2025届福建省福州恒一高级中学等学校高三第二次学情检测数学试题

2024~2025学年第二学期高三第二次学情检测 数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前n项和满足,则（ ） A. 272 B. 152 C. 68 D. 38 5. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 的方程为 C. D. 在点处的切线方程为 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 存在，使得在方向上投影向量的模为1 D. 的取值范围为 11. 已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得； B. 存在唯一点P，使得； C. 当，此时点P的轨迹长度为； D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 =，则的值是____. 13. 从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有______种． 14. “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为 （1）求数列的通项公式 （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.设，求； 16. 一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2. （1）记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望； （2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. （1）证明：； （2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 18. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 2024~2025学年第二学期高三第二次学情检测 数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】96 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 0.648 0.306 0.044 0.002 ，0.4； （2）． 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点， 因为且， 所以四边形CDBE为平行四边形， 所以BD与CE的交点即为CE中点M. 由已知可得，，，， 由余弦定理得, 所以三角形为直角三角形， 所以， 又，， 所以,且, 所以平面PBD， 又平面PBD， 所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）由题意知，的定义域为， ， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，， 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）① 证明:设四边形的面积为， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线的垂直平分线段，所以， 当直线与轴重合时，此时，， ． 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知． 当直线与轴不重合时，设直线方程为． ，， ． ，则直线的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值，定值； ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $