专题09 空间几何体的结构特征、直观图、表面积及体积4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题09 空间几何体的结构特征、直观图、表面积及体积 4种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02立体图形的直观图 题型03空间几何体的表面积 题型04空间几何体的体积 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（22-23高二上·四川乐山·期中）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥ 【答案】A 【分析】直接利用棱柱的定义判断即可． 【详解】由棱柱的定义可知：①③⑤满足棱柱的定义． 故选:A. 2．（23-24高一下·四川泸州·期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 【答案】AC 【分析】根据多面体和旋转体的定义和特征即可一一判断. 【详解】对于A，根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确； 对于B，只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，才是正四棱锥，故B错误； 对于C，根据棱台的定义知，底面边数至少为3，故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确； 对于D，若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误. 故选：AC. 3．（22-23高一下·四川成都·期中）下列几何体中，面的个数最小的是（    ） A．四面体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】A 【分析】根据棱柱棱锥得结构特征逐一判断即可. 【详解】四面体有个面， 四棱锥有个面， 三棱柱有个面， 三棱台有个面， 所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体. 故选：A. 4．（19-20高一下·四川成都·期中）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 【答案】C 【分析】由球体截面的性质，即可确定正确选项. 【详解】各个截面都是圆，几何体中只有球体的任意截面都是圆， 这个几何体一定是球体， 故选：C． ( 题型02 ) 立体图形的直观图 5．（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 6．（22-23高一下·四川广安·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为 . 【答案】12 【分析】画出原图，可得，再求面积即可. 【详解】如图，可得，，，， 则原的面积为. 故答案为：12. 7．（20-21高一下·四川雅安·期中）如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则求出原图形平行四边形的高和一边长，即可求出结果. 【详解】由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以，对应原图形平行四边形的高为：， 所以原图形的面积为：. 故答案为： ( 题型03 ) 空间几何体的表面积 8．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    (1)求该漏斗的表面积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； (3)将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 【答案】(1)（）； (2)（米） (3)米或米 【分析】（1）利用正方体和正四棱锥侧面积公式求漏斗的表面积； （2）将漏斗表面展成平面，在平面中利用两点连线距离最短求解； （3）用斜二测画法作出直观图，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由题意，该漏斗的表面积（）； （2）将漏斗表面展开，如图所示：    由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作交延长线于点，连接， 则，， 在中，， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）； （3）正方形的斜二测画法有以下两种：    左图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 右图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 综上所述，米或米. 9．（19-20高一下·四川成都·期中）底面半径为2，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱). （1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数. （2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值. 【详解】（1）由题意： . （2） ，， 当时，. 10．（23-24高一下·四川成都·期中）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】求出圆台的高后，由体积公式计算． 【详解】如图，是扇环的圆心， 长为，长为， 由已知，所以，从而，即为圆台母线长， 所以圆台的高为， 体积为 故答案为：． 11．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为 .    【答案】 【分析】需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径，进而结合球的面积公式求解即可. 【详解】由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图： 正外接圆半径， 正四面体的高， 令正四面体的外接球半径为， 在中，，解得， 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为，连接..交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径，因为点..均在以点B为球心的球面上， 所以， 设勒洛四面体内切球半径为，则由图得， 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为， 则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为. 故答案为：. 思路点睛：本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，记住正四面体的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解. 12．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 13．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球体、圆柱体体积公式和球体表面积，圆柱体侧面积公式可得答案. 【详解】由球的半径为R，则圆柱体的高为R 此鼎主体部分的容积约为： 此鼎主体部分外表面积约为： 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为： 故选：D 14．（23-24高一下·四川广安·期中）已知球与圆台的底面､侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为 . 【答案】/ 【分析】设圆台上下底面直径分别为，作底面圆得得到，内切球的半径为，求出球的表面积、圆台的侧面积可得答案. 【详解】如图，设圆台上下底面的圆心为， 设圆台上下底面直径分别为， ， 作底面圆，交于点，则， 所以，，可得，， ，所以， 所以内切球的半径为， 球的表面积为， 圆台的侧面积为， 则球表面积与圆台侧面积之比为. 故答案为：. ( 题型04 ) 空间几何体的体积 15．（23-24高一下·四川广安·期中）如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面积； （2）将四棱台补成三棱锥，结合比例关系分析可知，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， 分别取中点，连接， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的表面积 . （2）延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 16．（22-23高一下·四川广安·期中）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有 个面，其体积为 . 【答案】 26 【分析】由图形确定正方形和正三角形个数即可，由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，分别求出大小正方体及三棱柱的体积，即可得解. 【详解】将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分， 则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形； 所以该半正多面体共有个面， 如图所示， 因为半正多面体的棱长为1，所以，又为等腰直角三角形， 故，所以正方体棱长为， 由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的， 其中三棱柱的高1，底面为斜边为的等腰直角三角形， 小正方体的棱长为，大正方体的棱长为， 所以所求体积 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，是解决本题的关键. 17．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（    ） A． B．30 C． D． 【答案】C 【分析】、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，由勾股定理计算即可求出. 【详解】在中，根据正弦定理，可得， 又，所以．如图： 设为的外心，则为的中点，且， 由于球的表面积为，设球的半径为，则，解得或（舍去）， 所以球的半径，， 当、、三点共线且平面和点位于点的异侧时，， 三棱锥的体积最大，此时. 故选：C 1．（22-23高二上·四川内江·期中）如图，在底面边长为4，高为5的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ． 【答案】 【分析】结合图形，由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可． 【详解】由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作交于点D，由题意可知，，，，所以，即，，解得，结合可知 故答案为：． 2．（20-21高二上·四川达州·期中）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，底面圆的半径等于，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用圆锥的侧面展开图可求出答案. 【详解】将圆锥展开， 底面周长：， 圆心角， ， 最短路径： 故选：A 3．（23-24高二上·四川南充·期中）水平放置的的直观图如图所示，是中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（   ） A．最短的是AD B．最短的是AC C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由直观图与原图的关系，结合条件，即可判断 【详解】因为平行于轴，所以在中，， 又因为是中边的中点，所以是的中点， 所以，故A正确. 故选：A. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 空间几何体的结构特征、直观图、表面积及体积 4种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02立体图形的直观图 题型03空间几何体的表面积 题型04空间几何体的体积 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（22-23高二上·四川乐山·期中）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥ 2．（23-24高一下·四川泸州·期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 3．（22-23高一下·四川成都·期中）下列几何体中，面的个数最小的是（    ） A．四面体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 4．（19-20高一下·四川成都·期中）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 ( 题型02 ) 立体图形的直观图 5．（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23高一下·四川广安·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为 . 7．（20-21高一下·四川雅安·期中）如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 . ( 题型03 ) 空间几何体的表面积 8．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    (1)求该漏斗的表面积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； (3)将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 9．（19-20高一下·四川成都·期中）底面半径为2，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱). （1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数. （2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值. 10．（23-24高一下·四川成都·期中）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为 . 11．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为 .    12．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 13．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·四川广安·期中）已知球与圆台的底面､侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为 . ( 题型04 ) 空间几何体的体积 15．（23-24高一下·四川广安·期中）如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 16．（22-23高一下·四川广安·期中）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有 个面，其体积为 . 17．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（    ） A． B．30 C． D． 1．（22-23高二上·四川内江·期中）如图，在底面边长为4，高为5的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ． 2．（20-21高二上·四川达州·期中）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，底面圆的半径等于，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川南充·期中）水平放置的的直观图如图所示，是中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（   ） A．最短的是AD B．最短的是AC C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$