简即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．将所给的二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解∶，，，， 则不能与合并的是， 故答案为∶． 12．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 易错必刷题五、同类二次根式 13．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 把所给的二次根式化简后比较被开方数即可解答． 【详解】解：，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：D． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期中）若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a； （2）代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， （2）当时 ． 【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键． 易错必刷题六、已知最简二次根式求参数 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 17．（2024八年级下·浙江·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 18．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 易错必刷题七、分母有理化 19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则；③；④已知，则；以上结论正确的有（    ） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】，故①正确； ∴，故②错误； ， ， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； 故选：A 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意进行求解即可． 【详解】解； , 故答案为：． 21．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，再进行化简可求出答案； （2）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （3）根据，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案. 本题考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：反复运用得 ． 易错必刷题八、二次根式的混合运算 22．（2024八年级·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键中熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 先根据乘方的意义，把、化成、，再求出它们的末位数字，从而可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，…，每4个一循环， ∵， ∴的末位数字为6． ∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：3，9，7，1，3，9，… ∵， ∴的末位数字为1． ∴的末位数字为：． 故选：D． 23．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 24．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （）先把进行二次根式乘除法，然后合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 易错必刷题九、已知字母的值，化简求值 25．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将代数式化为完全平方式，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 26．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则 ； ． 【答案】 1 【分析】根据二次根式的加减运算及乘法运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴；； 故答案为：①；②1． 【点睛】题目主要考查求代数式的值及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 27．（23-24八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内化简，再合并同类二次根式，最后再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当 ， 时， 原式 ． 易错必刷题十、一元二次方程的解 28．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，理解一元二次方程的解和整体代入思想是解题关键． 根据是方程的根，得出、，对代数式变形后将其代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ，， ， ． 故选：A． 29．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于x的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程中的看做一个整体，根据方程的解的情况建立方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程（h，k均为常数）的解是，， ∴关于x的方程的解满足或， 解得或， 故答案为：或． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 易错必刷题十一、解一元二次方程——直接开平方法 31．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 32．（23-24八年级下·浙江金华·期中）对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，当时，则，当时，则，两种情况分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当时，则，即， 解得或（舍去）； 当时，则，即， 解得或（舍去）； 综上所述，方程的解为或， 故答案为：或． 33．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请用适当方法给出正确的解答． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法从第4步开始出现错误， （2）用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误， ∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数， ∴还有的情况． 故答案为：4． （2） 易错必刷题十二、解一元二次方程——配方法 34．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可． 【详解】解： ∴； 故选C． 35．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）方程配方后写成的形式，则b的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故答案为：9． 36．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 易错必刷题十三、公式法解一元二次方程 37．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 38．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得 ． 【答案】 【分析】求出的根，然后根据一元二次方程的两个实数根为，则，进而分解因式即可． 【详解】解：对于， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，若一元二次方程的两根为，那么式子可分解为． 39．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， ， ，． 易错必刷题十四、因式分解法解一元二次方程 40．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，根据因式分解的步骤解方程后再判断即可． 【详解】， ， ∴或， ∴或； 故小李解方程的过程错误，A选项不符合题意； 也是该方程的一个解，B选项符合题意； 小李解方程的方法不是配方法，是因式分解法，C选项错误； 解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误，D选项错误． 故选：B． 41．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是 【答案】15 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑，当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程可求出的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出，解之即可得出值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解． 【详解】解：当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程得， 解得：， 此时原方程为，即， 解得：，， ， 不能为等腰三角形的腰； 当3为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时， 、6、6可以围成等腰三角形， 该三角形的周长是：． 故答案为：15． 42．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法将方程变形为即可解答； （2）利用一元二次方程的根的判别式可知方程有两个不相等的实数根，再利用公式法解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴，， 易错必刷题十五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 43．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据  一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程 ，解方程可判断④． 【详解】解：①若，则方程中，则方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则，则方程的根的判断式，则方程必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么， 方程两边同时除以25，得 ，即， ∴是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么 ， 解得：，则，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 44．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程 (k为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③． 【详解】解：①∵ ∴方程有两个相等的实数根． ∴①正确： ②∵一元二次方程(k为常数)最多有两个解， ∴②错误； ③方程的解为， 将代入得， ∴， ∴③正确． 综上，正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解． 45．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 易错必刷题十六、根据一元二次方程根的情况求参数 46．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式求出，根据题意得，解关于的一元一次不等式，结合一元二次方程的定义即即可得出得取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且． 故选：D． 47．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根，得到，结合二次根式的有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； 又∵， ∴， 综上：； 故答案为：. 48．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 易错必刷题十七、一元二次方程的根与系数的关系 49．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，，即可得到，，从而确定答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根为，， ，， ，， 故选：D． 50．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．由根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴ ． 故答案为：15． 51．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 易错必刷题十八、多边形的周长 52．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，长方形的周长，根据题意可得五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，进而可知大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和． 【详解】解：根据题意得：把五个小长方形的长和宽分别平移到大长方形的长和宽上，则五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和， 五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和， ∴大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和， ∵五个小长方形的周长之和为50， ∴大长方形的周长为50． 故选：B． 53．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 54．（23-24八年级下·浙江嘉兴·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 易错必刷题十九、多边形内角和问题 55．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和． 由三角形外角的性质，多边形内角和，转化为五边形内角和，即可列式求解， 【详解】解： ． ∴． 故选：C． 56．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形共有 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的内角和、多边形对角线条数，设这个多边形的边数为，由多边形的内角和为计算得出，再根据对边形对角线的条数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得：， ∴这个多边形的对角线条数为， 故答案为：． 57．（2024八年级下·全国·专题练习）根据图中的对话回答问题．    (1)王强是在求几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【答案】(1)九边形 (2) 【分析】（1）设多边形的边数为，根据题意，列出不等式组，求解即可； （2）求得多边形的内角和，即可求解． 【详解】（1）解：设多边形的边数为，根据题意可得： 解得 又∵为正整数 ∴ 答：王强是在求九边形的内角和； （2）解：九边形的内角和为 少加的那个内角为： 答：少加的那个内角为． 【点睛】此题考查了多边形的内角和，不等式组的求解，解题的关键是掌握多边形内角和公式以及不等式组的求解方法． 易错必刷题二十、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 58．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 59．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 60．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 易错必刷题二十一、求关于原点对称的点的坐标 61．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：A． 62．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键． 直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵坐标系中点，点关于原点中心对称， ∴，， 则． 故答案为：1． 63．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点，点A,B的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-1) (1)在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形. (2)写出点C、D的坐标，则C ,D . (3)□ABCD的周长为 . 【答案】（1）详见解析；（2）C（1，-3） D（2,1）；（3） 【分析】（1）根据中心对称性质可知CD两点是AB点关于原点的对称点，根据网格结构找出对称点即可作图. （2）根据原点对称坐标的规律即可得出CD两点坐标. （3）分别计算出AB、和AD长即可求出周长. 【详解】解：（1）如图: （2）C（1，-3）D（2,1） （3）由图可知：AB=，AD= ∴□ABCD的周长为． 故答案为（2）C（1，-3）D（2,1）；（3） 【点睛】本题主要考查的是中心对称图形和平行四边形的性质的有关知识．以及勾股定理的应用.由平行四边形是中心对称图形得出CD两点是AB点关于原点的对称点是解题关键. 易错必刷题二十二、已知两点关于原点对称求参数 64．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若点与点关于坐标原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据关于原点的对称点的特点列式求得a、b的值，然后求和即可解答． 【详解】解：∵点与点关于坐标原点对称， ∴， 解得：． ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了点的坐标变化——中心对称，熟知关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数是解答本题的关键． 65．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由点与点关于原点对称，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， 故答案为：3． 66．（23-24八年级下·浙江金华·期中）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴． 易错必刷题二十三、反证法证明中的假设 67．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 【答案】B 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于0.5的反面，得到答案．本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于0.2， 先要假设这五个正数都小于0.2， 故选：B． 68．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明：“是无理数”，第一步应假设 ． 【答案】为有理数 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：用反证法证“是无理数”时，第一步应假设：为有理数． 故答案为：为有理数． 69．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ； （2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明． 【答案】（1）三角形内角中全都小于；（2）答案见解析． 【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案； （2）利用命题与定理，首先写出逆命题进而得出答案． 【详解】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于”， 先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于， 故答案为：三角形内角中全都小于； （2）逆命题：“一次函数的图象不经过第二象限，则，，” 逆命题为假命题，反例：当时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）． 【点睛】本题考查反证法和判断逆命题的真假．正确的进行假设是反证法的关键，掌握利用举反例的方法是判断命题真假的关键． 易错必刷题二十四、配方法的应用 70．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 71．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．    【答案】 1 【分析】根据已知数学模型，同理可得阴影部分的边长为，先计算出大正方形的面积=中间部分面积+个阴影部分小正方形面积，可得大正方形的边长，从而得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴如图2中间小正方形的边长x为1；阴影部分每个正方形的边长为， 故答案为：1，． 【点睛】本题考查解一元二次方程的几何解法，解题的关键是要读懂题目意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 72．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元． (1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少． (2)若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元． (3)要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额． 【答案】(1) (2) (3)售价为元，平均每小时销售额最大为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用； （1）设涨价的百分率是，由题意：小蛋糕的售价在元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，列出一元二次方程，解方程即可； （2）设小蛋糕的售价提高元，则每小时的销售数量就会减少个，平均每小时的销售总额为元，列出一元二次方程，解方程即可； （3）设小蛋糕的售价为元，根据配方法得出，平均每小时的销售总额为，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：设涨价的百分率是， 由题意得：， 解得： (不合题意，舍去)， 答：涨价的百分率是； （2）设小蛋糕的售价提高元，则每小时的销售数量就会减少个， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 小蛋糕的售价为：元或元， 售价不能超过元， 小蛋糕的售价为元， 答：此时小蛋糕的售价定为元． （3）设小蛋糕的售价为元， ∴平均每小时的销售总额为： 售价不能超过元， 小蛋糕的售价为元， 当时，平均每小时的销售总额最大，最大销售额为元 答：此时小蛋糕的售价定为元，最大销售额为元． 易错必刷题二十五、二次根式的应用 73．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的周长和是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形周长等．根据题意表示阴影周长计算即可． 【详解】解：由题意知，两块阴影周长可表示为： ， ， ， ， 故选：A． 74．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 75．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据题目中的公式即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，三角形的三边长分别为5，6，7， 则该三角形的面积 ． 易错必刷题二十六、添一个条件成为平行四边形 76．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，不合题意； B、添加，得出，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、添加，得出，不能判定为平行四边形，不合题意； D、添加，根据一组对比平行且相等的四边形是平行四边形可以判定为平行四边形，符合题意． 故选：D． 77．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据的性质得到，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可． 【详解】解：如图，在中，，则． 当添加时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形， 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是能够灵活应用平行四边形的判定解决问题． 78．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形． （2）在图2中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3． 【答案】见解析 【分析】（1）以为边画一个平时四边形即可； （2）先作对角线，然后以为边，为对角线画平行四边形即可． 【详解】解：（1）如图1，四边形为所作； （2）如图2，四边形为所作． 【点睛】考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的判定． 易错必刷题二十七、一元二次方程的应用（传播、增长率、数字）问题 79．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）随着科技水平的提高，电子产品的价格呈下降趋势．某款手机首发日价格为3000元，两个月之后价格为2430元，求这款手机的价格在两个月中平均每月下降的百分率． 【答案】 【分析】设这款手机的价格在两个月中平均每月下降的百分率为，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设这款手机的价格在两个月中平均每月下降的百分率为， 则由题意可列方程： 解得，（不符合题意，舍去） 答：这款手机的价格在两个月中平均每月下降的百分率为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出一元二次方程． 80．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 81．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 【答案】最小的数是5，理由见解析 【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)， 由题意得x(x+8)=33， 解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去； 由题意得x(x+8)=65， 解得x1=-13（舍去），x2=5， 所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 易错必刷题二十八、一元二次方程的应用（行程、工程、营销）问题 82．（23-24八年级下·全国·期末）某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． (1)如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 【答案】(1)每件商品的售价为元 (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）设每件商品的售价为y元，则每件的利润为元，销售量为(件)根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每件商品的售价为元； （2）涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由如下： 设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元． 83．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 84．（2024·浙江衢州·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 易错必刷题二十九、一元二次方程的应用（与图形有关、动态几何、图表信息）问题 85．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 86．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ (2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 【答案】(1)的长是米 (2)的长是米或米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键． （1）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可； （2）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是6米； （2）设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，符合题意， 当m＝6时，，符合题意， ∴的长是米或米． 87．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， ∴， ∴的面积， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， ∴； （2）解：不能，理由如下： 设秒后，的面积等于， 同（1）得：的面积， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能等于． 易错必刷题三十、平均数的综合应用 88．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组8名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数） 0 0 (1)这个小组男生的达标率为______%； (2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查正负数的意义解决实际问题，读懂题意，理解正负数表示的成绩，由有理数计算法则求解即可得到答案． （1）由成绩记录表，得到百米测验，成绩达标的同学人数为人，计算百分比即可得到答案； （2）由成绩记录表中的数据，计算出平均值，再加上达标成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：成绩记录表中第二个、第三个、第六个、第七个男生的成绩均达到或超过17秒， 百米测验，成绩达标的同学人数为人， 这个小组男生的达标率为， 故答案为：； （2）解：这个小组男生的平均成绩为： （秒）， 答：这个小组男生的平均成绩为秒． 89．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）： 活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作 得分 85 80 81 (1)求八年级（1）班三项活动成绩的平均数． (2)若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）按照平均数的求法，将三项成绩相加，然后再除以3即可． （2）按照加权平均数的求法列出关于m的方程，然后解得m的值． 【详解】（1）三项成绩的平均数为， （2）根据题意，得， 解得 【点睛】本题考查了平均数、加权平均数等知识点，解题的关键是正确运用平均数、加权平均数的算法． 90．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如表： 小组 研究报告（分） 小组展示（分） 答辩（分） 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 (1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名选手的排名顺序． (2)该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按，，的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 【答案】(1)根据平均分，从高到低排列分别是甲、乙、丙 (2)最后得到冠军的是丙 【分析】本题主要考查平均数及加权平均数，熟练掌握平均数及加权平均数是解题的关键； （1）根据表格结合平均数的求法可直接进行求解； （2）由题意可知甲淘汰，然后分别计算乙、丙的加权平均数，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （分）； （分）； （分）； 答：根据平均分，从高到低排列分别是甲、乙、丙 （2）解：由于甲的小组展示低于80分，所以甲不能获得冠军，则有： 乙按比例最后得分为（分）； 丙按比例最后得分为（分）； ∵， ∴最后得到冠军的是丙． 易错必刷题三十一、中位数和众数的综合应用 91．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表． 身高（cm） 154 158 161 162 165 167 人数 1 2 2 3 1 1 (1)依据样本估计该校八年级女生的平均身高． (2)写出这10名女生身高的中位数和众数． (3)请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）． 【答案】(1)该校八年级女生的平均身高约为； (2)中位数是，众数为 (3)由于平均数为，中位数为，众数为，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐 【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、样本； （1）平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数； （2）根据中位数和众数的定义解答； （3）根据中位数和众数的意义回答． 【详解】（1）解：平均数， 所以该校八年级女生的平均身高约为； （2）解：162出现了3次，次数最多，所以众数为， 10个数据按从小到大的顺序排列后，第5、第6个数是161、162， 所以中位数是； （3）解：由于平均数为，中位数为，众数为，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐． 92．（2024八年级·浙江绍兴·模拟预测）某区为调查学生安全知识水平，对某一所学校选取了20人进行了测试．成绩分别为图表所示． 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 3 2 1 3 2 1 (1)已知统计图属于______图，易于显示______的差别． (2)表格中的值为______，若设测评成绩及其中位数为，．若为成绩合格，为成绩良好，为成绩优秀．请求出图中，以及的值． 【答案】(1)扇形统计，各部分占总体的百分比的大小 (2)5，，， 【分析】本题考查统计表和扇形统计图、中位数，理解扇形统计图的特点是解答的关键． （1）根据扇形统计图的特点解答即可； （2）由抽样调查人数减去其它已知人数可求得a值；再根据对应人数除以抽样调查总人数可求解m、n值，然后利用中位数的定义求解k值即可． 【详解】（1）解：由题意，已知统计图属于扇形统计图，易于显示各部分占总体的百分比的大小， 故答案为：扇形统计，各部分占总体的百分比的大小； （2）解：由题意，， 成绩合格人数为（人），则， 成绩优秀人数为（人），， ∴，， ∵20个数据从小到大排列，处于第10个和第11个数据都是91， ∴中位数． 故答案为：． 93．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； b．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； (2)表中m的值为______； (3)在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前； 【答案】(1)23 (2)77.5 (3)甲 【分析】本题主要考查频数分布直方图、中位数，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义． （1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案． 【详解】（1）解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有（人； 故答案为：23； （2）解：七年级学生成绩的中位数（分； 故答案为：77.5； （3）解：七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数； 故答案为：甲． 易错必刷题三十二、方差和标准差的综合应用 94．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差． 五次测试成绩得分表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 【答案】， 【分析】本题考查了平均数，方差，先求出平均数，再根据方差公式求方差． 【详解】解：， ． 95．（2024八年级下·浙江·专题练习）（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 【答案】（1）9；（2）；（3）， 【分析】（1）设…，的平均数为，则，…，的平均数为，再利用方差的计算公式就可求出，…，的方差； （2）先设原数据的平均数为a，再求出每个数据都乘以9后的平均数，然后利用方差公式进行求解，最后求出方差的算术平方根，据此即可解决问题； （3）根据（1）和（2）两题的结论可得出新数组的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可解决问题． 【详解】解：（1）设…，的平均数为， 则，…，的平均数为． 因为， 所以，…，的方差为 ． （2）设其平均数为a，则将每个数据都乘以9之后得到的新数分别为，…，，其平均数为， 所以原数据方差为 ， 所以新数组，…，的标准差为． （3）由（2）的结论可知这组数据中的每个数乘以a得到的新数组的方程为， 再根据（1）的结论可知将数据，…，中的每一个数都加上b以后得到的新数组与数组，…，的方差一样，仍为， 所以最后得到的新数组的标准差． 【点睛】本题考查的是方差和标准差，关键是掌握方差与标准差的计算方法． 96．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知2014年3月份在某医院出生的20名新生婴儿的体重如下(单位：) 4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5 3.6 4.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7 (1)求这组数据的最大值与最小值的差； (2)若以为组距，对这组数据进行分组，制作了如下的“某医院2014年3月份20名新生婴儿体重的频数分布表”（表格不完整），请在频数分布表的空格中填写相关的量． 频数分布表 组别(kg) 划记 频数 3.55~3.95 正一 6 合计 20 (3)经检测，这20名婴儿的血型的扇形统计图如图所示（不完整），求： ①这20名婴儿中是A型血的人数； ②表示O型血的扇形的圆心角度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①9人；② 【分析】（1）根据求极差的方法用这组数据的最大值减去最小值即可； （2）根据所给出的数据和以为组距，分别进行分组，再找出各组的数即可； （3）①用总人数乘以A型血的人数所占的百分比即可；②用减去A型、B型和型的圆心角的度数即可求出O型血的扇形的圆心角度数． 【详解】（1）解：这组数据的最大值与最小值的差为 （2）解：补全频数分布表，如下： 组别() 划记 频数 ┬ 2 正┬ 7 正一 6 ┬ 2 ┬ 2 一 1 合计 20 （3）解：①这20名婴儿中是A型血的人数为人； ②表示O型血的扇形的圆心角度数为． 【点睛】此题考查了频数（率）分布表、扇形统计图以及极差的求法，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． 易错必刷题三十三、多边形外角和的实际应用 97．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 98．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，则等于 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出，从而得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图 ，， ， ∵，， ． 故答案为：． 99．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？ 【答案】360° 【分析】分别记的外角为，用即可得出答案． 【详解】 如图，当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是，由C市向A市行驶时转的角是，由A市向P市行驶时转的角是． 小汽车从P市出发，经B市、C 市、A市，又回到P市，共转． 【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 易错必刷题三十四、中心对称图形规律问题 100．（23-24八年级下·浙江丽水·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 101．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标是，若点A与点B关于中心对称，则 ． 【答案】6 【分析】先根据“点A与点B关于中心对称”求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵点A与点B关于中心对称， ∴，， ∴，， 此时， 故答案为6． 【点睛】本题考查了中心对称，点A与点B关于中心对称，即，． 102．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 故答案为； （2）过点作轴于点H，如图所示： ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 易错必刷题三十五、证明四边形是平行四边形 103．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义以及性质，根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了． 【详解】解：只有两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小， 故选：． 104．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论． 【详解】解：延长到E，使，连接，， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由阿波罗尼奥斯定理得：， ， ， ， 故答案为：． 105．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论． （2）先证明，再证明，可得到． 【详解】（1）证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 易错必刷题三十六、平行四边形性质和判定的应用 106．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 107．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 108．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【答案】见解析 【分析】可以先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边都为2的直角三角形；可以先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可． 【详解】解：如图1，先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形； 如图2，先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形； 如图3，以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形； 【点睛】此题主要考查对平行四边形与三角形之间关系的灵活掌握，理解性质是解决这个问题的关键． 易错必刷题三十七、利用平行四边形的判定与性质求解 109．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在四边形中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明四边形是平行四边形，根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形对角相等． 110．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）如图，在中，点E，点F分别是，的中点，连结，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本体主要考查了平行四边形的判定以及性质，等角对等边，由平行四边形的性质可得出，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，等量代还可得出，由等角对等边可得出，再求出，最后再根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：， 故答案为：10． 111．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中，作以为一边的平行四边形，满足平行四边形的面积为11． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据题意，画出平行四边形即可； （2）根据题意，画出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积为，满足题意； （2）如图，平行四边形即为所求； 由图可知，平行四边形的面积为，满足题意． 易错必刷题三十八、利用平行四边形性质和判定证明 112．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质，得出，，根据中点得出，根据平行四边形的判定逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵在中，点是边的中点， ∴，，， ∴， A、为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、，不能说明四边形为平行四边形，符合题意； C、， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 113．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 114．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）点E、F分别是的边、上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，先根据平行四边形的性质得出，，再根据，得出，最后根据平行四边形的判定得出答案即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题三十九、三角形中位线与三角形面积问题 115．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一以及中位线的判定与性质，先根据，平分，得出，结合点E是边上的中点，得出为的中位线，即可作答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， 即点D是的中点， 点E是边上的中点， 为的中位线， 故选：C 116．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 117．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．    (1)求证：． (2)已知，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，得到，进而证明出，然后由得到，即可证明出； （2）根据平行线和等边对等角性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）∵点E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 易错必刷题四十、三角形中位线的实际应用 118．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得解． 【详解】解： D，E是，的中点， 是的中位线， ，又， 米． 故选：D 119．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图小芳为测湖宽，取边的中点D，E，连结，并测得米，则 米． 【答案】40 【分析】 根据三角形中位线定理可得，代入数据可得答案． 【详解】 解：线段，的中点为，， ， 米， 米， 故答案为：40． 【点睛】 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 120．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AFBE； 【答案】见解析． 【分析】连接BD交AC于点O，证明OF是△DBE的中位线，故可求解． 【详解】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是BD的中点， ∵F为DE的中点， ∴OF是△DBE的中位线， ∴OFBE， ∴AFBE． 【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的判定定理． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的情况，利用一元二次方程的定义和判别式判断根的情况是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式，解出不等式组即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差．根据表中数据，应该选择（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了由平均数，方差作决策，先由平均数可得从甲，乙和丙中选择一人参加比赛，再由乙的方差最小，从而选择乙去参赛，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 【详解】解：∵甲，乙和丙的平均数一样，且大于丁的平均数， ∴从甲，乙和丙选择一人参加比赛， ∵乙的方差最小， ∴选择乙参赛， 故选：． 4．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 5．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形．现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（    ） 甲方案：只需要满足； 乙方案：只需要满足． A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确 C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确 【答案】C 【分析】结合平行四边形的性质，证明，即可解决问题．本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 甲：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形，故乙正确； 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：在函数中，， 解得， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程，有两个实数根为，，则，是解题的关键． 设方程另一根为，根据题意，得，求解即可． 【详解】设方程另一根为，根据题意，得， 解得：， 故答案为：2． 8．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某品牌汽车公司销售部为了制定下个月的销售计划，对20位销售人员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的扇形统计图，则这20位销售人员本月销售量的众数是 台． 【答案】16 【分析】本题主要考查扇形统计图及众数，熟练掌握众数的求法是解题的关键；根据一组数据中，出现次数最多的为该组数据的众数进行求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知：这20位销售人员本月销售量的众数是16台； 故答案为16． 9．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知是的边上的中线，若的周长比的周长多，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据题意得出，，代入数据即可求解． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， 又，的周长比的周长多， ， 即， ， 故答案为：10． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 11．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 12．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，的平分线交边于点M，的平分线交于点N． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，证明，即可得出结论； （2）证明四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 14．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9    乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： (1)_____；_____；_____； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ (3)若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 【答案】(1)8，8，9 (2)见解析 (3)变小，理由见解析 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； （2）解：教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． （3）解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$