期中重难点真题特训之压轴满分题型（75题12个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（75题12个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分母有理化 1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内约分作差，再将除法化为乘法约分计算，然后将、的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）观察下列运算过程： ； ； ．．．．．． 请运用上面的运算方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，要能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，先分母有理化，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________________；比较大小：_____________；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数、满足：，则_______________； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用平方差公式分子分母同时乘以求解即可；由得到，然后利用平方差公式变形求解即可； （2）将变形为，然后根据求解即可； （3）由得到，然后利用分母有理化得到，进而求解即可． 【详解】（1）； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∵ ∴； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了分母有理数，二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如： 的有理化因式是 的有理化因式是 ． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如： 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)把下列式子分母有理化： (3)化简： 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以写出相应的分母有理化因式； （2）根据平方差公式可以将分母有理化； （3）根据分母有理化的方法和式子的特点，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：的有理化因式可以是． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 5．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）先阅读，后解答： ； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是___________；的有理化因式是___________； (2)将下列式子进行分母有理化：①___________；②___________； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： (4)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可； （4）首先得到，，然后根据得到即可判断． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． （4）∵， ∵ ∴ ∴． 压轴满分题二、二次根式的规律问题 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）观察与思考：①；②；③． 式①验证：； 式②验证：． (1)仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程； (2)猜想：_____； (3)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了二次根式运算的规律探究问题，体现了从特殊到一般的探究过程，解题的关键是理解题中已给出的式子，找出每个式子与序号的关系． （1）仿照上述式①、式②的验证过程即可写出式③； （2）通过式①、式②、式③即可猜想； （3）通过（1）和（2）即可用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，再验证即可． 【详解】（1）解： （2）解：； 故答案为： （3） 证明： 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 8．（24-25八年级下·浙江衢州·阶段练习）观察下列等式：回答问题： ① ② ③， … (1)根据上面三个等式的信息，猜想； (2)请你找出其中规律，并将第个等式写出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的计算以及寻找规律，解题的关键是观察已知等式，找出数字变化的规律． （1）由前面的三个等式猜想结果； （2）根据观察，可得规律． 【详解】（1）（1）根据上面三个等式的信息，猜想：； 故答案为：； （2）∵，，，… ∴． 9．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）观察下列等式： ①；②；③；…… 利用你观察到的规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据题目中给出的式子，找到规律进行计算即可． 【详解】解： ． 压轴满分题三、根的判别式压轴题型 11．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 12．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)是一元二次方程一个实数根，求m的值及方程的另一根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握根的判别式的内容是解决此题的关键． （1）先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）把代入原方程得出m的值，再将代入原方程，然后解方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程：， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：把代入原方程得：， ∴， ∴代入原方程得：， 解得：， ∴m的值为4，方程的另一根为． 13．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）方程是我们将现实问题转化为数学问题的重要模型之一，利用方程的基本性质，我们可以解决一些较为复杂的代数证明问题．下面是两个关于x的一元二次方程：，，其中． (1)求证：这两个方程都有两个不相等的实数根； (2)若p和q分别是和的其中一个实数根，请求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式； （1）分别求出两个方程的，证明即可； （2）由方程的根得到，，再把展开后代入计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实根； ， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实根； （2）证明：∵若p和q分别是和的其中一个实数根， ∴，， ∴，， ∴ ． 14．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为2，则 ，另一个根为 ． (2)当时，方程根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．不存在实数根 (3)若方程两个相等的实数根是整数，请写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 【答案】(1)5， (2)C (3)，（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，本题属于基础题型． （1）把和依次代入，解方程即可求出,再解得到的一元二次方程即可； （2）根据根的判别式符号进行判断； （3）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，一元二次方程为， ∵一个根为2， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 解得或， ∴另一个根为； 故答案为：5，； （2）当时，， ， ∴方程有两个实数根， 故选：C； （3）由题意可知， ， 即：． 当时，方程为：，即 解得：． 15．（24-25八年级下·浙江湖州·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根据已知条件设，先求出求出y的值，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则 ， ∴，， 当时，，解得，； 当时，，，无解； 综上所述，原方程的解为，． 压轴满分题四、根据一元二次方程根的情况求参数 16．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题． （1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，， 化简得：． 18．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． (1)若，求x的值； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． （2）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，即可得出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，． （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 19．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【答案】(1)且 (2)，或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得且； （2）解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，， 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解方程可求出的值，据此可求出答案； （2）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断该方程没有实数根，据此可证明代数式没有不变值； （3） ① 先令，化简后再根据，可求出实数a的值；②先令，化简后可求出方程的根为：，再根据此方程至少有一个是整数，可得a是3或5的约数，进而可求出a的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，，整理得，， 解得：，， 故答案为： （2）证明：令，则有，其判别式， ∴此方程无解， ∴ 关于的代数式没有不动值． （3）解：①令，则有， ∵此方程只有一个实数根， ∴则， 解得，（舍去）， ∴． ②，，， 令，则有， 因式分解可得：， 解得：， ∵此方程至少有一个是整数 ， ∴只要a是3或5的约数即可，即， ∴，，． 压轴满分题五、二次根式的综合应用 21．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）怀仁市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地的长为的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 【答案】(1) (2)2000元 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）利用长方形的周长公式列出运算式子，再计算二次根式的加法与乘法即可得； （2）利用大长方形的面积减去小长方形的面积可得绿地面积，然后乘以40即可得． 【详解】（1）解：长方形的周长为 ， 答：长方形的周长为． （2）解： ， （元）， 答：定期维护的总费用为2000元． 22．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小玲同学的长方形的参赛作品． (1)通过计算，判断小玲的作品是否符合参赛标准． (2)若在参赛作品周围贴上金色彩条，使参赛作品更漂亮，求所需彩条的长度．（结果保留根号） 【答案】(1)作品符合参赛标准，理由见解析 (2)所需彩条的长度为 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）由题意列式，再把结果与比较即可； （2）根据题意列式，再计算即可； 【详解】（1）解：由题意可知，． ． ∴小玲的作品符合参赛标准． （2）解：由题意可得， ∴所需彩条的长度为． 23．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某社区计划打造一个休闲区域，有块形状为长方形的空地被规划使用．长为米，宽为米，社区打算在长方形空地中修建两个形状大小相同的长方形花坛来美化环境（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)请你求出长方形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成为步道，步道供居民日常散步等活动．现在要在步道上铺上造价为80元/平方米的地砖，请问要铺完整个步道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)米 (2)元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键： （1）根据长方形周长计算公式列式计算即可； （2）用大长方形面积减去花坛总面积即可求出步道的面积，再乘以地砖每平方米的造价即可得到答案． 【详解】（1）解：米， 答：长方形的周长为米； （2）解： 元， 答：要铺完整个步道，购买地砖需要花费元． 24．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案． 欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”） 【答案】(1) (2) (3)欣欣 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键； （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出盖长方体铁箱的宽为，长为，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 （2）解：四个直角处的小正方形边长为 无盖长方体铁箱的宽为，长为 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为 （3）这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的高为，则底面正方形①的边长是， 底面积是： 体积为： 畅畅的方案中正方形②的边长为，则制作的无盖长方体铁箱的宽为： 底面积为， 体积为 ∵ ∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 故答案为：欣欣． 25．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 压轴满分题六、一元二次方程综合的应用 26．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为或； (3)羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 27．（2025·浙江绍兴·一模）某商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． (1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某旗舰店该商品的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出4件，为了推广宣传，尽量减少库存，决定降价促销，若使销售该商品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)30元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率是，根据3月份的销量1月份的销量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，则销量为件，根据利润（售价进价）销量建立方程，解方程求出的值，再结合为了推广宣传，尽量减少库存，且降价越多，销量越多即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得或， 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵为了推广宣传，尽量减少库存，且降价越多，销量越多， ∴， 答：售价应降低30元． 28．（2024·浙江湖州·一模）合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）34；（2）；（3）存在，第10个图形由114个棋子组成 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题． （1）观察得到每一个图形中的棋子数等于图形个数乘以比个数多1的数再加4，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】解：（1）∵由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ∴第5个图形中有个圆形棋子， 故答案为：34． （2）由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）存在，理由如下： 令， 解得，（舍去）． ∴存在，第10个图形由114个棋子组成． 29．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 30．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 压轴满分题七、多边形外角和的实际应用 31．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）求下列图中的的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，三角形内角和定理，多边形外角和，解题的关键在于根据图形建立等量关系． （1）根据图形以及三角形内角和建立等量关系，即可解题； （2）根据图形以及多边形外角和建立等量关系，即可解题． 【详解】（1）解：由图知， ； （2）解：由图知， ． 32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 33．（23-24八年级下·浙江金华·期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 【答案】（1）见解析，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析 【分析】（1）经测量得出∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可； （2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可； （3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可； 【详解】解：（1） 经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°， 发现：三角形中的外角和为360°， 理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°， ∠ACE+∠ACB＝180°， ∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°， 又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°； （2） ∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°， 所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°； 发现：在四边形的外角和是360°； ∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°， ∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°， ∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°， ∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°． （3）猜想：多边形的外角和都是360°． 设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°， ∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°． 【点睛】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可． 34．（23-24八年级下·浙江衢州·阶段练习） 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α． （1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）； （2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由； （3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）    【答案】（1）150° ；（2）∠1+∠2=90°+∠α，理由见解析；（3）∠2=90°+∠α+∠1或∠1-∠2=∠α-90°，理由见解析 【分析】（1）∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°； （2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化简即可得出答案； （3）根据题意画出图形可知，∠CFE是△DPF的外角，根据外角性质可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根据外角性质可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根据以上两个等式即可得出∠α、∠1、∠2之间的数量关系． 【详解】（1）∵∠α=60°，∠C=90°， ∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°， 又∵四边形的外角和为360°， ∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°； （2）∠DPE的邻补角为180°-∠α， ∠C的邻补角为90°， ∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角， ∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°， ∴∠1+∠2=90°+∠α （3）如图3所示，    当PD位于PE上方时， ∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1， ∵∠PEA=∠C+∠CFE， ∴∠2=90°+∠α+∠1． 当PD位于PE下方时，    ∵∠1=∠α+∠PFD， ∠2=90°+∠CFE， ∠PFD=∠CFE， ∴∠1-∠2=∠α-90°． 【点睛】考查四边形的外角和与三角形的外角性质，解题关键灵活、综合运用知识． 35．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形． （1）小明一共走了多少米？ （2）这个多边形的内角和是多少度？    【答案】（1）小明一共走了180米；（2）这个多边形的内角和是2880度． 【分析】（1）根据题意易得小明第一次回到出发点A需要向右转：360°÷20°=18（次），继而求得答案； （2）根据多边形内角和公式进行求解即可得. 【详解】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形， ∴360÷20=18，18×10=180（米）， 答：小明一共走了180米； （2）根据题意得： （18﹣2）×180°=2880°， 答：这个多边形的内角和是2880度． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，理解题意，掌握多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式是解题的关键． 压轴满分题八、中心对称图形规律问题 36．（2024·浙江宁波·一模）只用直尺（无刻度）完成下列作图： （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积； （2）如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积； （3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积． 【答案】（1）如图直线l如图所示．见解析；（2）如图直线l如图所示．见解析；（3）直线m如图所示．见解析. 【分析】（1）作正方形对角线所在的直线即为所求． （2）过正方形的中心作直线即可． （3）利用分割，补形，调整的策略解决问题即可． 【详解】（1）如图直线l如图所示． （2）如图直线l如图所示． （3）直线m如图所示． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是学会利用分割，补形，调整的策略解决问题． 37．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 38．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 39．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等； （ 1 ）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组； （ 2 ）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （ 3 ）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 【答案】（1）无数组（2）见解析（3）两直线均过两对角线交点即可 【分析】（1）根据平行四边形是中心对称图形即可得到结论； （2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可． （3）只要过它的对称中心画直线即可满足条件． 【详解】（1）把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组 故答案为无数； （2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE＝BE＝DF＝CF，AM＝CN． （3）这两条直线过平行四边形的对角线的交点． 【点睛】平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形． 40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． 压轴满分题九、平行四边形的翻折压轴题型 41．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 42．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．    (1)试探究四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，若，求的长； (3)如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M． ①试探究的形状，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2) (3)①等腰直角三角形，理由见解析；② 【分析】（1）根据角平分线得，利用平行四边形的性质推出，得，同理得，进而得到，由此得四边形是平行四边形； （2）过点A作于点P，得四边形是平行四边形，推出，设+在中，根据勾股定理求出x即可； （3）① 根据平行四边形的性质得，由此得到，由翻折可得，由此求出，由翻折可知从而证得是等腰直角三角形； ②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，证得和是等腰直角三角形， ，则，在中，根据勾股定理求得，再求出． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由： ∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ 同理： ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点A作于点P，    ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是平行四边形 设则 ∴ 在 ∴ ； （3）①解：是等腰直角三角形，理由： ∵分别平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ 由翻折可知 ∴ ∵ 由 ∵ ∴ 是等腰直角三角形； ②解：过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， 设 ∴ 在 ∴ 在 ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 在 ∴ ∴ ∵ ．    【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． 43．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，证出，得到，再由角平分线性质定理及面积关系得，从而得出，即可得出结论； （2）设与交于点，根据等腰三角的三线合一，证出，得到，再根据平行四边形的判定得到为平行四边形，得到，即可得出结论； （3）根据已知，得到，得到直角，得出，，得到为等腰直角三角形，根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：见图1，连接并延长交的延长线于，   ， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 又为的平分线，且设E点到的距离分别为， 则； ∴， ； ， ， 即， ， ； （2）证明：见图2，延长交于G，设与交于点，    由（1）知，为等腰三角形， 等腰三角的三线合一， ； 在和中， ， ， ， 垂直平分，； 又， ； ； ， 即四边形为平行四边形， ∴， 即； （3）解：同图2， ， ， ， ； 在中， ， ， ， ； 在直角三角形中， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等，等腰三角形，平行四边形的性质，角平分线的性质定理，三角形内角和、勾股定理等知识，采用数形结合的方法构造三角形全等以及熟练掌握等腰三角形三线合一的运用是解题的关键． 44．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，，．    (1)求出对角线的长； (2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，； （2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：   在中，，， ， ， ， 在中，，，，则； （2）解：如图所示：    【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键． 45．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O． (1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； (2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． (3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 　 　（请直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3)8或 【分析】（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论； （2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据即可求解． （3）画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出BC和推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出的面积．即可求出△ABC的面积 【详解】（1）∵ADBC， ∴∠OAF=∠OEB， 在△AOF和△EOB中， ， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴OF=OB， 则AO是△ABF的中线． ∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”； （2）∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”， ∴， ∵△AOF≌△EOB， ∴， ∵△AOB和△AOF是“朋友三角形” ∴， ∴=×4×1=2， ∴四边形CDOE 的面积= =×（4+6）×4-2×2×2=12； （3）分为两种情况：①如图1所示： ∵． ∴AD=BD=AB=4， ∵沿CD折叠A和重合， ∴AB=×8=4， ∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的， ∴ ∴DO=OB，O=CO， ∴四边形DCB是平行四边形， ∴BC=D=4， 过B作BM⊥AC于M， ∵AB=8，∠BAC=30°， ∴BM=AB=4=BC， 即C和M重合， ∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=， ∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8 ②如图2所示： ∵． ∴AD=BD=AB， ∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD=D=AB=×8=4， ∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的， ∴， ∴DO=O，BO=CO， ∴四边形BDC是平行四边形， ∴C=BD=4， 过C作CQ⊥D于Q， ∵C=4，∠DC=∠BAC=30°， ∴CQ=C=2， ∴； 即△ABC的面积是8或8． 故答案为：8或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 压轴满分题十、平行四边形存在性压轴题型 46．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以每秒的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以每秒的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边： （1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵， ∴要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴（舍去）， 综上所述，当时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； 47．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 48．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 49．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）根据三角形外角性质，五边形内角和定理，解答即可． （2）利用同旁内角互补，两直线平行判定解答即可． 本题考查了三角形外角性质，五边形内角和定理，平行线的判定定理，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解法1：∵，， ∴． ∵， ∴． 由多边形的内角和公式可知：， ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解法1∵，， ∴． ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴． 50．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，或 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形与坐标，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质，得出，因为，则点的坐标； （2）依题意，把代入，得出，把代入，得，根据线段关系，分别表达，进行比较，即可作答． （3）结合以为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，即当为对角线时，当为边时，运用平行四边形的性质：对边平行且相等等性质内容进行线段的运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴点的坐标 （2）解：∵，且由（1）得点的坐标 ∴ ∵一次函数的图象分别与线段交于两点， ∴把代入，得出，即 ∴把代入，得出，即 则 ∴； （3）解：存在： 如图所示：连接，即相交于一点，即为 图形观察：点W的横坐标小于C的横坐标 依题意，当为对角线时， ∵以为顶点的四边形是平行四边形 ∴ ∵由（2）知，点的坐标， ∴，即点W的横坐标大于C的横坐标， 与图形表示的信息是矛盾的，故当为对角线的情况舍去； 当为边时，且当N在轴的负半轴时，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点的坐标， ∴点的纵坐标与的纵坐标相等，即为 ∵点是直线上一动点 ∴此时点与点重合的 ∴ 则 ∵当N在轴的负半轴 ∴； ∴，即点W的横坐标大于C的横坐标 ∵ ∴当为边时，且当N在轴的正半轴时，如图所示： 设点N的坐标为 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点的坐标， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴点的纵坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴设的解析式为 把，代入 则 解得 ∴的解析式为 把代入 解得 ∴ ∵点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴ ∴ 综上：或 压轴满分题十一、平行四边形性质和判定的应用 51．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 52．（2024·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 53．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点，，均在格点上，按下列要求画图． (1)在图1中，画出一个，使顶点在格点上； (2)在图2中，画出一条线段，使，且点在格点上． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作线段AD∥BC，且AD=BC，即可得到， （2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC． 【详解】（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，线段BE即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图以及平行四边形的判定，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 54．（23-24八年级下·浙江舟山·期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点． （1）探究与的数量关系，并证明； （2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析． 【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论； （2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°， 理由：设∠CAE=， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∵AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA=45°， ∵CD∥AB， ∴∠DCA=∠CAB=45°+， ∵AC=AD， ∴∠DCA=∠ADC=45°+， ∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2， ∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°； （2）AF=EF+CE， 理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG， ∵CD∥AB， ∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°， ∴CE=EG，AE=BE， 又∵∠CEA=∠GEB=90°， ∴△CEA≌△GEB， ∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE， ∴∠CAE=∠GBE， ∵∠GEB=90°， ∴∠AGB+∠GBE=90°， ∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°， ∴∠DAE=∠AGB， ∴AD∥BG， ∵DG∥AB， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∴AF=GF， ∵GF=EF+GE=EF+CE， ∴AF=EF+CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 55．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 压轴满分题十二、三角形中位线的实际应用 56．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 【解析】略 57．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，与交于点，连接，即为所求； （2）分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）如图所示；    作法：连接，与交于点，连接，即为所求； 证明：∵，M为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵，M为的中点， ∴为的中位线， ∴是的中点， 即为的边上的中线． （2）如图所示；    作法：分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求；如图：    证明：∵四边形为平行四边形， ∴，是平行四边形的对角线， ∴点是，的中点， 又∵为的中位线， ∴， ∴的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即是的中点， ∵， ∴是的边上的高． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，中位线的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 58．（23-24八年级下·浙江舟山·期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE周长的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作． （2）过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． （2）解：过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F． ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE＝BC＝3， ∵DF⊥BC，AH⊥BC， ∴DF∥AH，AD＝DB， ∴BF＝FH， ∴DF＝AH＝2， ∵DT⊥BC，DE∥BC， ∴DE⊥DT， 在Rt△DET中，DE＝3．DT＝2DF＝4， ∴ET＝ ＝5， ∴PE+PD+DE＝DE+PE+PT＝DE+ET＝3+5＝8， ∴△DEP的周长的最小值为8． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 59．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，和都是等边三角形，点E在AC边上，，请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，过点A作BC的垂线； (2)在图2中，过点E作BC的垂线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长DE交AB于F点，连接BE和CF交于O，过点A，O作直线AG，直线AG即为所求； （2）在（1）的基础上，连接GD交CF于H点，过点E，H作直线EH，直线EH即为所求． 【详解】（1）解：如图：直线AG即为所求； 作法：①延长DE交AB于F点， ②连接BE，CF，BE和CF交于O， ③过点A，O作直线AG，直线AG即为所求； （2）解：如图：直线EH即为所求， 作法：①延长DE交AB于F点， ②连接BE，CF，BE和CF交于O点， ③过点A，O作直线AG交BC于G点， ④连接GD交CF于H点，过点E，H作直线EH，直线EH即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 60．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形 (2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； (3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)是，见解析 (3) 【分析】（1）①根据DE∥AB，得出∠EDC＝∠ABM，根据CE∥AM，∠ECD＝∠ADB，根据AM是△ABC的中线，且D与M重合，得出BD＝DC，再证△ABD≌△EDC（ASA）即可； ②由①得△ABD≌△EDC，得出AB＝ED，根据AB∥ED，即可得出结论． （2）如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，先证四边形MDCL为平行四边形，得出ML=DC=BD，可证△BMD≌△MFL（AAS），再证△ABM≌△EMF（ASA），可证四边形ABME是平行四边形； （3）过点D作DG∥BN交AC于点G，根据M为AD的中点，DG∥MN，得出MN为三角形中位线MN＝DG，根据D为BC的中点，得出DG＝BN，可得MN＝BN，可求即可． 【详解】（1）证明：①∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， 在△ABD与△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， 即△ABM≌△EMC； ②由①得△ABD≌△EDC， ∴AB＝ED， ∵AB∥ED， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）成立．理由如下： 如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L， ∵AD∥EC，ML∥DC， ∴四边形MDCL为平行四边形， ∴ML=DC=BD， ∵ML∥DC， ∴∠FML=∠MBD，   ∵AD∥EC， ∴∠BMD=∠MFL，∠AMB=∠EFM, 在△BMD和△MFL中 ， ∴△BMD≌△MFL（AAS）， ∴BM=MF , ∵AB∥ME， ∴∠ABM=∠EMF， 在△ABM和△EMF中， ∴△ABM≌△EMF（ASA）， ∴AB＝EM， ∵AB∥EM， ∴四边形ABME是平行四边形； （3）解：过点D作DG∥BN交AC于点G， ∵M为AD的中点，DG∥MN， ∴MN＝DG， ∵D为BC的中点， ∴DG＝BN， ∴MN＝BN， ∴， 由（2）知四边形ABME为平行四边形， ∴BM＝AE， ∴． 【点睛】本题考查三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质，掌握三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质是解题关键． 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）化简：（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：令， 则 ， ∴，即， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握使等式成立的未知数的值，是方程的解，以及判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 根据，得到方程有一个根为：，即可得到；②根据有两个不相等的实根，得到，进而可以得到，即可得到方程必有两个不相等的实根；③根据是方程的一个根，得到，分和两种情况讨论，进行判断；④根据求根公式，进行变形判断即可． 【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根， ∴，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则：， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根，则：， ， 当时：； 当时，不一定等于 0 ，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④； 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和． 由三角形外角的性质，多边形内角和，转化为五边形内角和，即可列式求解， 【详解】解： ． ∴． 故选：C． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于点H，点D，E，F分别是边，，的中点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行线的性质，先证明，，，，，，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：点，，分别是，，的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故C错误； ∵，， ∴，故D错误； ∵，， ∴，故B错误； 故选A 5．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确求出长方形纸条的长是解题关键．如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为， 故选：C． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 7．（2025八年级下·浙江杭州·模拟预测）对于实数a，b，定义运算“*”：，若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键．首先利用因式分解法解该一元二次方程，然后利用新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：解方程，可得或2， 是一元二次方程的两个根，且， ， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是，中位数是，则的值为 ． 成绩（分） 30 25 20 15 人数 2 1 【答案】 【分析】本题考查根据平均数求参数，求中位数和众数，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，进而求出中位数和众数，计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴成绩为20分的人数最多，故， 将所有数据排序后，第5个和第6个数据分别为， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ． 【答案】，，． 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键． 设，把方程转为，求出，再代入，求出的值． 【详解】解：， ， 设，原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ，， 当时，， ， 原方程的解为：，，． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题： 如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B． （1）则 度； （2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别计算出正九边形的外角和内角度数，进而求得和的度数，即可判断出，根据三角形的内角和为可得的度数； （2）连接，易得，证明是等边三角形，可判断，整理后即可得到a，b，c满足的数量关系． 【详解】解：（1）正九边形每个外角的度数为：， 正九边形每个内角的度数为：， 即：，， 多边形是正九边形， ， ， ， ． 故答案为：60； （2）连接，由图形可知：， 由（1）得：，， 为等边三角形， ， 多边形是正九边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，，， ． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式乘法法则计算，再合并同即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． （2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）且；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据这个一元二次方程根的判别式大于或等于0建立不等式，解不等式求出的取值范围，再结合一元二次方程的定义、二次根式的被开方数为非负数即可得； （2）先根据一元二次方程根的判别式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得、的值，然后利用完全平方公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个一元二次方程根的判别式为， 整理得：， 解得， 又∵方程是一元二次方程，且的被开方数为非负数， ∴，且， ∴且， 综上，的取值范围为且． （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴这个一元二次方程根的判别式为， 解得， 又∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）， 所以的值为． 13．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 由垂直得到，然后可证明，得到，然后证明，再根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图在中，．点从点B出发以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点A运动，当其中一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设运动时间为ts． (1)用含t的代数式分别表示，的长并直接写出t的取值范围 (2)t为何值时，的面积为？ (3)t为何值时，点P，Q之间的距离为？ 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式，并求出的范围即可； （2）根据的面积为，列出方程进行求解即可； （3）利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴点先到达点，两点运动停止，， ∴； （2）解：由题意，得：， 解得：或； （3）解：∵，，， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（75题12个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分母有理化 1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，再求值：，其中 2．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）观察下列运算过程： ； ； ．．．．．． 请运用上面的运算方法计算： 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________________；比较大小：_____________；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数、满足：，则_______________； (3)已知，求的值． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如： 的有理化因式是 的有理化因式是 ． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如： 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)把下列式子分母有理化： (3)化简： 5．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）先阅读，后解答： ； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是___________；的有理化因式是___________； (2)将下列式子进行分母有理化：①___________；②___________； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： (4)比较和的大小，并说明理由． 压轴满分题二、二次根式的规律问题 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）观察与思考：①；②；③． 式①验证：； 式②验证：． (1)仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程； (2)猜想：_____； (3)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 8．（24-25八年级下·浙江衢州·阶段练习）观察下列等式：回答问题： ① ② ③， … (1)根据上面三个等式的信息，猜想； (2)请你找出其中规律，并将第个等式写出来． 9．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）观察下列等式： ①；②；③；…… 利用你观察到的规律计算：． 压轴满分题三、根的判别式压轴题型 11．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 12．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)是一元二次方程一个实数根，求m的值及方程的另一根． 13．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）方程是我们将现实问题转化为数学问题的重要模型之一，利用方程的基本性质，我们可以解决一些较为复杂的代数证明问题．下面是两个关于x的一元二次方程：，，其中． (1)求证：这两个方程都有两个不相等的实数根； (2)若p和q分别是和的其中一个实数根，请求证：． 14．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为2，则 ，另一个根为 ． (2)当时，方程根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．不存在实数根 (3)若方程两个相等的实数根是整数，请写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 15．（24-25八年级下·浙江湖州·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解方程：． 压轴满分题四、根据一元二次方程根的情况求参数 16．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 18．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． (1)若，求x的值； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 19．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 压轴满分题五、二次根式的综合应用 21．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）怀仁市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地的长为的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 22．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小玲同学的长方形的参赛作品． (1)通过计算，判断小玲的作品是否符合参赛标准． (2)若在参赛作品周围贴上金色彩条，使参赛作品更漂亮，求所需彩条的长度．（结果保留根号） 23．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）某社区计划打造一个休闲区域，有块形状为长方形的空地被规划使用．长为米，宽为米，社区打算在长方形空地中修建两个形状大小相同的长方形花坛来美化环境（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)请你求出长方形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成为步道，步道供居民日常散步等活动．现在要在步道上铺上造价为80元/平方米的地砖，请问要铺完整个步道，购买地砖需要花费多少元？ 24．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案． 欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”） 25．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 压轴满分题六、一元二次方程综合的应用 26．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 27．（2025·浙江绍兴·一模）某商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． (1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某旗舰店该商品的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出4件，为了推广宣传，尽量减少库存，决定降价促销，若使销售该商品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 28．（2024·浙江湖州·一模）合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 29．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 30．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 压轴满分题七、多边形外角和的实际应用 31．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）求下列图中的的值． (1) (2) 32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 33．（23-24八年级下·浙江金华·期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 34．（23-24八年级下·浙江衢州·阶段练习） 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α． （1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）； （2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由； （3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）    35．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形． （1）小明一共走了多少米？ （2）这个多边形的内角和是多少度？    压轴满分题八、中心对称图形规律问题 36．（2024·浙江宁波·一模）只用直尺（无刻度）完成下列作图： （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积； （2）如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积； （3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积． 37．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 38．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 39．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等； （ 1 ）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组； （ 2 ）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （ 3 ）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 压轴满分题九、平行四边形的翻折压轴题型 41．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 42．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．    (1)试探究四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，若，求的长； (3)如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M． ①试探究的形状，并说明理由； ②若，求的长． 43．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 44．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，，．    (1)求出对角线的长； (2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 45．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O． (1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； (2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． (3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 　 　（请直接写出答案）． 压轴满分题十、平行四边形存在性压轴题型 46．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以每秒的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以每秒的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 47．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 48．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 49．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 50．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴满分题十一、平行四边形性质和判定的应用 51．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 52．（2024·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 53．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点，，均在格点上，按下列要求画图． (1)在图1中，画出一个，使顶点在格点上； (2)在图2中，画出一条线段，使，且点在格点上． 54．（23-24八年级下·浙江舟山·期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点． （1）探究与的数量关系，并证明； （2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论． 55．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 压轴满分题十二、三角形中位线的实际应用 56．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 57．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 58．（23-24八年级下·浙江舟山·期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE周长的最小值． 59．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，和都是等边三角形，点E在AC边上，，请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，过点A作BC的垂线； (2)在图2中，过点E作BC的垂线； 60．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形 (2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； (3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值． 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）化简：（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于点H，点D，E，F分别是边，，的中点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知，则化简的结果为 ． 7．（2025八年级下·浙江杭州·模拟预测）对于实数a，b，定义运算“*”：，若是一元二次方程的两个根，则 ． 8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是，中位数是，则的值为 ． 成绩（分） 30 25 20 15 人数 2 1 9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题： 如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B． （1）则 度； （2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ． 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1) (2) 12．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． （2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 13．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图在中，．点从点B出发以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点A运动，当其中一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设运动时间为ts． (1)用含t的代数式分别表示，的长并直接写出t的取值范围 (2)t为何值时，的面积为？ (3)t为何值时，点P，Q之间的距离为？ 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$