8.2.1 单项式乘以单项式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

第8章 整式乘法与因式分解 8.2 整式乘法 1.单项式与单项式相乘 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则；（重点） 2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.（难点） 1.前面学习了哪些幂的运算? 运算法则分别是什么？ 2.计算下列各题： (1) (－a5)5； (2) (－a2b)3； = －a25 (3) (－2a)2(－3a2)3； (4) (－yn)2 yn-1. = 4a2(－27a6) = －108a8 am÷an = am-n (am)n = amn (ab)n = anbn = －a6b3 = y2n+n－1 = y3n－1 am·an = am+n 导入新课 单项式与单项式相乘 问题1 光的速度大约是 3×105 km/s ，从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要约 4 年才能到达地球，如果 1 年以 3.15×107 s 计算，地球与这颗恒星的距离约为多少千米? 解：地球与比邻星的距离约是： [ (3×105)×(4×3.15×107) ] km. 1 这个式子应如何计算呢? 新知探究 (3×105)×(4×3.15×107) = 3×4×3.15×105×107 = 12×3.15×1012 = 3.78 ×1013(km) 因而，地球与这颗恒星的距离约为 3.78×1013 km 1.上面的运算用了哪些性质? 交流讨论 乘法结合律 同底数幂的乘法性质 乘法交换律 从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法法则吗? 3. 完成下面计算： 4x2y ·3xy2 = (4×3)(x2· )(y· ) =______； 5abc · (-3ab) = [5×(-3)]·(a· __)(b·___)·c =________. a y2 12x3y3 b -15a2b2c x 2. 如果把上面算式中的数字换成字母. 例如：bc5·abc7，该如何计算呢? 交流讨论 bc5·abc7＝a·(b·b)·(c5·c7)＝ab2c12. 知识要点 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘法法则 (1) 系数相乘； (2) 同底数幂相乘； (3) 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 注意 例1 计算： （1）(－4abc)( ab) ； （2）(3a)3 · (－5ab2) . 解（1）(－4abc)( ab) = (－4× ) · a2b2c = －2a2b2c. （2）(3a)3 · (－5ab2) = 27a3 · (－5ab2) = －135a4b2. 单项式乘单项式的结果仍然是一个单项式. 典例精析 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 要点归纳 计算： (1) (－3x)2 · 4x2； (2) (－2a)3(－3a)2； 解：原式 = 9x2 · 4x2 = (9×4)(x2 · x2) = 36x4. 解：原式 = －8a3 · 9a2 = [(－8)×9](a3 · a2) = －72a5. 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 注意 解：原式 = 练一练 分析：C = 2πr nC = n·2πr 例2 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号探测器着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，也使我国成为第二个成功登陆火星的国家. 天问一号从地球飞行进入环火轨道的里程相当于绕地球赤道 1.18×104 圈，它的这一飞行里程约为多少千米？（地球半径r约 6.4×103 km，π 取 3.14） r 典例精析 例2 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号探测器着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，也使我国成为第二个成功登陆火星的国家. 天问一号从地球飞行进入环火轨道的里程相当于绕地球赤道 1.18×104 圈，它的这一飞行里程约为多少千米？（地球半径r约 6.4×103 km，π 取 3.14） r 典例精析 解：1.18×104×2πr ≈1.18×104×2×3.14×6.4×103 ≈4.74×108（km） 答：它的这一飞行里程约为 4.74×108 km. 例3 已知 －2x3m＋1y2n 与 7x5m－3y5n－4 的积与 x4y 是同类项，求 m2＋n 的值． 解：（－2x3m＋1y2n)( 7x5m－3y5n－4) ＝x3m＋1＋5m－3y2n＋5n－4 ＝x8m－2y7n－4 由题，所以8m－2＝4，7n－4＝1. 所以 m2＋n＝ . 解得 1.计算： (1) 2x2 · 3x3； (2) a2b3 · abc； (3) (-2.5x2)(-4x)2； (4)(-4x2y) · (-xy)2 ·(- y3). (2) a2b3 · abc = 解：(1)2x2 · 3x3 = 6x5. (3)(-2.5x2) · (-4x)2 = -40x4. (4)(-4x2y) · (-xy)2 · (- y3) = 2x4y6. 课本练习 2. 计算: (1) (4×105)×(5 ×106)×(3 ×104)； (2) 2a2 · (-2a)2 + (2a3)· 5a. 解：原式= 4×5×3×105 ×106 ×104 = 60×1015 = 6×1016. 解：原式= 2a2 ·4a2 + 2a3·5a = 8a4 + 10a4 = 18a4. 3.中国空间站天和核心舱于 2021 年 4 月 29 日由长征五号 B 遥二运载火箭在海南文昌发射升空.其轨道飞行速度约 7.68 km /s，那么它连续 90 天大约飞行了多少千米? = 7.68×7.776×106 解：7.68×90×24×60×60 = 7.68×7.776×106 ≈ 5.97×107 （km） 答：天和核心舱连续 90 天大约飞行了5.97×107 千米. 单项式与单项式相乘 单项式乘单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 注意 （1）不要出现漏乘现象； （2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘 课堂小结 单项式乘单项式中的“一、二、三”： 一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个 单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积 的因式. 二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂 分别相乘. 三个检验：单项式乘单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来检验：① 结果仍是单项式；② 无零次幂时结果含有原式中的所有字母；③ 结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和. 1. 计算 3a · (2b) 的结果是 ( ) A.3ab B.6a C.6ab D.5ab 2. 计算 (－2a2) · 3a 的结果是 ( ) A.－6a2 B.－6a3 C.12a3 D.6a3 C B 【解析】3a · (2b) = (3×2) · (a · b) = 6ab. 【解析】(－2a2) · 3a = (－2×3) · (a2 · a) = －6a3. 课后练习 3.下列计算中，对的打“√”，错误的打“×”并改正. (1) 3a3 · 2a2 = 6a6 ( ) 改正： . (2) 2x2 · 3x2 = 6x4 ( ) 改正： . (3) 3x2 · 4x2 =12x2 ( ) 改正： . (4) 5y3 · 3y5 = 15y15 ( ) 改正： . 3a3 · 2a2 = 6a5 3x2 · 4x2 = 12x4 5y3 · 3y5 = 15y8 × × × (1) 3x2 · 5x3； (2) 4y · (-2xy2)； 4.计算： 解：原式= [4×(-2)](y · y2) · x = -8xy3. (3)(-x)3 · (x2y)2. 解：原式= (-x3) · (x4y2) = -x7y2. 解：原式= (3×5)( x2 · x3 ) = 15x5. 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 5. 若长方形的宽是 a2，长是宽的 2 倍，则长方形的面积 为 _____. 【解析】长方形的长是 2a2，所以长方形的面积为 a2 · 2a2 = 2a4. 2a4 6.一个三角形的一边长为 a，这条边上的高的长度是它 的 ，那么这个三角形的面积是_____. 【解析】因为这条边上的高的长度为 ，所以这个三角形的面积是 拓展探究： 7. 若 (am+1 bn+2 )·(a2n－1 b) = a5b3 (其中 a，b 不为 0 和±1)，求 m + n 的值. 解：由题 am+1+2n－1 bn+2+1 = a5b3， 解得 m = 5，n = 0. 所以 m＋n = 5. 所以 m + 1 + 2n -1 = 5，n + 2 + 1 = 3. $$