甘肃省嘉峪关市第一中学2024-2025学年高一下学期数学周考B卷（2025.3.28）

嘉峪关市第一中学高一数学周考B卷2025.3.28 (时间:120分钟　满分:150分) 1. 选择题. 1. 如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是(　　) A. B. C. D. 2. 已知向量a与b方向相同或相反,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　) A.一定与向量a的方向相同 B.一定与向量a的方向相反 C.一定与向量b的方向相同 D.不确定 3. 如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c 4. 已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 5. 若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.a-c与b共线 B.b+c与a共线 C.a与b-c共线 D.a+b与c共线 6. 已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 7. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若>0,则△ABC(　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 8. 在△ABC中,∠A=60°,a=4,b=4,则∠B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 2． 多选题（共3小题） 9. 已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是(　　) A.(4,-8) B.(8,4) C.(-4,-8) D.(-4,8) 10. 设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(　　) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 11. 在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3． 填空题（共3小题） 12. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,则|2a-3b|=　　　　　.  13. 在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为　　　　　.  14. 在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为　　　　.  4． 解答题（共5小题） 15. 已知向量a,b满足|a|=,|b|=1. (1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|; (2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ. 16. 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若a∥b,求|a-b|; (2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围. 17. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)当a=7时,求△ABC的面积. 18. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若asin B=bcos A. (1)求∠A; (2)若△ABC的面积为2,a=5,求△ABC的周长. 19. 如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离. （注:sin 15°=） 嘉峪关市第一中学高一数学周考B卷（答案） (时间:120分钟　满分:150分) 2. 选择题. 2. 如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是(　　) A. B. C. D. 答案B 解析向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量. 3. 已知向量a与b方向相同或相反,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　) A.一定与向量a的方向相同 B.一定与向量a的方向相反 C.一定与向量b的方向相同 D.不确定 答案A 解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向一定与a的方向相同. 4. 如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c 答案D 解析=b-c. 5. 已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 答案A 解析∵向量=2a+4b,=a+2b, ∴=2,即A,B,D三点共线. 6. 若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.a-c与b共线 B.b+c与a共线 C.a与b-c共线 D.a+b与c共线 答案C 解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3). ∴b-c=a.∴a与b-c共线. 故C正确.同理可得A,B,D错误. 7. 已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案B 解析因为(a-b)⊥b, 所以(a-b)·b=a·b-b2=0, 所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ, 则cos θ=, 所以a与b的夹角为,故选B. 8. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若>0,则△ABC(　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 答案C 解析由>0得-cos C>0, 所以cos C<0,从而∠C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形. 9. 在△ABC中,∠A=60°,a=4,b=4,则∠B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 答案C 解析∵sin B=, ∴∠B=45°或135°. 又∵a>b,∴∠B=45°,故选C. 5． 多选题（共3小题） 10. 已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是(　　) A.(4,-8) B.(8,4) C.(-4,-8) D.(-4,8) 答案AD 解析当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8). 11. 设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有 (　　) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 答案ACD 解析根据向量数量积的分配律知,A正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误; 因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确; 根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确. 12. 在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案ACD 解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5, ∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2, 即a2>3,∴a>,故<a<. 6． 填空题（共3小题） 13. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,则|2a-3b|=　　　　　.  答案2 解析∵|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°, ∴a·b=1×2×=1,∴|2a-3b|==2. 14. 在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为　　　　　.  答案 解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cos C==-,且0<∠C<π, ∴∠C=. 15. 在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为　　　　.  答案3 解析∵S△ABC=absin C=15,ab=60, ∴sin C=.由正弦定理,得=2R, 则c=2Rsin C=3. 7． 解答题（共5小题） 16. 已知向量a,b满足|a|=,|b|=1. (1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|; (2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ. 解(1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=. (2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0. 所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1, 所以cos θ=. 又θ∈[0,π], 所以θ=,即a与b的夹角为. 17. 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若a∥b,求|a-b|; (2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围. 解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0, 解得x=0或x=-2. 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0), 所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2. 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2), 所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2. 综上,|a-b|=2或2. (2)因为a与b的夹角为锐角, 所以a·b>0,即2x+3-x2>0, 解得-1<x<3. 又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3). 20. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)当a=7时,求△ABC的面积. 解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理,得sin C=. (2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6. 21. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若asin B=bcos A. (1)求∠A; (2)若△ABC的面积为2,a=5,求△ABC的周长. 解(1)由题意,在△ABC中, 因为asin B=bcos A, 所以由正弦定理, 可得sin Asin B=sin Bcos A, 又因为∠B∈(0,π),可得sin B≠0, 所以sin A=cos A,即tan A=. 因为∠A∈(0,π), 所以∠A=. (2)由(1)可知∠A=,且a=5, 又由△ABC的面积2bcsin A=bc, 解得bc=8, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49, 解得b+c=7, 所以△ABC的周长a+b+c=5+7=12. 22. 如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.（注:sin 15°=） 解(方法1)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°. 由正弦定理,得AD=. 在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°, 由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD= =. 即点B,D间的距离为 km. (方法2)如图,记AD与BC的交点为M.由外角定理,得∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°, 所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,且CB⊥AD. M为AD的中点,所以BA=BD. 又AB=, 所以BD=.所以点B,D间的距离为 km. 学科网（北京）股份有限公司 $$