第16章 河南中招素养提升专练(一)（作业课件）-100分闯关2023-2024学年八年级数学下册（人教版）河南

中考素养提升专练(一) 数学 八年级下册 人教版 100分闯关 －1 1 m2＋3n2 2mn 3 3≤a≤7 5或7 1．已知： eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＞2 eq \r(\f(1,2)×\f(1,3)) ；6＋3＞2 eq \r(6×3) ；1＋ eq \f(1,5) ＞2 eq \r(1×\f(1,5)) ；7＋7＝2 eq \r(7×7) . (1)观察上面的式子，请你猜想a＋b与2 eq \r(ab) (a≥0，b≥0)的大小关系，并说明理由； (2)请利用上述结论解决下列问题：如图，某同学要做一个面积为800 cm2，对角线互相垂直的四边形风筝，则用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 解：(1)a＋b≥2 eq \r(ab) (a≥0，b≥0).理由如下：∵a＋b－2 eq \r(ab) ＝( eq \r(a) )2＋( eq \r(b) )2－2 eq \r(a) · eq \r(b) ＝( eq \r(a) － eq \r(b) )2≥0，∴a＋b≥2 eq \r(ab) 　(2)设对角线的长分别为a cm，b cm，由对角线互相垂直，四边形面积可表示为 eq \f(1,2) ab，则 eq \f(1,2) ab＝800，∴ab＝1600，∵a＋b≥2 eq \r(ab) ＝2× eq \r(1600) ＝80，∴所以用来做对角线的竹条至少要用80 cm 2．像( eq \r(5) ＋ eq \r(2) )( eq \r(5) － eq \r(2) )＝3， eq \r(a) · eq \r(a) ＝a(a≥0)，( eq \r(b) ＋1)( eq \r(b) －1)＝b－1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， eq \r(3) 和 eq \r(3) 、 eq \r(2) ＋1与 eq \r(2) －1、2 eq \r(3) ＋3 eq \r(5) 与2 eq \r(3) －3 eq \r(5) 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)计算：① eq \f(1,\r(2)) ＝_________，② eq \f(1,\r(3)－1) ＝_____________； (2)计算： eq \f(1,2－\r(3)) － eq \f(2,\r(3)－1) ； (3)已知有理数a，b满足 eq \f(a,\r(3)＋2) ＋ eq \f(2b,\r(3)－1) ＝2 eq \r(3) －1，则a＝_______，b＝______． eq \f(\r(3)＋1,2) eq \f(\r(2),2) 解：(2)原式＝ eq \f(2＋\r(3),（2－\r(3)）（2＋\r(3)）) － eq \f(2（\r(3)＋1）,（\r(3)－1）（\r(3)＋1）) ＝2＋ eq \r(3) －( eq \r(3) ＋1)＝2＋ eq \r(3) － eq \r(3) －1＝1 3．【阅读学习】 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2 eq \r(2) ＝(1＋ eq \r(2) )2.善于思考的小明进行了以下探索： 设a＋b eq \r(2) ＝(m＋n eq \r(2) )2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b eq \r(2) ＝m2＋2n2＋2 eq \r(2) mn. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把a＋b eq \r(2) 的式子化为平方式的方法． 【解决问题】 (1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b eq \r(3) ＝(m＋n eq \r(3) )2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝_______________，b＝______________； (2)利用(1)的结论，找一组正整数a，b，m，n(m≠n)，使得a＋b eq \r(3) ＝(m＋n eq \r(3) )2成立，且a＋b＋m＋n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值； (3)若a＋6 eq \r(5) ＝(m＋n eq \r(5) )2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 解：(2)a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a＋b＋m＋n的值最小　(3)(m＋n eq \r(5) )2＝m2＋2 eq \r(5) mn＋5n2＝a＋6 eq \r(5) ，∴a＝m2＋5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a，m，n均为正整数，∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1.当m＝1，n＝3时，a＝12＋5×32＝46.当m＝3，n＝1时，a＝32＋5×12＝14.综上，a的值为14或46 4．(2023·洛阳一模)阅读下列解题过程： 例：若代数式 eq \r(（a－1）2) ＋ eq \r(（a－3）2) 的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a－1|＋|a－3|， 当a＜1时，原式＝(1－a)＋(3－a)＝4－2a＝2，解得a＝1(舍去)； 当1≤a≤3时，原式＝(a－1)＋(3－a)＝2，符合题意； 当a＞3时，原式＝(a－1)＋(a－3)＝2a－4＝2，解得a＝3(舍去). 所以，a的取值范围是1≤a≤3. 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法，解答下列问题： (1)当2≤a≤5时，化简： eq \r(（a－2）2) ＋ eq \r(（a－5）2) ＝_______； (2)若等式 eq \r(（3－a）2) ＋ eq \r(（a－7）2) ＝4成立，则a的取值范围是_________； (3)若 eq \r(（a＋1）2) ＋ eq \r(（a－5）2) ＝8，求a的取值． 解：(3)原方程可化为：|a＋1|＋|a－5|＝8，当a＜－1时，∴a＋1≤0，a－5＜0，∴原方程化为：－a－1－(a－5)＝8，解得a＝－2，符合题意；当－1＜a＜5时，a＋1＞0，a－5＜0，∴原方程化为(a＋1)－(a－5)＝8，∴此方程无解，故－1＜a＜5不符合题意；当a≥5时，a＋1＞0，a－5≥0，∴原方程化为a＋1＋a－5＝8，∴a＝6，符合题意．综上所述，a＝－2或a＝6 5．【综合与实践】 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方公式化成另一式子的平方，如：4＋2 eq \r(3) ＝(1＋3)＋2 eq \r(1×3) ＝12＋2×1× eq \r(3) ＋( eq \r(3) )2＝(1＋ eq \r(3) )2，5－2 eq \r(6) ＝(3＋2)－2 eq \r(3) × eq \r(2) ＝( eq \r(3) )2－2× eq \r(3) × eq \r(2) ＋( eq \r(2) )2＝( eq \r(3) － eq \r(2) )2. 由此，可将一些被开方数为无理数的式子化简，如： eq \r(4＋2\r(3)) ＝ eq \r(（1＋\r(3)）2) ＝1＋ eq \r(3) ， eq \r(5－2\r(6)) ＝ eq \r(（\r(3)－\r(2)）2) ＝ eq \r(3) － eq \r(2) . (1)请你依上述方法将4－2 eq \r(3) 化成一个式子的平方，并直接写出 eq \r(4－2\r(3)) 的值； (2)化简： eq \r(4－2\r(3)) ＋ eq \r(8－2\r(15)) ＋ eq \r(12－2\r(35)) ＋ eq \r(16－6\r(7)) ； (3)若 eq \r(a＋2\r(6)) ＝ eq \r(m) ＋ eq \r(n) ，且a，m，n均为正整数，则a＝____________． 解：(1)4－2 eq \r(3) ＝3－2 eq \r(3) ＋1＝( eq \r(3) )2－2× eq \r(3) ×1＋12＝( eq \r(3) －1)2， eq \r(4－2\r(3)) ＝ eq \r(（\r(3)－1）2) ＝ eq \r(3) －1　(2)原式＝ eq \r(（\r(3)－1）2) ＋ eq \r(（\r(5)－\r(3)）2) ＋ eq \r(（\r(7)－\r(5)）2) ＋ eq \r(（3－\r(7)）2) ＝ eq \r(3) －1＋ eq \r(5) － eq \r(3) ＋ eq \r(7) － eq \r(5) ＋3－ eq \r(7) ＝2　(3)∵ eq \r(a＋2\r(6)) ＝ eq \r(m) ＋ eq \r(n) ，∴a＋2 eq \r(6) ＝( eq \r(m) ＋ eq \r(n) )2，∴a＋2 eq \r(6) ＝m＋2 eq \r(mn) ＋n，∴a＝m＋n，mn＝6，∵a，m，n都是正整数，∴m＝1，n＝6或m＝2，n＝3或m＝3，n＝2或m＝6，n＝1，∴a＝m＋n＝5或7.故答案为：5或7 $$