4.2  比例的基本性质（2个知识点+5类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（苏教版）

4.2  比例的基本性质 学习重难点 学习目标 1、认识比例的内项和外项，掌握比例的基本性质。(重点) 2、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。(重点) 3、理解用比例的基本性质解比例的过程和方法。(重点) 4、会用比例的基本性质解决简单的实际问题。(难点) 1、认识比例的内项和外项，探索并掌握比例的基本性质。 2、会用比例的基本性质判断两个比能否组成比例、解比例及解决简单的实际问题。 3、培养应用数学的意识和灵活解决问题的能力。 知识点一比例的各部分名称及比例的基本性质 1、组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 2、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。如果用字母表示比例的四个项，即a：b=c：d，那么这个规律可以表示成：axd=bxc。 知识点二解比例 1、解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。 题型一比例的基本性质 1．如果 a∶和b∶能组成比例，那么（    ）。 A．a＝b B．a＝6b C．b＝a 【答案】B 【分析】比例的意义：比值相等的两个比能组成比例。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 已知a∶和b∶能组成比例，那么它们的比值相等，即a∶＝b∶，再根据比例的基本性质，改写成a×＝b×，进而得出a与b的关系。 【解答】a∶＝b∶ a×＝b× a＝b×÷ a＝b×× a＝6b b＝a 如果 a∶和b∶能组成比例，那么a＝6b。 故答案为：B 2．已知（A、B均不为0），那么A∶B＝（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．3∶7 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质，把等式改写成比例的形式，使A和做比例的外项，B和做比例的内项，再根据比的基本性质化简即可。 【解答】由知：A∶B＝∶ ∶＝（）∶（）＝3∶4 故答案为：A 3．甲数的等于乙数的（甲乙两数均不为0），甲、乙两数的最简比是（    ）。 A．3∶7 B．7∶3 C．2∶7 D．4∶21 【答案】A 【分析】由“甲数的等于乙数的”可得出等式：甲×＝乙×，然后利用比例的基本性质改写成比例式，再化简比即可。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【解答】甲×＝乙× 甲∶乙＝∶ ＝（×21）∶（×21） ＝6∶14 ＝（6÷2）∶（14÷2） ＝3∶7 甲、乙两数的最简比是3∶7。 故答案为：A 题型二根据比例的基本性质判断比例 4．一个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是( )。 【答案】20∶4＝4∶ 【分析】比例中，两内项之积等于两外项之积；比值×后项＝前项，所以用4×5求出其中一个外项，再用两内项之积（4×4）除以其中一个外项即可得到另一个外项，最后写出比例即可。 【解答】4×4÷（4×5） ＝16÷20 ＝ 所以，4×4＝20×＝16，则这个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是（20∶4＝4∶）。 5．有2、5、8三个数，再添上( )就可以组成比例，组成的比例是( )。（写出一种情况即可） 【答案】20 2∶5=8∶20 【分析】表示两个比相等的式子，叫做比例。已知有三个数，可先计算其中两个数的比值，例如2与5的比值，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。8为另一个比的前项，则可用8除以2得出扩大到到原来的几倍，再用5乘几，即可得另一个比的后项，据此写出比例即可。 【解答】 组成的比例是：2∶5=8∶20 有2、5、8三个数，再添上20就可以组成比例，组成的比例是2∶5=8∶20。（答案不唯一） 6．在一个比例里，两个比的比值都等于5，这个比例的两个内项分别为和，那么这个比例是( )或( )。 【答案】∶＝∶ ∶＝∶ 【分析】可令比例的两个外项为a和b，分别写出两种情况：a∶＝∶b，a∶＝∶b，两个比的比值都等于5，由此可以分别计算出a和b，从而写出比例。 【解答】由分析可得： 第一种情况： a∶＝∶b a∶＝5，则a＝5×＝ ∶b＝5，则b＝÷5＝×＝ 则该比例写成：∶＝∶； 第二种情况： a∶＝∶b a∶＝5，则a＝5×＝ ∶b＝5，则b＝÷5＝×＝ 则该比例写成：∶＝∶； 综上所述：在一个比例里，两个比的比值都等于5，这个比例的两个内项分别为和，那么这个比例是∶＝∶或∶＝∶。 题型三根据比例的基本性质求某个项 7．在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.25，另外一个内项是( )。 【答案】4 【分析】倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此解答。 【解答】两个内项互为倒数，则它们的乘积是1， 1÷0.25＝4 在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.25，则另一个外项是4。 8．比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应该增加( )。 【答案】18 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。内项3增加6变为9，根据比例的基本性质，求出现在两个内项的积，再除以其中的一个外项5，求出现在的另一个外项，最后用现在的外项减去9即可解答。 【解答】3＋6＝9 15×9÷5－9 ＝135÷5－9 ＝27－9 ＝18 则外项9应该增加18。 9．在一个比例中，两个内项正好互为倒数，已知一个外项是，另一个外项是( )。 【答案】 【分析】根据题意，两个内项互为倒数，即两个内项的积等于1，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，则两个外项的积也等于1，用1除以其中一个外项，即可求出另一个外项，据此解题。 【解答】1÷ ＝1× ＝ 所以另一个外项是。 题型四解比例 10．解比例。 ∶36＝3∶54         【答案】；； 【分析】（1）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以54，计算即可得解； （2）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解； （3）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。 【解答】∶36＝3∶54 解： 解： 解： 11．解方程（比例）。 1.2∶x＝0.3∶4.5          1－40%x＝ 【答案】x＝18；x＝2 【分析】（1）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以0.3，计算即可得解； （2）根据减数等于被减数减差，把等式转化为40%x＝1－，先计算等式右边的减法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以0.4，计算即可得解。 【解答】1.2∶x＝0.3∶4.5 解：0.3x＝1.2×4.5 0.3x＝5.4 0.3x÷0.3＝5.4÷0.3 x＝18 1－40%x＝ 解：0.4x＝1－ 0.4x＝0.8 0.4x÷0.4＝0.8÷0.4 x＝2 12．解方程或比例。            【答案】； 【分析】（1）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。将比例转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以3，计算即可得解； （2）先计算等式左边的加法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。 【解答】 解： 解： 题型五比例的应用 13．一种洗衣液，洗涤1千克衣物要放入12毫升洗衣液。妈妈要洗涤3千克衣物，应放入这种洗衣液多少毫升？ 【答案】36毫升 【分析】根据题意可知，洗涤液的用量与洗涤衣物的质量的比值一定，据此可列出比例方程，并求解。 【解答】解：设放入这种洗衣液毫升。 12∶1＝∶3 1×＝12×3 ＝36 答：放入这种洗衣液36毫升。 14．调两杯红糖水，第一杯放了18克红糖和200克水，第二杯放了300克水。要使两杯红糖水同样甜，应在第二杯中加入多少克红糖？ 【答案】27克 【分析】由题意可知，要使两杯红糖水同样甜，我们可以设应在第二杯中加入克红糖，根据等量关系“红糖∶水＝18：200”列出比例解答即可。 【解答】解：设要使两杯红糖水同样甜，应在第二杯中加入克红糖。 ∶300＝18∶200 200＝300×18 200＝5400 200÷200＝5400÷200 ＝27 答：要使两杯红糖水同样甜，应在第二杯中加入27克红糖。 15．一段圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，小强和小盛想通过做实验来求得圆柱形钢材的体积。小强将圆柱形钢材全部取出后，观察到水面下降了10厘米。小刚又将圆柱形钢材竖直插入水中12厘米，发现水面上升了6厘米。现在只知道圆柱形钢材的底面半径是4厘米，你能帮小强和小刚算出圆柱形钢材的体积吗？ 【答案】 1004.8立方厘米 【分析】由题意知：整段圆柱形钢材的体积对应着10厘米水的体积；竖直插入水中12厘米，发现水面上升了6厘米，则12厘米圆柱形钢材的体积对应着6厘米高的水的体积，可设钢材高x厘米，据此可写出比例：，解此比例求得钢材的高度，再根据圆柱的体积公式，将数值代入计算即可求得钢材的体积。据此解答。 【解答】解：设圆柱形钢材高厘米。 6x＝10×12 6x＝120 6x÷6＝120÷6 x＝20 ＝ ＝ ＝1004.8（立方厘米） 答：圆柱形钢材的体积是1004.8立方厘米。 一、选择题 1．比例5∶3＝15∶9的内项“3”增加6，要使比例成立，外项“9”应增加（    ）。 A．6 B．18 C．27 2．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是5，另一个内项是（    ）。 A．1 B．0.2 C．5 D．0.5 3．在一个比例中，一个内项乘4，要使比例仍然成立，下面说法正确的是（    ）。 A．另一个内项乘4 B．一个外项乘4 C．一个外项乘 D．另一个内项减4 4．如果x∶＝∶，那么x＝（    ）。 A． B． C．1 D． 5．一种农药的药液和水的比是1∶2000，现有药液650g，应该加水（    ）kg。 A．325 B．1300000 C．1300 D．0.325 二、填空题 6．一个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是（ ）。 7．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 15∶3＝（    ）∶1    2∶0.5＝1.2∶（    ）      8．在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是（ ）和（ ）。 9．明明调制两杯红糖水。第一杯放了18克红糖和200克水。第二杯中有水300克，如果和第一杯一样甜，应在其中加入红糖（ ）克。 10．如果在10升水里加入18毫升的一种洗衣液效果最好，那么在80升水里加入这种洗衣液，要使效果最好，要加入 毫升洗衣液。 三、计算题 11．解比例。                   四、解答题 12．两个铜制品，一个体积是15立方厘米，重133.5克。另一个体积是20立方厘米，重多少克？ 13．两个外项的积加上两个内项的积的和是180，其中一个外项是5，另一个外项是多少？一个内项是6，另一个内项是多少？ 14．根据比例24∶8＝9∶3回答下列问题。 （1）如果第一项24减6，第二项变成几才能使等式成立？ （2）如果第三项乘2，第四项应该怎样变化才能使等式成立？ 15．王强按表中的比例配制一种盐水。 盐的质量/克 水的质量/克 5 20 （1）如果用12克盐配制这样的盐水，需要加入多少克水？ （2）如果要配制这样的盐水2千克，需要加入多少千克盐？ 16．李叔叔每个月的工资收入是元，如图是他五月份工资的安排情况统计图。 （1）购书费占工资的_________。 （2）李叔叔四、五月份的生活费之比为，四月份他的生活费是多少钱？（用比例解答） （3）李叔叔将五月份的储蓄金存入银行，存期为两年定期，年利率为，到期支取时，他可以得到多少利息？ 参考答案 1．【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积；内项3增加6，现在的内项为（3＋6＝9），则现在两个内项的积为：9×15＝135；两个外项的积也是135，外项5不变，用135除以5计算出另一个外项；最后用现在的另一个外项减去9，即为外项9应该增加多少。 【解答】3＋6＝9 现在两个内项的积：9×15＝135 外项5不变，现在另一个外项是：135÷5＝27 外项9应增加：27－9＝18 因此比例5∶3＝15∶9的内项“3”增加6，要使比例成立，外项“9”应增加18。 故答案为：B 2．【分析】根据比例的基本性质可知，外项之积等于内项之积，结合倒数的意义，乘积为1的两个数互为倒数，所以两个外项的乘积为1，已知一个内项为5，即可求出另一个内项。 【解答】1÷5＝0.2 另一个内项是0.2。 故答案为：B 3．【分析】比例的两内项积＝两外项积，一个内项乘4，根据积的变化规律，则两内项积乘4，要使比例仍然成立，两外项积也要乘4，即其中一个外项乘4，或另一个内项除以4，据此分析。 【解答】根据分析，在一个比例中，一个内项乘4，要使比例仍然成立，一个外项乘4或另一个内项除以4。 故答案为：B 4．【分析】根据比例的基本性质，内项积＝外项积，解比例即可。 【解答】x∶＝∶ 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x＝× x＝1 故答案为：C 【点评】本题主要考查根据比例的基本性质来解比例。 5．【分析】根据题意，这种农药中药液和水的比是1∶2000，现有650g药液，要求需加多少kg水，可设需加入xg水，列比例为1∶2000＝650∶x，求解即可。 【解答】解：设需加入xg水。 1∶2000＝650∶x x＝650×2000 x＝1300000 1300000g＝1300kg 所以，需要加入1300kg水才能配成这种农药。 故答案为：C 【点评】解答此题的关键是根据药液和水按1∶2000比例配制，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出比例解答。 6．【分析】比例中，两内项之积等于两外项之积；比值×后项＝前项，所以用4×5求出其中一个外项，再用两内项之积（4×4）除以其中一个外项即可得到另一个外项，最后写出比例即可。 【解答】4×4÷（4×5） ＝16÷20 ＝ 所以，4×4＝20×＝16，则这个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是（20∶4＝4∶）。 7．【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】15∶3＝（）∶1 15×1÷3 ＝15÷3 ＝5 2∶0.5＝1.2∶（） 0.5×1.2÷2 ＝0.6÷2 ＝0.3 ＝ 0.3×32÷4 ＝9.6÷4 ＝2.4 ∶（）＝∶ ×÷ ＝÷ ＝×2 ＝ 15∶3＝5∶1 2∶0.5＝1.2∶0.3 ＝ ∶＝∶ 8．【分析】10以内的相邻的两个合数分别是8和9、9和10，再根据题意，可知组成比例的两个比，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，进而根据比各部分之间的关系，分别求出两个比的后项或前项，再写出比例得解。 【解答】当两个外项分别是8和9时， 前一个比的后项：8÷ ＝8× ＝3.2 后一个比的前项：×9＝22.5 这个比例是8∶3.2＝22.5∶9 当两个外项分别是9和10时， 前一个比的后项：9÷ ＝9× ＝3.6 后一个比的前项： ×10＝25 这个比例是9∶3.6＝25∶10 在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是8∶3.2＝22.5∶9和9∶3.6＝25∶10。 【点评】此题主要考查比的前项＝比值×比的后项，比的前项÷比的后项＝比值的运用；也考查了合数的意义及比例的意义。 9．【分析】由题意可知，要使两杯红糖水同样甜，我们可以设应在第二杯中加入克红糖，根据等量关系“红糖∶水＝18∶200”列出比例解答即可。 【解答】解：设如果和第一杯一样甜，应在第二杯中加入克红糖。 明明调制两杯红糖水。第一杯放了18克红糖和200克水。第二杯中有水300克，如果和第一杯一样甜，应在其中加入红糖27克。 10．【分析】水与洗衣液的比是一定的，设要加入x毫升洗衣液，根据“水∶洗衣液＝10∶18”即可列比例解答。 【解答】解：设要加入x毫升洗衣液。 80∶x＝10∶18 10x＝80×18 x＝ x＝144 则要加入144毫升洗衣液。 【点评】此题是考查比的应用。列比例解答应用题与列方程相同，关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。 11．【分析】根据比例的两个外项之积等于两个内项之积，将比例转化成方程后，方程两边同时除以2.5； 根据比例的两个外项之积等于两个内项之积，将比例转化成方程后，方程两边同时除以； 根据比例的两个外项之积等于两个内项之积，将比例转化成方程后，方程两边同时除以26；据此解答。 【解答】 解： 解： 解： 12．【分析】根据题意，铜的密度是一定的，即铜制品的质量与体积的比值是一定的，据此可以列出比例。比例的基本性质是两个外项的积等于两个内项的积，再据此解比例即可。 【解答】解：设重x克。 133.5∶15＝x∶20 15x＝133.5×20 15x＝2670 x＝2670÷15 x＝178 答：重178克。 13．【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此用180除以2可以求出两个外项的积，也是两个内项的积。用两个外项的积除以其中的一个外项，即可求出另一个外项；用两个内项的积除以其中的一个内项，即可求出另一个内项。 【解答】180÷2＝90 90÷5＝18 90÷6＝15 答：一个外项是5，另一个外项是18；一个内项是6，另一个内项是15。 14．【分析】（1）如果第一项24减6，第一项变成18，用两个外项的积除以第三项，求出第二项变成几才能使等式成立即可。 （2）根据比例的基本性质，如果第三项乘2，第四项应该乘2才能使等式成立。 【解答】（1）（24－6）×3÷9 ＝18×3÷9 ＝54÷9 ＝6 答：第二项变成6才能使等式成立。 （2）（9×2）×8÷24 ＝18×8÷24 ＝144÷24 ＝6 由3到6，第四项应该乘2才能使等式成立 答：第四项应该乘2才能使等式成立。 【点评】此题主要考查了比例的意义和基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出两个外项或两个内项的积的变化情况。 15．【分析】（1）要配制同样的盐水，可以根据比例的意义解答，据此设用12克盐配制这样的盐水，需要加入水克。根据盐∶水＝5∶20，列出比例为5∶20＝12∶，然后解出比例即可。 （2）同理，设要配制这样的盐水2千克，需要加入千克盐。根据盐∶盐水＝5∶（20＋5），列出比例为5∶（20＋5）＝∶2，然后解出比例即可。 【解答】（1）解：设需要加入水克。 5∶20＝12∶ 5＝20×12 ＝20×12÷5 ＝48 答：需要加入48克水。 （2）解：设需要加入千克盐。 5∶（20＋5）＝∶2 5∶25＝∶2 25＝5×2 ＝5×2÷25 ＝0.4 答：需要加入0.4千克盐。 16．【分析】（1）将五月份的工资看作单位“”，再用“”减去生活费、储蓄、其他、水电费房租费解答即可； （2）根据五月份的工资为元，生活费所占百分数为可知五月份的生活费，再根据四月份与五月份的生活费之比为即可解答； （3）根据五月份的工资为元，储存所占百分数为可知五月份储存的金额为，再根据利息本金年利率存期解答即可。 【解答】（1） 答：购书费占工资的； （2）设四月份李叔叔的生活费为元， 答：四月份李叔叔的生活费为元； （3） （元） 答：他可以得到元利息。 【点评】本题考查了扇形统计图，比例方程与实际问题，利息本金年利率存期，审清题意找准数量关系是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$