精品解析：广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高二下学期第一次检测（3月）数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次检测 高二年级 数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 乘积展开后的项数有（ ） A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法， 从第二个括号中选一个字母有种方法， 按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项. 故选：C.. 2. 数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意质点需向右移动次，向左移动次，根据独立重复试验的概率公式计算可得. 【详解】依题意此实验满足重伯努利实验，设向左移动次数为，则， 从原点出发，共移动次，最后质点位于，则需向右移动次，向左移动次， 所以质点位于的位置的概率为. 故选：D 3. 袋子中有大小和材质完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球，甲、乙两人先后从中不放回各随机摸出1个球，则乙摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乙摸到红球的情况有两种：甲摸到红球，乙摸到红球；甲摸到白球，乙摸到红球，再由互斥事件的概率公式求得结果. 【详解】袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球､3个白球， 甲乙先后从中不放回地各随机摸出1个球，乙摸到红球的情况有两种： 甲摸到红球，乙摸到红球，概率为：， 甲摸到白球，乙摸到红球，概率为：， 所以乙摸到红球的概率为． 故选：A 4. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”， 依题意，， 而，解得， 而， 则，而，解得. 故选：B 5. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答. 【详解】由题意可知：， 故选：A 6. 为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ） A. 144种 B. 162种 C. 216种 D. 288种 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可. 【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种， 第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组， 剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法； 第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法， 分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学， 从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法. 故这三名同学选取图书的不同情况有种. 故选：A. 7. 如图，直线与曲线交于两点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是（ ） A. 只有一个极值点 B. 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为 D. 的极小值点大于极大值点，且极大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用导数得到函数的单调性，结合极值点和极值的定义，即可求解. 【详解】因为直线与曲线相交于点，则的横坐标分别为， 所以有两个解， ，且根据图象，还有一解为，设为n,， 当时，；当时，， 又因为，可得， 所以，所以， 当时，，当时，； 所以当是函数的极大值点，且， 当时，，当时，， 所以当是函数也有极小值点，且满足， 所以的极小值点大于极大值点，且极大值为. 故选： D. 8. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求面积，判断C、D. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 另椭圆的上焦点，所以可以看成， 当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误； 当直线与第一象限半圆相切时，，则， 由图，可得的取值范围为，故C正确； 根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得， 且，则，， 则， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知确定上下两部分对应曲线的性质，再应用数形结合、直线与曲线的位置情况求参数和三角形面积为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，解得，所以AB选项正确. ，所以 ，C选项错误. ， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 10. 已知是函数的极值点，则（ ） A. B. 方程有2个不等实数根 C. 函数与至多有两个交点 D. 在时都有 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，根据极值点的性质求出的值，再分类讨论，分析函数的性质，进而判断各个选项的正误. 【详解】对求导，可得： 因为是函数的极值点，所以，即，也就是，解得. 当时，，在和时，，函数单调递增； 在时，，函数单调递减，是极值点. 当时，，在和时，，函数单调递增； 在时，，函数单调递减，是极值点.所以，A选项正确. 当时，，令，即，，解得或，有个不等实数根. 当时，，令，即，， 因为恒成立，所以方程的解为，有个实数根.所以B选项错误. 当时，，是三次函数，是周期函数，它们的图象可能有多个交点，例如当足够大时，的值会不断增大，而的值在之间波动，它们会多次相交，所以C选项错误. 当时，. 当时，,在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以,,此时恒成立. 当时，，在和上单调递增，在上单调递减.则是极大值点，是极小值点. 因为，，且，，所以.所以D选项正确. 故选：AD. 11. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（ ） A. 将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B. 将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D. 小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项列举法求出房间相邻的情况，由古典概型与对立事件的概率公式求解；B项给出取6个房间且两两不邻的例子，由房间均与个房间相邻，分析取个房间必有相邻情况；C项列举可得；D项先列举从到达的情况求出相应条件概率，再利用全概率公式写出递推关系，构造数列求通项进而求具体概率即可. 【详解】A项，任取两个房间，相邻有种情况：， 所以任取两个房间不相邻的概率为，故选项A正确； B项，当时， 可将小球放在，此时房间两两不相邻； 当时，房间均与个房间相邻， 则从个房间任意抽走个房间后，总有相邻的房间，所以，故选项B正确； C项，小球从房间出发，次移动后到达房间有种路径： ；；； ；；； ，故选项C错误； D项，设小球从房间经过次移动到达房间的概率为，由题意可知为偶数， 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 所以，小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一， 且当小球经过次移动到达房间时，第次移动后必在房间之一， 小球从房间或经过次移动到达房间的概率均为； 小球从房间经过次移动到达房间的概率均为； ， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则， 所以. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是通过列举分析得出小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一，进而分类分析应用全概率公式得到概率递推关系. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】计算出选出的男生人数有人及人的概率即可得. 【详解】设选中的男生人数为， 则. 故答案为：. 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，则求数列的前2025项和为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件找出数列的通项公式，再得出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的前2025项和. 【详解】已知“三角垛”最上层有个球，即；第二层有个球，即；第三层有个球，即. 通过观察可得（），那么有： 将以上个式子相加可得： 因为，所以. 根据等差数列求和公式可得（）.  得.  可得： 故答案为：. 14. 与函数的解析式和值域相同，定义域不同的函数有___________个. 【答案】 【解析】 【分析】解方程，设，函数定义域为，可知，分类讨论集合M的元素个数，进而分析求解. 【详解】由题意知， 令，解得或； 令，整理可得，解得或； 令，整理可得，解得或； 设，函数定义域为， 则， 若定义域有三个元素时：； 若定义域有四个元素时；； 若定义域有五个元素时；； 若定义域有六个元素时；； 若定义域有7个元素时.； 所以解析式和值域相同，定义域不同的函数有. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于讨论定义域的元素个数以及题干中不同的函数理解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体中，为的中点，为的中点，. （1）证明：四棱锥为阳马； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面距离即可. 【小问1详解】 因为为的中点，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 又平面，平面， 所以，所以四边形为矩形. 因为， 所以，所以，所以. 又平面，，所以， 又，平面， 所以平面， 所以四棱锥为阳马. 【小问2详解】 以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取得， 所以点到平面的距离. 16. 把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. （1）求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得. 【小问1详解】 设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； 【小问2详解】 （i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程； （2）证明：无极值点． 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，由两直线垂直其斜率之积为来得到方程，从而可求解； （2）利用导函数的导数分析其单调性和最小值，再分析最小值函数，求其最小值，从而来判断原导函数的符号，确定是单调函数，所以无极值点. 【小问1详解】 求导得：， 由题可知，，由直线的斜率为， 根据垂直直线的斜率之积为，所以，解得或. 当时，，此时l的方程为，化简得； 当时，，此时l的方程为，化简得. 【小问2详解】 因为，令，则， 因为，所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 即的最小值为， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 即的最小值为， 所以，即恒成立， 所以在上单调递增，故无极值点. 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得分的分布列？ （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案： 方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项. （i）若，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率？ （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？ 【答案】（1）答案见解析 （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）根据不同得分情况，结合各选项判断正确、错误及不选的概率，利用相互独立事件概率公式计算得分的概率，进而得到分布列； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围. 【小问1详解】 因为正确答案为AC，所以X的取值为0，3，6， 得3分即只选对了A或只选对了C， 得6分即选对了A和C，且没选B和D， 所以； 所以； 所以学生甲答此题得分的分布列 0 3 6 【小问2详解】 ①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， . ②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 要使唯独选择方案I最好，则 解得：，故P的取值范围为． 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； （2）若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）成立，理由如下： 法一：已知，设， 则，； 由（2）知在点处的切线方程为； 同理在点处的切线方程为； 联立可得，所以. 因此， 同理. 所以，， 即，可得， 所以成立. 法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示： 则，因为，显然. 又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即. 同理可知， 所以，即. 则. 所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得； （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）法一：求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 法二：过分别作准线的垂线，连接，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明. 【小问1详解】 由定义可知，与相切， 则圆的圆心到直线的距离等于1， 则，. 【小问2详解】 点不在直线族的任意一条直线上， 所以无论取何值时，无解. 将整理成关于的一元二次方程， 即. 若该方程无解，则，即. 证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在点处的切线方程为：， 即. 今直线族中， 则直线为， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对任意都是抛物线在点处的切线. 所以直线族的包络曲线为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解包络曲线的定义，利用直线和曲线相切求出包络曲线的方程为并进行证明，再利用抛物线定义和性质即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次检测 高二年级 数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 乘积展开后的项数有（ ） A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 2. 数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 袋子中有大小和材质完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球，甲、乙两人先后从中不放回各随机摸出1个球，则乙摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 6. 为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ） A. 144种 B. 162种 C. 216种 D. 288种 7. 如图，直线与曲线交于两点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是（ ） A. 只有一个极值点 B. 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为 D. 的极小值点大于极大值点，且极大值为2 8. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 10. 已知是函数的极值点，则（ ） A. B. 方程有2个不等实数根 C. 函数与至多有两个交点 D. 在时都有 11. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（ ） A. 将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B. 将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D. 小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__________． 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，则求数列的前2025项和为______ 14. 与函数的解析式和值域相同，定义域不同的函数有___________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体中，为的中点，为的中点，. （1）证明：四棱锥为阳马； （2）求点到平面的距离. 16. 把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. （1）求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程； （2）证明：无极值点． 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得分的分布列？ （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案： 方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项. （i）若，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率？ （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？ 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； （2）若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $