期中模拟测试卷02(上海+全国题源)（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

2024-2025学年高一数学下学期期中模拟测试卷02 测试范围：第6-7章 一、填空题 1．角，则属于第 象限． 2．函数为奇函数，则 . 3．已知，则 . 4．函数的定义域是 . 5．不等式的解集是 . 6．若，且，则tanα＝ ． 7．已知等腰三角形的底角的正弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值为 ． 8．函数的图象的对称中心的坐标是 . 9．设函数在区间上恰有三个最值点，则的取值范围为 . 10．如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 .    11．函数的值域的真子集的个数为 12．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 二、单选题 13．下列函数中，以π为最小正周期的偶函数是（   ） A． B． C． D． 14．设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 15．已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的严格减区间的是（   ） A． B． C． D． 16．已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题 三、解答题 17．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程在区间上有两个解，求实数a的取值范围． 19．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，. (1)求的长； (2)设，写出与的函数关系式； (3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？ 20．已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 21．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟测试卷02 测试范围：第6-7章 一、填空题 1．角，则属于第 象限． 【答案】三 【分析】，根据终边相同的角位于同一个象限求解即可. 【解析】因为， 所以角的终边与角的终边相同，位于第三象限， 故答案为：三. 2．函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【解析】函数为奇函数，则. 故答案为： 3．已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【解析】因为， 所以. 故答案为： 4．函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】利用分式和正切函数的定义域求法，列不等式求解. 【解析】由函数， 则，即， 所以函数的定义域且， 故答案为：且 5．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由已知有，结合余弦函数的性质解不等式求解集. 【解析】由，即，可得， 所以解集为. 故答案为： 6．若，且，则tanα＝ ． 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解． 【解析】由， 可得， 又，则， 即， 解得， 则， 故． 故答案为：． 7．已知等腰三角形的底角的正弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，求解即可得答案. 【解析】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，由题意可知， 故答案为：. 8．函数的图象的对称中心的坐标是 . 【答案】， 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【解析】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 9．设函数在区间上恰有三个最值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用最值点的个数列出不等式求解. 【解析】当时，，由函数在区间上恰有三个最值点， 得三个最值点分别为，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 10．如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 .    【答案】 【分析】图中阴影部分的面积为，代入相关面积公式计算即可. 【解析】   过作于于， ∵等边三角形的边长为      ∴图中阴影部分的面积为： . 故答案为: . 11．函数的值域的真子集的个数为 【答案】 【分析】分为第一、二、三、四象限角讨论，根据三角函数值的正负求得值域，再得到真子集的个数. 【解析】当是第一象限角，，此时， 当是第二象限角，，此时， 当是第三象限角，，此时， 当是第四象限角，，此时， 所以，值域为，所以有个真子集， 故答案为：. 12．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 【答案】 【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果. 【解析】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 二、单选题 13．下列函数中，以π为最小正周期的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简各选项中的函数的解析式，利用正弦型、余弦型函数的基本性质求出各选项中函数的最小正周期，并判断出各选项中的奇偶性，由此可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，排除A选项； 对于B选项，，其定义域关于原点对称， 且，所以该函数是奇函数，排除B选项； 对于C选项，的周期为，排除C选项； 对于D选项，函数，定义域为 ，最小正周期， 且，所以该函数是偶函数，故D选项正确. 故选：D. 14．设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【解析】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 15．已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的严格减区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标，至少提供两个方面的信息：①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第二个交点与第三个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数，然后求出函数单调递减区间． 【解析】与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，4， 知函数的周期为，解得， 由三角函数的图像与直线知，3与4的中点必为函数的最大值的横坐标， 由五点法知，得， 又，得， 所以，令，， 解得，， 当时， 的单调递减区间是． 故选：A． 16．已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题 【答案】A 【分析】利用和差角的余弦公式变形推理判断p，利用和角的正切结合已知推理判断q作答. 【解析】命题p，， 在中， ，则， 令，则有，即， 于是，又，因此，而正弦函数在上递增， 则，即，亦即， 所以对任何锐角A，都存在，使得，p是真命题； 命题q，， 在斜中，， 于是，将代入得：，即有，则对任何锐角A，都存在，q是真命题， 所以选项A正确，BCD错误. 故选：A 【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 三、解答题 17．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值. （2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果. 【解析】（1） 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：，又因为， 所以,又，所以； （2）， 解得：， 故 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程在区间上有两个解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，故利用求出最小正周期，并利用整体法求出单调递减区间； （2）求出，画出在上的图象，数形结合得到答案. 【解析】（1）由题设， 所以其最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，； （2）若，则， 画出在上的图象，如下： 若方程在区间上有两个解，则函数与的图象有两个交点， 所以方程在区间上有两个解，只需． 19．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，. (1)求的长； (2)设，写出与的函数关系式； (3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？ 【答案】(1)75m (2) (3)证明见解析，时，最大值为 【分析】(1)利用两角和的正切公式结合条件即得； (2)利用两角和的正切公式即可求出结果； (3)利用函数单调性定义即可进行证明；再结合基本不等式求出结果. 【解析】（1）设， 则， 由， 解得m； （2）设，则， 所以. （3）任取，且， ， 所以命题成立. 因为，所以，即为锐角， 令，则， 所以， 所以， 当且仅当时，即， 所以时，最大,最大值为. 20．已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把已知等式平方后作和，利用两角和差余弦公式可求得结果； （2）由（1）得，由，，结合两角和差公式可化简求得，利用二倍角余弦公式可得，由此可得结果； （3）根据（2）中运算，讨论或的情况；当均不为时，可求得，利用二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果. 【解析】（1）由得：， 两式作和得：， ，即. （2）由（1）知：当，时，； ， ， ，，， ， . （3）由（2）知：； 当时，由可得：，，则，； 当时，由可得：，，则，； 当且时，， ， ； 验证可知：当或时，与都成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的应用，解题关键是能够熟练掌握和差化积公式的推导方法，从而利用该公式对已知等式进行合理的化简求值. 21．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【解析】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$