15.1不等式及其性质 同步练习-2024—2025学年沪教版（五四制）数学七年级下册

15.1不等式及其性质 一、单选题 1．式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤ x≥0，⑥x3中，属于不等式的有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（    ） A． B． C． D．与a、b大小无关 5．下列各式中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 6．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）    A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 7．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．无法确定 10．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 12．判断正误： （1）由，得；( ) （2）由，得；( ) （3）由，得；( ) （4）由，得；( ) （5）由，得；( ) （6）由，得．( ) 13．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 15．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 16．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以就会出现的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 ． 17．若x、y是两个有理数，且，则的符号是 ． 18．若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 三、解答题 19．用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 20．用“>”或“<”填空： (1)如果a－b<c－b，那么a________c； (2)如果3a>3b，那么a________b； (3)如果－a<－b，那么a________b； (4)如果2a＋1<2b＋1，那么a________b. 21．下列变形是怎样得到的？   （1）由，得； （2）由，得； （3）由，得． 22．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”． （1）______． （2）________0． （3）__________． （4）________． （5）________． （6）_______． （7）________． （8）_______． 23．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 24．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 25．已知x＞y，比较下列式子的大小，并说明理由： （1）2x+1和2y+1 （2）5﹣2和5﹣2y 26．已知． (1)化简； (2)比较和的大小 27．阅读下列材料： 解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解， 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，① 同理得：．② 由①②得． ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （）已知，且，，求的取值范围． （）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）． 28．阅读下列材料,并完成填空. 你能比较2 0132 014和2 0142 013的大小吗？ 为了解决这个问题,先把问题一般化,比较nn+1和(n+1)n(n≥1,且n为整数)的大小.然后从分析n=1,n=2,n=3…的简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.   (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小：(在横线上填上“>”“=”或“<”) ①12__________21；②23__________32；③34__________43；④45__________54；⑤56__________65；⑥67__________76；⑦78__________87；   (2)归纳第(1)问的结果,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系；   (3)根据以上结论,可以得出2 0132 014和2 0142 013的大小关系. 答案 一、单选题 1．B 【分析】根据不等式的定义：表示不等关系的式子叫做不等式，可直接选出答案． 【解析】属于不等式的有：②⑤⑥．共3个 故选：B 2．D 【分析】根据不等式的基本性质和绝对值的概念，可得答案． 【解析】解：由x＞y，可得： A、-2019x＜-2019y，故A错误； B、因为x，y的正负未知，所以或，故B错误； C、2019-2x＜2019-2y，故C错误； D、x-2019＞y-2019，故D正确 故选D． 3．D 【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得答案． 【解析】解：∵，m2≥0， ∴m2＞0， ∴a＞b， 故选D． 4．A 【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因． 【解析】解：根据题意得到5×＜3a+2b， 解得a＞b 故选：A． 5．D 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【解析】A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误； B、当a＜0时，不等式两边乘负数，不等号的方向改变，故B错误； C、当c＜0时，ac＜bc，故C错误； D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故D正确； 故选：D． 6．D 【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想． 【解析】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q． 故选D． 7．C 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质求解作答即可． 【解析】解：∵的解集为， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据，则由不等式的性质可得，进而可得． 【解析】解：∵， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】根据乘积小于0，可得a，b异号，再根据和大于0，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得a，b对应着点M与点P；根据ac＞bc，变形可得a＞b，从而可得答案． 【解析】∵，， ∴异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ∴对应着点M与点P， ∵， ∴， ∴数b对应的点为点M， 故选：A． 10．A 【分析】根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否． 【解析】①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A 二、填空题 11． 【分析】本题考查了列不等式，倒数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义， 根据倒数的定义，和非负数的性质即可解答； 【解析】解：依题意得：， 故答案为：． 12． 正确 正确 正确 正确 错误 错误 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解析】解：∵2a＞3， ∴不等式的两边都除以2得：a＞， ∴（1）正确； ∵2-a＜0， ∴-a＜-2， ∴a＞2， ∴（2）正确； ∵， ∴不等式的两边都乘以2得：， ∴（3）正确； ∵， ∴不等式的两边都加上m得：， ∴（4）正确； ∵， ∴不等式的两边都乘以-3得：， ∴（5）错误； ∵， ∴不等式的两边都乘以a不能得到：， ∵a的正负不能确定， ∴（6）错误； 13． 【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案； （3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案； 【解析】解：（1） 两边都加上，得： 合并同类项可得： （2） 两边都减去得： 合并同类项得： （3） 两边都乘以得： （4） 两边都除以得： 故答案为：（1）（2）（3）（4） 14．①③ 【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0，自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断即可得解． 【解析】解：①为正数，则，故①说法正确，符合题意； ②为自然数，则，故②说法错误，不符合题意； ③不大于5，则，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 15．＜ 【分析】用作差法比较即可． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 16．当时， 【分析】根据不等式的性质进行解答即可． 【解析】解：这种说法不对的理由如下： 当时，； 当时，由得． 故答案为：当时，． 17．正 【分析】根据绝对值的意义和性质、整式乘法公式及不等式的基本性质可以得到解答． 【解析】解：∵x<y<0， ∴|x|>|y|>0， ∴，即 ∴,符号为正． 故答案为正． 18． 【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可． 【解析】， , , 同理可得, 又, , , 即． 三、解答题 19．（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 20．解：（1）由a－b<c－b得， a<c； （2）由3a＞3b，得a＞b； （3）由－a<－b，得a＞b； （4）由2a＋1＜2b＋1，得2a＜2b，∴a＜b. 故答案为(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜. 21．（1）， 两边除以得：， 两边减去得：； （2）， 两边减去得：， 两边除以得：； （3）， 两边除以得：， 两边加上得：， 两边乘以得：. 22．由数轴的定义得：， （1）不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则； （2）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即； （3）不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则； （4）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则； （5）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则； （6）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则； （7）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则； （8）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则． 23．（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 24．（1）解：不等式两边同时减去6， 得：， 解得：． （2）不等式两边同时除以， 得：， 解得：． （3）不等式两边同时减去， 得：， 解得：． 25．解：（1）∵x＞y， ∴2x＞2y， ∴2x+1＞2y+1； （2）∵x＞y， ∴-2x＜-2y． ∴5-2x＜5-2y． 26．（1）解： （2）解：∵， 而， ∴， ∴， 即． 27． 解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3. ∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1. ∵y＜1，∴-1＜y＜1.…① 同理得：2＜x＜4.…② 由①+②得-1+2＜y+x＜1+4， ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5. （2）∵x-y=a，∴x=y+a. ∵x＜-1，∴y+a＜-1，∴y＜-a-1. ∵y＞1，∴1＜y＜-a-1.…① 同理得：a+1＜x＜-1.…② 由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)， ∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2. 28．（1）①12=1，21=2，则12＜21； ②23=8，32=9，则23＜32； ③34=81，43=64，则34＞43； ④45=1024，54=625，则45＞54； ⑤56=15625，65=7776，则56＞65； ⑥67=279936，76=117649，则67＞76； ⑦78=5764801，87=2097152，则78＞87. （2）从上面的结果，可以猜想出和的大小关系是：当时， 当时， （3）由（2）中规律可知 学科网（北京）股份有限公司 $$