专题7.4 幂的运算压轴题综合测试卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024）

第7章 幂的运算压轴题综合测试卷 【苏科版2024】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·湖南邵阳·自主招生）已知5x=m，5y=n，则52x+3y等于(    ) A． B． C．6mn D．m2n3 2．（3分）计算(-2)1999+(-2)2000等于(   ) A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999 3．（3分）已知a与b互为相反数且都不为零，n为正整数，则下列两数互为相反数的是(       ) A．a2n－1与－b2n－1 B．a2n－1与b2n－1 C．a2n与b2n D．an与bn 4．（3分）（24-25七年级·福建厦门·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（3分）（24-25七年级·山西·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级·重庆沙坪坝·开学考试）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律： ，… ，… ，，，，… 其中n为正整数，以此类推： ①；②：③当时，；④当时， ．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）（24-25七年级·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·山东济南·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 12．（3分）（24-25七年级下·四川巴中·期中）已知，则= ． 13．（3分）（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 14． （3分）（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 15．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 16．（3分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·上海金山·期中）已知：求证： 18．（6分）①已知 求的值， ②若值． 19．（8分）阅读下面的文字,回答后面的问题： 求的值. 解：令 将等式两边同时乘以5得到: ②-①得: ∴即 问题:(1)求的值； (2)求的值. 20．（8分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 21．（10分）（24-25七年级·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 22．（10分）（24-25七年级·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 23．（12分）（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______． (2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由． 24．（12分）（2021·四川内江·一模）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题． (1)等比数列3，6，12，的公比为　　，第4项是　　． (2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项　　（用和的代数式表示）． (3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项． (4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 幂的运算压轴题综合测试卷 【苏科版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·湖南邵阳·自主招生）已知5x=m，5y=n，则52x+3y等于(    ) A． B． C．6mn D．m2n3 【答案】D 【详解】试题分析：根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆用，可知52x+3y=52x·53y=（5x）2·（5y）3= m2n3. 故选：D. 点睛：此题主要考查了同底数幂相乘和幂的乘方，解题时直接逆用同底数幂相乘和幂的乘方的性质，然后可整体代入求解. 2．（3分）计算(-2)1999+(-2)2000等于(   ) A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999 【答案】D 【详解】【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999×(-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后得出答案. 【详解】(-2)1999+(-2)2000 =(-2)1999+(-2)1999×(-2)1 =(-2)1999×(1-2) =(-2)1999×(-1) =21999 故选：D． 【点睛】此题考核知识点：同底数幂乘法公式am∙an=am+n的运用. 解题的关键：借助公式，灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果． 3．（3分）已知a与b互为相反数且都不为零，n为正整数，则下列两数互为相反数的是(       ) A．a2n－1与－b2n－1 B．a2n－1与b2n－1 C．a2n与b2n D．an与bn 【答案】B 【详解】已知a与b互为相反数且都不为零，可得a、b的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A、C相等，选项B互为相反数，选项D可能相等，也可能互为相反数，故选B. 4．（3分）（24-25七年级·福建厦门·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 5．（3分）（24-25九年级·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 6．（3分）（24-25七年级·山西·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算. 【详解】， 故选：A. 【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键. 7．（3分）（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： ∵， ∴原式=, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．（3分）（24-25七年级·重庆沙坪坝·开学考试）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律： ，… ，… ，，，，… 其中n为正整数，以此类推： ①；②：③当时，；④当时， ．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意知，将代入，可判断①的正误；由，，计算求解，可判断②的正误；由当时，，与矛盾，可判断③的正误；由，记，则，，记，则，，即，，代入计算求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，，，… ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，… ∴， ∴ ，②正确，故符合要求； 当时，， ∵， ∴③错误，故不符合要求； 当时，，， ∴，，，，…，，， ∴， 记，则， ∴， ∴， 记，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于根据题意推导规律． 9．（3分）（24-25七年级·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 10．（3分）（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·山东济南·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 12．（3分）（24-25七年级下·四川巴中·期中）已知，则= ． 【答案】8． 【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可． 【详解】解：， 根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：， 即， ， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程． 13．（3分）（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 14．（3分）（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 15．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 【答案】1 【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键． 16．（3分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解． 【详解】∵，3不是10000的公约数， ∴ 则b=0 ∴ ∵整数满足 ∴符合题意 ∴a=-2，b=0，c=3，d=4 ∴=-8+0+6+4=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·上海金山·期中）已知：求证： 【答案】证明见解析 【分析】要证明，就要证明，即，因x、y为指数，故运用同底数幂乘法让左右两边同时乘以，然后再利用已知等式进行变形转化即可得到结果. 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，（x、y均不可能为0） ∴，即. 【点睛】本题考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的应用，将要证明的等式进行转化，出现指数相加、相乘是解题的关键. 18．（6分）①已知 求的值， ②若值． 【答案】①;②56 . 【分析】①根据幂的乘方、同底数幂的运算法则计算，再代入计算； ②根据幂的乘方及逆运算，把原式化简为含x2n的形式，再代入计算． 【详解】解：①a2•（am）n=a2•amn=a2•a2=a4， 当a= 时，原式=（）4=； ②（-3x3n）2-4（-x2）2n=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2， 当x2n=2时，原式=9×23-4×22=72-16=56． 【点睛】此题主要考查幂的乘方、同底数幂的运算，要熟练且灵活掌握． 19．（8分）阅读下面的文字,回答后面的问题： 求的值. 解：令 将等式两边同时乘以5得到: ②-①得: ∴即 问题:(1)求的值； (2)求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答. 【详解】解：（1）令 将等式两边同时乘以2得到: ②-①得: ∴即 （2） 令 将等式两边同时乘以3得到: ②-①得: 【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键. 20．（8分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 21．（10分）（24-25七年级·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 22．（10分）（24-25七年级·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解： ， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 23．（12分）（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______． (2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①2；②2；③81 (2) 【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可； （2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴． 故答案为：2； ②∵， ∴． 故答案为：2； ③∵， ∴．　　 故答案为：81． （2）解：∵，，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键． 24．（12分）（2021·四川内江·一模）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题． (1)等比数列3，6，12，的公比为　　，第4项是　　． (2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项　　（用和的代数式表示）． (3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项． (4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 【答案】(1)2，24 (2) (3)第1项是5，第4项是40 (4)1536 【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6求出公比为2，再根据第三项是12求出第四项为24； （2）发现的q的幂指数为项数减1，第n项； （3）用第二项的10除以公比2得第一项是5，第四项为； （4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，根据第三项为12，第六项为96列方程组求出第一项为3，公共比为2，再求第十项是1536． 【详解】（1）根据题意知公比，第4项是， 故答案为：2，24； （2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，．由此可得第项， 故答案为：； （3）根据题意知， 第1项为，第4项为； （4）设这个等比数列的第一项为，公比为q， 根据题意知， ，即， 则， 这个等比数列的第10项为． 【点睛】本题考查了等比数列的概念，理解等比数列的概念，熟练运用等比数列的概念和性质进行计算是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$