专题01 条件概率与全概率公式-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）

专题01 条件概率与全概率公式 群哥高中数学工作室 专题01 条件概率与全概率公式 一、知识填空： 1．条件概率 （1）概念：一般地，当事件B发生的概率 时（即），已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作，而且 . （2）两个公式：①利用古典概型： ；②概率的乘法公式： . 2．条件概率的性质 （1）设，则 ． （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 ． （3）设和B互为对立事件，则 ． （4）． 3．事件的独立性 （1）事件A与B相互独立的充要条件是 ． （2）当时，A与B独立的充要条件是 ． 4．全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均 ，即，． （2） ． （3）．则对任意事件，都有 ，则称该公式为 ．上述公式可借助图形来理解： 5．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，． 自检自纠： 1．（1）大于0 （2） ，， 2．（1）1 （2）（3） 3. （1）（2） 4. （1）互斥（1）（3） ，全概率公式 5. ， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据条件概率定义，所以D正确.故选：D. 2．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得.故选：C. 3．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　） A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8 【答案】C 【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选C． 4．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件“用满小时不坏”，，记事件“用满小时不坏，，，则.故答案选 5．某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（      ） A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65 【答案】B 【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，依题意，，，，，由全概率公式得，.故选：B 6．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】男生甲被选中记作事件，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件，则，，由条件概率公式可得：，故选：D. 7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件“甲和乙选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，因为，，所以．故选：D． 8．在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【答案】D 【详解】由题意可知：，，，，，.由全概率公式可知：，因此选项A正确； 由贝叶斯公式可知： ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：D 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（    ） A．若，则相互对立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由得：，又，则，对于选项A，由可知，，即，又，所以相互对立，故A正确；对于选项B，由可知，所以，故B错误；对于选项C，由，得，故C正确；对于选项D，由，得，则，故D错误.故选：AC 10．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】,故A正确；，故B正确；，故C正确；，，，故D错误.故选: ABC 11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．、为对立事件 B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.故选：AB 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为 ． 【答案】 【详解】由条件概率可得所求概率为.故答案为：. 13．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 【答案】 【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，则，..故答案为： 14．袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为 . 【答案】/ 【详解】记事件为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件为“号球被取出”，则，，，即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为.故答案为：. B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设为两个事件，已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件概率的计算公式，可得：.本题正确选项： 2．有10件产品，其中2件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，若已知一件为次品，则另一件也是次品的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设至少一件次品为事件，另一件为次品为事件，则（A），， 在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．故选：． 【点睛】本题考查条件概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记，，因为，， 所以．故选：D. 4．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，则，，，，则由全概率公式得：，解得，故选：B． 5．一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（    ） A．第一次摸到绿球的概率是 B．第二次摸到绿球的概率是 C．两次都摸到绿球的概率是 D．两次都摸到红球的概率是 【答案】C 【详解】对选项A，第一次摸到绿球的概率为：，故错误； 对选项B，第二次摸到绿球的概率为：，故错误； 对选项C，两次都摸到绿球的概率为：，故正确； 对选项D，两次都摸到红球的概率为：，故错误 故选：C 6．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（    ） A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575 【答案】B 【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，则，，，，，，所以．故选：B 7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则，设事件表示答对某个题，则，设事件表示将有思路的题目做对，则，故选：B 8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立  ② ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，， 而，①错误；，，所以，②正确；，③正确； ，④错误，综上：结论正确的个数为2.故选：C. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 【答案】ABD 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确.B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确.C选项，若独立，则，C选项错误.D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，所以，所以D选项正确.故选：ABD 10．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ） A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 【答案】AD 【详解】事件可共同发生不互斥，A对．，，即不独立，BC错．，D对，故选：AD． 11．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据题意易知，A错误；由独立事件的乘法公式可得，B正确；易知，C错误；由题可知，而,所以正确．故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，则 . 【答案】/ 【详解】解：因为，，所以.故答案为： 13．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率 ， . 【答案】/0.5 【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，所以，，因此.故答案为：；. 14．长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为 ． 【答案】 【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以， ，．故答案为：． 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 条件概率与全概率公式 群哥高中数学工作室 专题01 条件概率与全概率公式 一、知识填空： 1．条件概率 （1）概念：一般地，当事件B发生的概率 时（即），已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作，而且 . （2）两个公式：①利用古典概型： ；②概率的乘法公式： . 2．条件概率的性质 （1）设，则 ． （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 ． （3）设和B互为对立事件，则 ． （4）． 3．事件的独立性 （1）事件A与B相互独立的充要条件是 ． （2）当时，A与B独立的充要条件是 ． 4．全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均 ，即，． （2） ． （3）．则对任意事件，都有 ，则称该公式为 ．上述公式可借助图形来理解： 5．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，． 自检自纠： 1．（1）大于0 （2） ，， 2．（1）1 （2）（3） 3. （1）（2） 4. （1）互斥（1）（3） ，全概率公式 5. ， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　） A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8 4．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是 A． B． C． D． 5．某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（      ） A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65 6．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件“甲和乙选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 8．在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（    ） A．若，则相互对立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．、为对立事件 B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为 ． 13．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 14．袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为 . B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设为两个事件，已知，则 A． B． C． D． 2．有10件产品，其中2件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，若已知一件为次品，则另一件也是次品的概率（    ） A． B． C． D． 3．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（    ） A． B． C． D． 5．一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（    ） A．第一次摸到绿球的概率是 B．第二次摸到绿球的概率是 C．两次都摸到绿球的概率是 D．两次都摸到红球的概率是 6．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（    ） A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575 7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立  ② ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若A，B独立，则 D． 10．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ） A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 11．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，则 . 13．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率 ， . 14．长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为 ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$