期中模拟测试卷02(测试范围：第1、2、4章)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

2024-2025学年高二数学下学期期中模拟测试卷02 测试范围：第1、2、4章 一、填空题 1．直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 2．双曲线的实轴长为 ． 3．抛物线的准线方程是 . 4．已知等差数列的前项和为，若则 ． 5．若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 6．若圆与圆外切，则实数 . 7．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 8．已知数列的通项公式为，则= 9．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 10．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 ． 11．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒. 12．设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 二、单选题 13．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 15．点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 三、解答题 17．已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 18．已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 19．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. (1)若是的左焦点，且，求的值； (2)若上存在轴上方一点，满足，求的坐标； (3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于点且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 21．若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟测试卷02 测试范围：第1、2、4章 一、填空题 1．直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【答案】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【解析】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 2．双曲线的实轴长为 ． 【答案】； 【分析】根据双曲线标准方程即可得出实轴长为. 【解析】由双曲线标准方程可知，可得； 即可得双曲线的实轴长为. 故答案为： 3．抛物线的准线方程是 . 【答案】 【分析】将题干抛物线方程写成标准方程，明确开口方向，即可写出准线方程. 【解析】将写成标准方程，即， 是开口向下的抛物线，且， 故其准线方程为， 故答案为：. 4．已知等差数列的前项和为，若则 ． 【答案】48 【分析】根据等差数列的求和公式即可求解. 【解析】． 故答案为：48 5．若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案. 【解析】根据题意，方程表示圆， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【分析】根据两圆的圆心距与半径的关系即可列方程求解. 【解析】的圆心和半径分别为为， 圆的圆心和半径分别为， 根据两圆外切，故，解得， 故答案为： 7．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【解析】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 8．已知数列的通项公式为，则= 【答案】 【分析】由等比数列的前项和公式求解即可； 【解析】数列的通项公式为， 则. 故答案为：. 9．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 【答案】 【分析】求出直线与轴的交点坐标、斜率，利用两角差的正切公式，求出所求直线的方程，再求出原点到直线的距离. 【解析】设直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为， 设直线的斜率为，则， ∵直线与轴的交点为， 所以直线的方程：，即． 原点到的距离为. 故答案为：． 10．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出即可得结果. 【解析】设点的横坐标分别为，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以此抛物线方程是. 故答案为： 11．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒. 【答案】0.018 【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案. 【解析】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ， 而与的离心率之比为，即 ，即 ， 在图①中， ， 两式相减得：， 即.即 的周长为， 在图②中，的周长为, 由题意可知： ， 则 ，故 （秒）， 故答案为：. 12．设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 【答案】 【分析】根据题意分类讨论结合分组求和求出，进而可得由题意，则为奇数，进而分析计算即可. 【解析】当为偶数，则 当为奇数，则 因此， 当时，， 于是 ， 依题意，，则，为奇数， 又，则， 所以集合中元素的个数． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分为奇数和偶数和而得的表达式，进而探讨是求解的关键. 二、单选题 13．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【解析】因为，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 14．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 15．点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可. 【解析】设，则， 因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，得或， 故的取值范围是. 故选：D 16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，求出点的坐标即可判断. 【解析】抛物线的焦点， 由，得共线，，即，又为中点， 则点在以原点为圆心，为半径的圆上，此圆的方程为， 由消去得，解得，， 直线的方程为，因此点在定直线上，①正确； 设直线方程为，由消去得，设， 由，得，因此，为定值，②正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：抛物线中的定值问题，既可以由直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理来处理参数关系得到定值，也可以通过设点法求出动点的纵坐标（或横坐标）的关系从而得到定值. 三、解答题 17．已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式进行求解即可； （2）根据等比数列的项和进行求解即可. 【解析】（1）由，得 又因为， 所以数列为首项为，公比为3的等比数列， 可得，即； （2） . 18．已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)相交，截得的弦长为2. (2)或. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【解析】（1）由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. （2）若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 19．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【解析】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    20．在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. (1)若是的左焦点，且，求的值； (2)若上存在轴上方一点，满足，求的坐标； (3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于点且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算求参即可； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【解析】（1）椭圆:的左焦点坐标为， 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，所以， 解得，或， 点是轴正半轴上的动点，可得， 所以： （2）设，因为，， 所以，又， 两式联立，解得，所以； （3），可得直线的解析式为， 设直线的解析式为，且， 联立，可得， ，， 因为两点均在直线的左侧，所以， 故. 因此， 所以，化简可得方程. 设， 又因为，令得，故. ①若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此； ② 若，而此时在上或外部，由， 得，故. 若存在，使得， 而，故， ， 可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 21．若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$