精品解析：甘肃省武威市凉州区长城中学联片教研2024—2025学年下学期开学 检测九年级数学试卷

2025年春季开学九年级数学检测试卷 一．选择题（共30分，每小题3分） 1. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 2. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如图，中，，以点B为中心，将旋转到，使点E恰好在上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接，若，则半径的长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6. 若的圆心角所对的弧长为，那么它所在的圆的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 8. 若都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与面积比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，若，则的长为（　　） A. 3 B. 5 C. 5.5 D. 6 二．填空题（共24分，每小题3分） 11. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 12. 将抛物线向下平移5个单位长度，平移后抛物线的解析式为_______． 13. 把二次函数化成的形式为_____． 14. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 15. 如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为____． 16. 如图，点C在上，直径，垂足为D，点E是的内心，，点F在其上，，则_____． 17. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点为轴负半轴上一点且满足，连接交轴于点，连接，若，则的值为___________ 18. 如图，，与交于点，若，则的值为_____． 三．解答题（共66分） 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标 ； （2）计算四边形的面积． 20. 解方程． （1）； （2）． 21. 为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 22. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 24. 如图，已知点E在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 25. 如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为． （1）转动转盘，指针指向红色区域的概率是___________． （2）自由转动这个转盘两次；能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率是多少？（利用树状图或列表法说明） 26. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． （1）求该反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季开学九年级数学检测试卷 一．选择题（共30分，每小题3分） 1. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 2. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，图象上坐标的特征等知识，根据该二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点情况以及顶点坐标和图象上的坐标特征，分别判断每个小题的正误即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 当时，， ， ∵对称轴为直线， ， ，故①符合题意； ②∵对称轴为直线， ∴， ，故②不符合题意； ③根据图象可知，当时，，故③符合题意； ④有两个不同的实数根， ，故④不符合题意； ⑤距对称轴的距离为， 距对称轴的距离为， 与相比，距对称轴的距离更近， ，故⑤符合题意， 综上，符合题意的有个， 故选：B． 3. 如图，中，，以点B为中心，将旋转到，使点E恰好在上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 由勾股定理得出，再由旋转的性质得，即可求得结果． 【详解】解：∵中，， ， 由旋转知，， ∴， 故选：B． 4. 如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接，若，则半径的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，垂径定理，三角形中位线的性质等，根据垂径定理得，，根据圆周角定理得，再由是的中位线得，然后根据勾股定理求出，进而求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的弦，点是弦的中点， ∴，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出的长，再连接求出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形，且，， ，， 连接， ， 是等边三角形， ， 又， ， 故选：B． 6. 若的圆心角所对的弧长为，那么它所在的圆的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据弧长求半径，根据弧长公式求出半径，再利用面积公式求出圆的面积即可． 【详解】解：设圆的半径为， 则：， ∴， ∴圆的面积为； 故选D． 7. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、必然事件、随机事件．不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A选项：手可摘星辰是不可能事件，故A选项符合题意； B选项：春风吹又生是必然事件，故B选项不符合题意； C选项：举头望明月是随机事件，故C选项不符合题意； D选项：鱼戏莲叶东是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：A ． 8. 若都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质，当时，图象经过第一、三象限．由反比例函数的性质，可知点A在第三象限，点B在第二象限，即可得到答案． 【详解】解：∵在，， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴； 故选：A． 9. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与位似， ，， ， ， ∴。 ， 与面积比为， 故选：D． 10. 如图，已知，若，则的长为（　　） A. 3 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 二．填空题（共24分，每小题3分） 11. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为： 12. 将抛物线向下平移5个单位长度，平移后抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据函数图象平移的性质：左加右减，上加下减，结合题意求出平移后的函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向下平移5个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为： 13. 把二次函数化成的形式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的两种形式：一般式，顶点式，熟练掌握二次函数的一般式和顶点式是解题的关键． 利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得，，然后通过勾股定理求出，最后根据线段和差即可求解． 【详解】解：的弦垂直于直径，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，点C在上，直径，垂足为D，点E是的内心，，点F在其上，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， 为直径， ， ， ，， ， ， ， 点是的内心， 平分，平分，平分， ，， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 17. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点为轴负半轴上一点且满足，连接交轴于点，连接，若，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，先求得，可得，然后利用反比例函数系数的几何意义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，，与交于点，若，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，相似三角形的判定与性质，先根据比例的性质求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ，， ， ， ． 故答案为1． 三．解答题（共66分） 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标 ； （2）计算四边形的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称的性质进行网格作图，点的坐标，割补法求面积； 掌握中心对称的性质，能根据具体图形割补成规则图形是解题的关键， （1）由中心对称的性质可作图即可，由图可得点的坐标； （2）的面积可转化为1个矩形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示，△A1B1C1为所求． 由图可知点的坐标 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： ． 20. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）移项，运用提公式分解因式法解一元二次方程，即可求解； （2）移项，运用配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：移项，得， 整理，得． 因式分解，得． 由此可得或． 解得，． 【小问2详解】 移项，得． 配方，得， ∴． 由此可得． 解得，． 21. 为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】商场每天要盈利425元，每件玩具应降价3元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设每件玩具应降价元．依题意，得，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元．依题意，得， 化简，得， 解得（舍去）， 答：商场每天要盈利425元，每件玩具应降价3元． 22. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 23. 如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 24. 如图，已知点E在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，结合题意得出，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证； （2）证明，由相似三角形的性质求出的长，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与圆相切于点D． ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为6． 25. 如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为． （1）转动转盘，指针指向红色区域的概率是___________． （2）自由转动这个转盘两次；能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率是多少？（利用树状图或列表法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的应用，根据题意，画树状图，列出所有等可能的结果，进行解答，即可． （1）由题意可得，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为，则红色所在扇形的圆心角为，根据概率公式，即可； （2）把转盘红色部分分成相等的两个部分，画出树状图，列出所有等可能的结果，即可． 【小问1详解】 解：∵黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为， ∴红色所在扇形的圆心角为， ∴指针指向红色区域的概率为：； 故答案为：． 【小问2详解】 解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有种， 其中能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率为：． 26. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． （1）求该反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，将一次函数，反比例函数联立方程组求解得到点B的坐标； （2）根据一次函数与坐标轴的交点得到，由的面积的面积的面积即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ； 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴一次函数交轴于点，又，， ∴的面积的面积的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵，，点位于轴的正半轴， ∴， 将点代入得：， 解得， 则抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵，， ∴， 设点的坐标为， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则， ∵轴， ， ， ∴， 当时，， 解得或， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， ∴点的坐标为； ②如图，在轴下方作，交轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 综上，存在点，使得，此时点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $